（01）
（ⅰ）
１ （１）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ） Ａ
２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １＆Ｅ
１ （４） Ｆｂ→Ｇｂ １＆Ｅ
１ （５） Ｆｃ→Ｇｃ １＆Ｅ
２（６） Ｆａ ２＆Ｅ
１２（７） Ｇａ ３６ＭＰＰ
２（８） Ｆｂ ２＆Ｅ
１２（９） Ｇｂ ４８ＭＰＰ
２（ア） Ｆｃ ２＆Ｅ
１２（イ） Ｇｃ ５アＭＰＰ
１２（ウ） Ｇａ＆Ｇｂ ７９＆Ｉ
１２（エ） Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ イウ＆Ｉ
１ （オ）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ２エＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
に於いて、
①⇒② である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） Ａ
２ （２） Ｆａ Ａ
３ （３） Ｆｂ Ａ
４（４） Ｆｃ Ａ
２３ （５） Ｆａ＆Ｆｂ ２３＆Ｉ
２３４（６）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ４５＆イ
１２３４（７） （Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） １６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ４７ＣＰ
１２ （９） Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］ ３８ＣＰ
１ （ア）Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝ ２９ＣＰ
（ⅲ）
１ （１）Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝ Ａ
２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４） Ｆｂ ２＆Ｅ
２（５） Ｆｃ ２＆Ｅ
１２（６） Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］ １３ＭＰＰ
１２（７） Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ４６ＭＰＰ
１２（８） （Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ５７ＭＰＰ
１ （９）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ２８ＣＰ
従って、
（03）により、
（04）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） →（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③ Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（02）（04）により、
（05）
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→ （Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③ Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝
に於いて、
①⇒② であって、
②＝③ である。
然るに、
（06）
（ⅰ）
１ （１）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １＆Ｅ
１２（４） Ｇａ ２３ＭＰＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝ Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
１２（３） ｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝ １２ＭＰＰ
従って、
（06）により、
（07）
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）， Ｆａ├ Ｇａ
③ Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝，Ｆａ├ Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］
従って、
（07）により、
（08）
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
③ Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝
に於いて、
① の場合は、その上、「Ｆａ（ａはＦである）」ならば、そのまま、直ちに、「Ｇａ（ａはＧである）」が、
③ の場合は、その上、「Ｆａ（ａはＦである）」であったとしても、直ちに、「Ｇａ（ａはＧである）」といふことには、ならない。
従って、
（08）により、
（09）
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
③ Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝
に於いて、
①＝③ ではない。
従って、
（05）（09）により、
（10）
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） →（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③ Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝
に於いて、
①⇒② であって、
②＝③ であるが、
①＝③ ではない。
従って、
（10）により、
（11）
①⇒② であるが、
①＝② ではない。
従って、
（10）（11）により、
（12）
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
に於いて、
①⇒②（①ならば②である）が、逆に、
②⇒①（②ならば①である）ではない。
然るに、
（13）
｛ａ，ｂ，ｃ｝の３つが「変域（ドメイン）」であるならば、
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」は、
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「述語論理式」に「相当」する。
然るに、
（14）
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２（２） ∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １ＵＥ
２（４） Ｆａ ２ＵＥ
１２（５） Ｇａ ３４ＭＰＰ
１２（６） ∀ｘ（Ｇｘ） ５ＵＩ
１ （７）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） ２６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３）∀ｘ（Ｆｘ） ２ＵＩ
１２（４） ∀ｘ（Ｇｘ） １３ＭＰＰ
１２（５） Ｇａ ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ→Ｇａ ２５ＣＰ
１ （７）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ６ＵＩ
然るに、
（14）により、
（15）
２（２） Ｆａ Ａ
