― 先ほどの記事を、書き直します。―
（01）
兎は象ではない。
といふ「日本語」は、
∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝＝
すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。
といふ「述語論理」に、対応する。
然るに、
（02）
｛象、兎、犬、馬｝
であるとして、
象の鼻は長い。
兎の鼻は長くない。
犬の鼻は長くない。
馬の鼻は長くない。
従って、
（02）により、
（03）
象が鼻は長い。
従って、
（02）（03）により、
（04）
象が鼻は長い。
といふ「日本語」は、
象以外は鼻は長くない。
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
象以外は鼻は長くない（象が鼻は長い）。
といふ「日本語」は、
∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＝
全てのｘについて、ｘが象でないならば、有るｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはない。
といふ「述語論理」に、対応する。
従って、
（01）（05）により、
（06）
兎は象ではなく、象が鼻は長い（象以外は鼻は長くない）。
といふ「日本語」は、
∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝＆∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
といふ「述語論理」に、対応する。
然るに、
（07）
（ａ）
１ （１）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
１ （２） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
３ （３） ～象ａ Ａ
４（４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
１３ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２３ＭＰＰ
１３４（６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆
～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４５＆Ｉ
１ ４（７） ～～象ａ ３６ＲＡＡ
１ ４（８） 象ａ ７ＤＮ
１ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→象ａ ４８ＲＡＡ
１ （ア）∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ ９ＵＩ
（ｂ）
１ （１）∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→象ａ １ＵＥ
３ （３） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
４（４） ～象ａ Ａ
１３ （５） 象ａ ２３ＭＰＰ
１３４（６） ～象ａ＆象ａ ４５＆Ｉ
１ ４（７） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３６ＲＡＡ
１ （８） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４７ＲＡＡ
１ （９）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ８ＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ 象ｘ｝
に於いて、「二つの式（対偶）」は「等しい」。
（08）により、
（09）
∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝＆∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝＆∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ 象ｘ｝
に於いて、「二つの式」は「等しい」。
然るに、
（10）
∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝＆∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ 象ｘ｝
といふ「述語論理」は、
全てのｘについて、ｘが兎ならばｘは象ではなく、すべてのｘについて、有るｙがｘの鼻であって長いならば、ｘは象である。
といふ「意味」である。
然るに、
（11）
全てのｘについて、ｘが兎ならばｘは象ではなく、すべてのｘについて、有るｙがｘの鼻であって長いならば、ｘは象である。
といふことは、
兎は象ではなく、鼻が長いならば象である。
といふことである。
然るに、
（12）
兎は象ではなく、鼻が長いならば象である。
として、その一方で、
兎の鼻が長い。のであれば、
兎は象でなくて、象である。
といふ風に「矛盾」する。
ｃｆ.
背理法（proof by contradiction）
従って、
（12）により、
（13）
兎は象ではなく、鼻が長いならば象である。
といふのであれば、
兎の鼻が長い。といふことはない。
従って、
（13）により、
（14）
兎は象ではなく、鼻が長いならば象である。
といふのであれば、
兎の鼻は長くない。
従って、
（14）により、
（15）
兎は象ではなく、鼻が長いならば象である。ならば、兎の鼻は長くない。
然るに、
（16）
兎は象ではなく、鼻が長いならば象である。ならば、兎の鼻は長くない。
といふ「日本語」は、
∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝＆∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝→∀ｘ｛兎ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＝
すべてのｘについてｘが兎であるならば、ｘは象ではなく、すべてのｘについて有るｙがｘの鼻であって長いならば、ｘは象である。ならば、すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、有るｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはない。
といふ「述語論理」に、対応する。
然るに、
（17）
１ （１）∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝＆
∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ Ａ
１ （２）∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝ １＆Ｅ
１ （３）∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ １＆Ｅ
１ （４） 兎ａ→～象ａ ２ＵＥ
１ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→象ａ ３ＵＥ
６（６） 兎ａ Ａ
１６（７） ～象ａ ４６ＭＰＰ
１６（８） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５７ＭＴＴ
１ （９） 兎ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６８ＣＰ
１ （ア）∀ｘ｛兎ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ９ＵＩ
∴ （イ）∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝＆
∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝→
∀ｘ｛兎ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ １アＣＰ
（〃）すべてのｘについてｘが兎であるならば、ｘは象ではなく、すべてのｘについて有るｙがｘの鼻であって長いならば、ｘは象である。ならば、すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、有るｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはない。 １アＣＰ
