（01）
―「含意の定義」の証明。―
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
１ （イ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２アＲＡＡ
１ （ウ） ～Ｐ∨Ｑ イＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（02）
―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅰ）。―
（ⅲ）
１ （１） ～（ Ｐ＆ Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
（～Ｐ∨～Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） ～Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
～Ｐ∨～Ｑ ２９＆Ｉ
２ （イ） ～～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｑ イＤＮ
２ （エ） Ｐ＆ Ｑ ７ウ＆Ｉ
１２ （オ） ～（ Ｐ＆ Ｑ）＆
（ Ｐ＆ Ｑ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～～（～Ｐ∨～Ｑ） ２オＲＡＡ
１ （キ） ～Ｐ∨～Ｑ カＤＮ
（ⅳ）
１ （１） ～Ｐ∨～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） ～Ｑ Ａ
２ （８） Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） ～Ｑ＆Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア） ～（ Ｐ＆ Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（ Ｐ＆ Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（03）
―「ド・モルガンの法則」の証明（Ⅱ）。―
（ⅴ）
１ （１）～（ Ｐ∨ Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） Ｐ∨ Ｑ ２∨Ｉ
１２ （４）～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） １２＆Ｉ
１ （５） ～Ｐ ２４ＲＡＡ
６（６） Ｑ Ａ
６（７） Ｐ∨ Ｑ ６∨Ｉ
１ ６（８）～（ Ｐ∨ Ｑ）＆
（ Ｐ∨ Ｑ） １７＆Ｉ
１ （９） ～Ｑ ６８ＲＡＡ
１ （ア） ～Ｐ＆～Ｑ ５９＆Ｉ
（ⅵ）
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ∨ Ｑ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
４ （５） Ｐ Ａ
１ ４ （６） ～Ｐ＆Ｐ ３５＆Ｉ
４ （７）～（～Ｐ＆～Ｑ） １６ＲＡＡ
１ （８） ～Ｑ １＆Ｅ
９（９） Ｑ Ａ
１ ９（ア） ～Ｑ＆Ｑ ８９＆Ｉ
９（イ）～（～Ｐ＆～Ｑ） １アＲＡＡ
２ （ウ）～（～Ｐ＆～Ｑ） ２４７９イ∨Ｅ
１２ （エ） （～Ｐ＆～Ｑ）＆
～（～Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～（ Ｐ∨ Ｑ） ２エＲＡＡ
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
「１０個の原始的規則」により、
① Ｐ→ Ｑ
② ～Ｐ∨ Ｑ
③ ～（ Ｐ＆ Ｑ）
④ （～Ｐ∨～Ｑ）
⑤ ～（ Ｐ∨ Ｑ）
⑥ ～Ｐ＆～Ｑ
に於いて、
①＝② である（含意の定義）。
③＝④ である（ド・モルガンの法則）。
⑤＝⑥ である（ド・モルガンの法則）。
然るに、
（05）
１０個の原始的規則、あるいは既に証明された「定理」を用いて、つぎの連式を証明せよ（Using 10 primitive rules or theorems already proved, prove the following sequent）。
｛（Ｐ→Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ ┤├｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
（ⅰ）
１ （１） ｛（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ Ａ
２ （２） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ Ａ
３ （３） （Ｐ＆～Ｑ） Ａ
３ （４）～～（Ｐ＆～Ｑ） ３ＤＮ
３ （５）～（～Ｐ∨ Ｑ） ４ド・モルガンの法則
３ （６） ～（Ｐ→ Ｑ） ５含意の定義
３ （７） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ６∨Ｉ
８（８） Ｐ Ａ
８（９） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ８∨Ｉ
２ （ア） ～（Ｐ→ Ｑ）∨Ｐ ２３７８９∨Ｅ
２ （イ） （Ｐ→ Ｑ）→Ｐ ア含意の定義
１２ （ウ） Ｐ １イＭＰＰ
１ （エ） ｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ ２ウＣＰ
（ⅱ）
１ （１） ｛（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ｝→Ｐ Ａ
１ （２） ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ｝∨Ｐ １含意の定義
３ （３） ～｛（Ｐ＆～Ｑ）∨ Ｐ｝ Ａ
３ （４） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆～Ｐ ３ド・モルガンの法則
３ （５） ～（Ｐ＆～Ｑ） ４＆Ｅ
３ （６） ～Ｐ∨ Ｑ ５ド・モルガンの法則
３ （７） Ｐ→ Ｑ ６含意の定義