２（３）∀ｘ（Ｆｘ） ２ＵＩ
に関しては、「ＵＩ」の「規則」に対する、「違反」である。
従って、
（14）（15）により、
（16）
「述語計算」としても、当然、
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
①⇒②（①ならば②である）が、逆に、
②⇒①（②ならば①である）ではない。
従って、
（12）（16）により、
（17）
「述語計算」と「同じ結果」になるのだから、
（ⅰ）
１ （１）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ） Ａ
２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １＆Ｅ
１ （４） Ｆｂ→Ｇｂ １＆Ｅ
１ （５） Ｆｃ→Ｇｃ １＆Ｅ
２（６） Ｆａ ２＆Ｅ
１２（７） Ｇａ ３６ＭＰＰ
２（８） Ｆｂ ２＆Ｅ
１２（９） Ｇｂ ４８ＭＰＰ
２（ア） Ｆｃ ２＆Ｅ
１２（イ） Ｇｃ ５アＭＰＰ
１２（ウ） Ｇａ＆Ｇｂ ７９＆Ｉ
１２（エ） Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ イウ＆Ｉ
１ （オ）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ２エＣＰ
（ⅱ）
１ （１）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） Ａ
２ （２） Ｆａ Ａ
３ （３） Ｆｂ Ａ
４（４） Ｆｃ Ａ
２３ （５） Ｆａ＆Ｆｂ ２３＆Ｉ
２３４（６）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） ４５＆イ
１２３４（７） （Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） １６ＭＰＰ
１２３ （８） Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ４７ＣＰ
１２ （９） Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］ ３８ＣＰ
１ （ア）Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝ ２９ＣＰ
（ⅲ）
１ （１）Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝ Ａ
２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
２（３） Ｆａ ２＆Ｅ
２（４） Ｆｂ ２＆Ｅ
２（５） Ｆｃ ２＆Ｅ
１２（６） Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］ １３ＭＰＰ
１２（７） Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ４６ＭＰＰ
１２（８） （Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ５７ＭＰＰ
１ （９）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ２８ＣＰ
といふ「計算」は、「不要」であると言へば、「不要」である。
しかしながら、
（18）
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） →（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③ Ｆａ→｛Ｆｂ→［Ｆｃ→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）］｝
といふ風に、「書くこと」によって、
②＝③ であることが、「明確」になり、その「結果」として、
①⇒② であることが、「明確」になり、
②⇒① でないことが、「明確」になる。
（19）
① ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「式」は、幾らか「抽象的」であって、
①（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→ （Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」は、十分に「具体的」であって、「分り易い」。
ただし、
（20）
（ⅰ）
１ （１）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ） Ａ
２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １＆Ｅ
１ （４） Ｆｂ→Ｇｂ １＆Ｅ
１ （５） Ｆｃ→Ｇｃ １＆Ｅ
２（６） Ｆａ ２＆Ｅ
１２（７） Ｇａ ３６ＭＰＰ
２（８） Ｆｂ ２＆Ｅ
１２（９） Ｇｂ ４８ＭＰＰ
２（ア） Ｆｃ ２＆Ｅ
１２（イ） Ｇｃ ５アＭＰＰ
１２（ウ） Ｇａ＆Ｇｂ ７９＆Ｉ
１２（エ） Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ イウ＆Ｉ
１ （オ）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ２エＣＰ
といふ「計算」より、
（ⅰ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２（２） ∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １ＵＥ
２（４） Ｆａ ２ＵＥ
１２（５） Ｇａ ３４ＭＰＰ
１２（６） ∀ｘ（Ｇｘ） ５ＵＩ
１ （７）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） ２６ＣＰ
といふ「述語計算」の方が、「手間が、掛からない」。
従って、
（20）により、
（21）
「分り易い」からと言って、「毎回・毎回」、
（ⅰ）
１ （１）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ） Ａ
２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １＆Ｅ
１ （４） Ｆｂ→Ｇｂ １＆Ｅ
１ （５） Ｆｃ→Ｇｃ １＆Ｅ
２（６） Ｆａ ２＆Ｅ
１２（７） Ｇａ ３６ＭＰＰ
２（８） Ｆｂ ２＆Ｅ
１２（９） Ｇｂ ４８ＭＰＰ
２（ア） Ｆｃ ２＆Ｅ
１２（イ） Ｇｃ ５アＭＰＰ
１２（ウ） Ｇａ＆Ｇｂ ７９＆Ｉ
１２（エ） Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ イウ＆Ｉ
１ （オ）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ２エＣＰ
といふ「計算」を、するわけには、いかない。
（01）
① □（α→β）├ □α→□β
といふ「式」は、「様相論理の式」であって（？）、
①（αならばβであること）は「必然」である。故に、（αであることが「必然」である）あるならば、（βであることも「必然」である）。
といふ「意味」である（？）。
従って、
（01）により、
（02）
① □（Ｆｘ→Ｇｘ）├ □Ｆｘ→□Ｇｘ
といふ「様相論理の式」が、有るのであれば、
①（ＦｘならばＧｘであること）は「必然」である。故に、（Ｆｘであることが「必然」である）あるならば、（Ｇｘであることも「必然」である）。
といふ「意味」に、なるはずである（？）。
然るに、
（03）
①（ＦｘならばＧｘであること）は「必然」である。故に、（Ｆｘであることが「必然」である）あるならば、（Ｇｘであることも「必然」である）。
といふことは、
② すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＧである）。故に、すべてのｘについて（ｘがＦである）ならば、すべてのｘについて（ｘがＦである）。
