（01）
―「ド・モルガンの法則」の証明。―
（ⅰ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
～Ｐ∨～Ｑ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（ Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（01）により、
（02）
① ～（Ｐ＆ Ｑ）≡（Ｐであって、その上、Ｑである）といふことはない。
② ～Ｐ∨～Ｑ ≡ Ｐでないか、または、Ｑでない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
（ⅲ）
１ （１）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆Ｒ｝ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ １ド・モルガンの法則
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）（～Ｐ∨～Ｑ） ３ド・モルガンの法則
３ （５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ ４∨Ｉ
６（６） ～Ｒ Ａ
６（７）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ ６∨Ｉ
１ （８）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９） ～Ｐ∨～Ｑ ∨～Ｒ ８結合法則
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ ∨～Ｒ Ａ
１ （２）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｒ １結合法則
３ （３）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （４） ～（Ｐ＆Ｑ） ３ド・モルガンの法則
３ （５） ～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ ４∨Ｉ
６（６） ～Ｒ Ａ
６（７） ～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ ６∨Ｉ
１ （８） ～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｒ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～｛（Ｐ＆Ｑ）＆Ｒ｝ ６ド・モルガンの法則
従って、
（03）により、
（04）
③ ～｛（Ｐ＆Ｑ）＆Ｒ｝≡｛（Ｐであって、その上、Ｑであって、）その上、Ｒである｝といふことはない。
④ ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｒ ≡ Ｐでないか、または、Ｑでないか、または、Ｒでない。
に於いて、
③＝④ である。
（05）
（ａ）～（Ｐ＆Ｑ∨Ｒ）
であれば、
（ｂ）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ｝
であるか、
（ｃ）～｛Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）｝
であるかの、いづれかである。
然るに、
（06）
（ⅴ）
１（１）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｒ｝ Ａ
１（２） ～（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ １ド・モルガンの法則
１（３） ～（Ｐ＆Ｑ） ２＆Ｅ
１（４）（～Ｐ∨～Ｑ） ３ド・モルガンの法則
１（５） ～Ｒ ２＆Ｅ
１（６）（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ ４５＆Ｅ
（ⅵ）
１（１）（～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ Ａ
１（２）（～Ｐ∨～Ｑ） １＆Ｅ
１（３） ～（Ｐ＆Ｑ） ２ド・モルガンの法則
１（４） ～Ｒ １＆Ｅ
１（５） ～（Ｐ＆Ｑ）＆～Ｒ ３４＆Ｉ
１（６）～｛（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｒ｝ ５ド・モルガンの法則
従って、
（06）により、
（07）
⑤ ～｛（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｒ｝≡｛（Ｐであって、その上、Ｑであるか、）または、Ｒである｝といふことはない。
⑥ （～Ｐ∨～Ｑ）＆～Ｒ ≡ （Ｐでないか、または、Ｑでなくて、）その上、Ｒではない。
に於いて、
⑤＝⑥ である。
（08）
（ⅶ）
１ （１）～｛Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）｝ Ａ
１ （２）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ） １ド・モルガンの法則
３ （３）～Ｐ Ａ
３ （４）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ３∨Ｉ
５（５） ～（Ｑ∨Ｒ） Ａ
５（６） （～Ｑ＆～Ｒ） ５ド・モルガンの法則
５（７）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ６∨Ｉ
１ （８）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） １３４５７∨Ｅ
（ⅷ）
１ （１）～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
２ （２）～Ｐ Ａ
２ （３）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ） ２∨Ｉ
４（４） （～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
４（５） ～（Ｑ∨Ｒ） ４ド・モルガンの法則
４（６）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ） ４∨I
１ （７）～Ｐ∨～（Ｑ∨Ｒ） １２３４６∨Ｅ
１ （８）～｛Ｐ＆（Ｑ∨Ｒ）｝ ７ド・モルガンの法則
従って、
（08）により、
（09）
⑦ ～｛Ｐ＆（Ｑ∨ Ｒ）｝≡｛Ｐであって、その上、（Ｑであるか、または、Ｒである）｝といふことはない。
⑧ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ≡ Ｐでないか、または、（Ｑでなくて、その上、Ｒでない）。
に於いて、
⑦＝⑧ である。
然るに、
（09）により、
（10）
「含意の定義」により、
⑧ ～Ｐ∨（～Ｑ＆～Ｒ） ≡ Ｐでないか、または、（Ｑでなくて、その上、Ｑでない）。
⑨ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） ≡ Ｐであるならば、 （Ｑでなくて、その上、Ｒでない）。
に於いて、
⑧＝⑨ である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
⑦ ～｛Ｐ＆（Ｑ∨ Ｒ）｝≡｛Ｐであって、その上、（Ｑであるか、または、Ｒである）｝といふことはない。
⑨ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） ≡ Ｐであるならば、 （Ｑでなくて、その上、Ｒでない）。
に於いて、
⑦＝⑨ である。
然るに、
（12）
（ⅸ）
１ （１） Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） Ａ
２（２） Ｑ∨ Ｒ Ａ
２（３） ～（～Ｑ＆～Ｒ） ２ド・モルガンの法則
１２（４）～Ｐ １３ＭＴＴ
１ （５） （Ｑ∨Ｒ）→～Ｐ ２４ＣＰ
（ⅹ）
１ （１） （Ｑ∨Ｒ）→～Ｐ Ａ
２（２） Ｐ Ａ
２（３） ～～Ｐ ２ＤＮ
１２（４）～（Ｑ∨Ｒ） １３ＭＴＴ
１２（５）（～Ｑ＆～Ｒ） ４ド・モルガンの法則
１ （６） Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） ２５ＣＰ
従って、
（12）により、
（13）
⑨ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ）≡ Ｐであるならば、（Ｑでなくて、その上、Ｒでない）。
⑩ （Ｑ∨Ｒ）→～Ｐ ≡（Ｑであるか、または、Ｒである）ならば、Ｐでない。
に於いて、
⑨＝⑩ は、「対偶（Contraposition）」である。
従って、
（11）（12）（13）により、
（14）
⑦ ～｛Ｐ＆（Ｑ∨ Ｒ）｝≡｛Ｐであって、その上、（Ｑであるか、または、Ｒである）｝といふことはない。
⑨ Ｐ→（～Ｑ＆～Ｒ） ≡ Ｐであるならば、 （Ｑでなくて、その上、Ｒでない）。
⑩ （Ｑ∨Ｒ）→～Ｐ ≡（Ｑであるか、または、Ｒである）ならば、Ｐでない。
に於いて、
⑦＝⑨＝⑩ である。
従って、
（14）により、
（15）
「番号」を付け直すと、
①｛Ｐであって、その上、（Ｑであるか、または、Ｒである）｝といふことはない。
② Ｐであるならば、 （Ｑでなくて、その上、Ｒでない）。
③（Ｑであるか、または、Ｒである）ならば、Ｐでない。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（15）により、
（16）
例へば、
Ｐ＝グー である。
Ｑ＝チョキである。
Ｒ＝パー である。
とするならば、
①｛グーであって、その上、（チョキであるか、または、パーである）｝といふことはない。
② グーであるならば、 （チョキでなくて、その上、パーでない）。
③（チョキであるか、または、パーである）ならば、グーでない。
に於いて、
①＝②＝③ である。