３ （８） ～Ｐ ４＆Ｅ
３ （９） （Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ ７８＆Ｉ
３ （ア） ｛（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ｝∨Ｐ ９∨Ｉ
イ （イ） Ｐ Ａ
イ （ウ） ｛（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ｝∨Ｐ イ∨Ｉ
１ （エ） ｛（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ｝∨Ｐ ２３アイウ∨Ｅ
１ （オ）～～｛（Ｐ→ Ｑ）＆～Ｐ｝∨Ｐ エＤＮ
１ （カ）～｛～（Ｐ→ Ｑ）∨ Ｐ｝∨Ｐ オ、ド・モルガンの法則
１ （キ） ～｛（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ｝∨Ｐ カ含意の定義
１ （ク） ｛（Ｐ→ Ｑ）→ Ｐ｝→Ｐ キ含意の定義
従って、
（05）により、
（06）
①｛（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
②（Ｐであって、Ｑでない）とすれば、Ｐであり、
②（Ｐであって、Ｑである）としても、Ｐである。
といふことは、「当然」である。
従って、
（07）により、
（08）
②｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
②｛（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである｝ならば、Ｐである。
といふことは、「当然」である。
従って、
（06）（08）により、
（09）
②｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
②｛（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである｝ならば、Ｐである。
と、「同値」である所の、
①｛（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
①｛（Ｐならば、Ｑである）ならばＰ｝ならばＰである。
であっても、「当然」でなければ、ならない。
然るに、
（08）（09）により、
（10）
①｛（Ｐならば、 Ｑである）ならばＰ｝ならばＰである。
②｛（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである｝ならば、Ｐである。
に於いて、
① は、何故か、「奇異」である。
然るに、
（11）
（ⅰ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
２ （２） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ→Ｑ ２含意の定義
１２ （４） Ｐ １３ＭＰＰ
１ （５） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ ２４ＣＰ
１ （６）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ５含意の定義
１ （７） （Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ ６ド・モルガンの法則
８ （８） Ｐ＆～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ ８＆Ｅ
ア（ア） Ｐ Ａ
１ （イ） Ｐ １８９アア∨Ｅ
（ウ）｛（Ｐ→Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ １イＣＰ
従って、
（11）により、
（12）
①｛（Ｐ→Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
といふ「式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
従って、
（12）により、
（13）
①｛（Ｐ→Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
といふ「式」は、「恒に真」であるが故に、
① Ｑが「真」であっても、
① Ｑが「偽」であっても、いづれにせよ、
①｛（Ｐ→Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
といふ「式」自体は、「真」である。
従って、
（13）により、
（14）
①｛（Ｐ→Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
といふ「式」は、
①｛（Ｐならば、Ｑであっても、Ｑでなくとも）、Ｐならば｝Ｐである。
といふ「意味」になる。
従って、
（09）（12）（14）により、
（15）
①｛（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
といふ「恒真式（トートロジー）」は、
①｛（Ｐならば、 Ｑであっても、Ｑでなくとも）、Ｐならば｝Ｐである。
②｛（Ｐであって、Ｑでない）か、または、Ｐである｝ならば、Ｐである。
といふ「意味」になる。
従って、
（15）により、
（16）
①｛（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
といふ「パースの法則」は、例へば、
①｛（日本人ならば、 男性であっても、女性であっても）、日本人ならば｝日本人である。
②｛（日本人であって、男性でない）か、または、日本人である｝ならば、 日本人である。
といふ「意味」になる。
然るに、
（17）
①｛（日本人ならば、 男性であっても、女性であっても）、日本人ならば｝日本人である。
②｛（日本人であって、男性でない）か、または、日本人である｝ならば、 日本人である。
といふ「命題」は、少しも、「奇異」ではない。
従って、
（16）（17）により、
（18）
①｛（Ｐ→ Ｑ）→Ｐ｝→Ｐ
②｛（Ｐ＆～Ｑ）∨Ｐ｝→Ｐ
といふ「パースの法則」が「恒真式（トートロジー）」であることは、「当然」である。