といふことに、他ならない。
然るに、
（04）
② すべてのｘについて（ｘがＦであるならば、ｘはＧである）。故に。すべてのｘについて（ｘがＦである）ならば、すべてのｘについて（ｘがＦである）。
といふことは、「述語論理の式」としては、
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「式」になる。
然るに、
（05）
（ⅱ）
１ （１） ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） Ａ
２（２） ∀ｘ（Ｆｘ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １ＵＥ
２（４） Ｆａ ２ＵＥ
１２（５） Ｇａ ３４ＭＰＰ
１２（６） ∀ｘ（Ｇｘ） ５ＵＩ
１ （７）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） ２６ＣＰ
従って、
（04）（05）により、
（06）
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「式」は、「述語論理の式」として、「妥当」である。
然るに、
（07）
｛ａ，ｂ，ｃ｝の３つが「変域（ドメイン）」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
② ∀ｘ（Ｆｘ）
といふ「式」は、
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「式」に、「等しい」。
然るに、
（08）
１ （１）（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ） Ａ
２（２）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
１ （３） Ｆａ→Ｇａ １＆Ｅ
１ （４） Ｆｂ→Ｇｂ １＆Ｅ
１ （５） Ｆｃ→Ｇｃ １＆Ｅ
２（６） Ｆａ ２＆Ｅ
１２（７） Ｇａ ３６ＭＰＰ
２（８） Ｆｂ ２＆Ｅ
１２（９） Ｇｂ ４８ＭＰＰ
２（ア） Ｆｃ ２＆Ｅ
１２（イ） Ｇｃ ５アＭＰＰ
１２（ウ） Ｇａ＆Ｇｂ ７９＆Ｉ
１２（エ） Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ イウ＆Ｉ
１ （オ）（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ） ２エＣＰ
従って、
（08）により、
（09）
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）├（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」は、「妥当」である。
従って、
（06）～（09）により、
（10）
｛ａ，ｂ，ｃ｝の３つが「変域（ドメイン）」であるならば、
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
といふ「式」は、
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）├（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」に「等しく」、尚且つ、
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）├（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」は、２つとも、「妥当」である。
然るに、
（11）
②（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」は、「含意の定義」と「ド・モルガンの法則」により、
③（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」に、「等しい」。
然るに、
（12）
③（～Ｆａ∨～Ｆｂ∨～Ｆｃ）∨（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
といふ「式」は、
③（～Ｆａ）だけが「真（本当）」であって、
③（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）が「偽（ウソ）」であっても「真」である。
然るに、
（12）により、
（13）
（ⅲ）
１（１）～Ｆａ Ａ
１（２）～Ｆａ∨Ｇａ １∨Ｉ
１（３） Ｆａ→Ｇａ ２含意の定義
従って、
（13）により、
（14）
③（～Ｆａ） だけが「真」であるならば、
③（Ｆａ→Ｇａ）だけが「真」であって、
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
といふ「３つ」が「３つとも真」になる。といふことは、無い。
従って、
（09）～（14）により、
（15）
②（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）├（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）
③（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）→（Ｇａ＆Ｇｂ＆Ｇｃ）├（Ｆａ→Ｇａ）＆（Ｆｂ→Ｇｂ）＆（Ｆｃ→Ｇｃ）
に於いて、
② は「妥当」であるが、その「逆」である、
③ は「妥当」ではない。
従って、
（10）（15）により、
（16）
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
② は「妥当」であるが、その「逆」である、
③ は「妥当」ではない。
然るに、
（17）
（ⅲ）
１ （１）∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３）∀ｘ（Ｆｘ） ２ＵＩ
１２（４） ∀ｘ（Ｇｘ） １３ＭＰＰ
１２（５） Ｇａ ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ→Ｇａ ２５ＣＰ
１ （７）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） ６ＵＩ
然るに、
（17）により、
（18）
２（２） Ｆａ Ａ
２（３）∀ｘ（Ｆｘ） ２ＵＩ
に関しては、「ＵＩ」の「規則」に対する、「違反」である。
従って、
（16）（17）（18）により、
（19）
いづれにせよ、
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
③ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
に於いて、
② は「妥当」であるが、その「逆」である、
③ は「妥当」ではない。
然るに、
（20）
〈公理〉
Ａ３．□（α⊃β）⊃ （□Ｆｘ⊃□Ｇｘ）
（大窪徳行・田畑博敏、論理学の方法、1994年、１９２頁改）
然るに、
（21）
Ａ３．□（α⊃β）⊃ （□Ｆｘ⊃□Ｇｘ）
といふ「表記」は、
Ａ３．□（α→β）├ （□α⊃□β）
といふ風に書いても、「同じこと」である。
従って、
（02）（19）（20）（21）により、
（22）
① □（Ｆｘ→Ｇｘ）├ □Ｆｘ→□Ｇｘ
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
に於いて、
① は「様相論理の式」であって、「逆は、成立せず」、
② は「述語論理の式」であって、「逆は、成立しない」。
従って、
（20）により、
（21）
① □（Ｆｘ→Ｇｘ）├ □Ｆｘ→□Ｇｘ
② ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）├ ∀ｘ（Ｆｘ）→∀ｘ（Ｇｘ）
に於ける、
①「様相論理の、□（必然的）」といふ「記号」は、
②「述語論理の、∀（全ての）」といふ「記号」の、「仲間」であると、思はれる。