（〃）兎は象ではなく、鼻が長いならば象である。ならば、兎の鼻は長くない。
従って、
（18）
「兎は象ではないが、鼻が長いならば象である。」ならば「兎の鼻は長くない。」
といふ「推論」は、「正しい」。
従って、
（01）～（18）により、
（19）
① 象が鼻は長い。
② 象以外は鼻は長くない。
③ ∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
④ 全てのｘについて、ｘが象でないならば、有るｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（20）
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）
従って、
（04）（19）（20）により、
（21）
① 象が鼻は長い。
② 象以外は鼻は長くない。
であるとして、
量記号に十分に馴れるまで、練習を積むならば、
① 象が鼻は長い。
② 象以外は鼻は長くない。
③ ∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
④ 全てのｘについて、ｘが象でないならば、有るｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
といふことを、分かってもらへる、はずである。
（01）
兎は象ではない。
といふ「日本語」は、
∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝＝
すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、ｘは象ではない。
といふ「述語論理」に、対応する。
然るに、
（02）
｛象、兎、犬、馬｝
であるとして、
象の鼻は長い。
兎の鼻は長くない。
犬の鼻は長くない。
馬の鼻は長くない。
従って、
（02）により、
（03）
象が鼻は長い。
従って、
（02）（03）により、
（04）
象が鼻は長い。
といふ「日本語」は、
象以外は鼻は長くない。
といふ「意味」である。
然るに、
（05）
象以外は鼻は長くない（象が鼻は長い）。
といふ「日本語」は、
∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＝
全てのｘについて、ｘが象でないならば、有るｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはない。
といふ「述語論理」に、対応する。
従って、
（01）（05）により、
（06）
兎は象ではなく、象が鼻は長い（象以外は鼻は長くない）。
といふ「日本語」は、
∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝＆∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
といふ「述語論理」に、対応する。
然るに、
（07）
（ａ）
１ （１）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ Ａ
１ （２） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） １ＵＥ
３ （３） ～象ａ Ａ
４（４） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
１３ （５） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ２３ＭＰＰ
１３４（６） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆
～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４５＆Ｉ
１ ４（７） ～～象ａ ３６ＲＡＡ
１ ４（８） 象ａ ７ＤＮ
１ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→象ａ ４８ＲＡＡ
１ （ア）∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ ９ＵＩ
（ｂ）
１ （１）∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ Ａ
１ （２） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→象ａ １ＵＥ
３ （３） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） Ａ
４（４） ～象ａ Ａ
１３ （５） 象ａ ２３ＭＰＰ
１３４（６） ～象ａ＆象ａ ４５＆Ｉ
１ ４（７） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ３６ＲＡＡ
１ （８） ～象ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ４７ＲＡＡ
１ （９）∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ８ＵＩ
従って、
（07）により、
（08）
∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ 象ｘ｝
に於いて、「二つの式（対偶）」は「等しい」。
（08）により、
（09）
∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝＆∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝＆∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ 象ｘ｝
に於いて、「二つの式」は「等しい」。
然るに、
（10）
∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝＆∀ｘ｛ ∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→ 象ｘ｝
といふ「述語論理」は、
全てのｘについて、ｘが兎ならばｘは象ではなく、すべてのｘについて、有るｙがｘの鼻であって長いならば、ｘは象である。
といふ「意味」である。
然るに、
（11）
全てのｘについて、ｘが兎ならばｘは象ではなく、すべてのｘについて、有るｙがｘの鼻であって長いならば、ｘは象である。
といふことは、
兎は象ではなく、鼻が長いならば象である。
といふことである。
然るに、
（12）
兎は象ではなく、鼻が長いならば象である。
として、その一方で、
兎の鼻が長い。のであれば、
兎は象でなくて、象である。
といふ風に「矛盾」する。
ｃｆ.
背理法（proof by contradiction）
従って、
（12）により、
（13）
兎は象ではなく、鼻が長いならば象である。
といふのであれば、
兎の鼻が長い。といふことはない。
従って、
（13）により、
（14）
兎は象ではなく、鼻が長いならば象である。
といふのであれば、
兎の鼻は長くない。
従って、
（14）により、
（15）
兎は象ではなく、鼻が長いならば象である。ならば、兎の鼻は長くない。
然るに、
（16）
兎は象ではなく、鼻が長いならば象である。ならば、兎の鼻は長くない。
といふ「日本語」は、
∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝＆∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝→∀ｘ｛兎ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝＝
すべてのｘについてｘが兎であるならば、ｘは象ではなく、すべてのｘについて有るｙがｘの鼻であって長いならば、ｘは象である。ならば、すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、有るｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはない。
といふ「述語論理」に、対応する。
然るに、
（17）
１ （１）∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝＆
∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ Ａ
１ （２）∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝ １＆Ｅ
１ （３）∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝ １＆Ｅ
１ （４） 兎ａ→～象ａ ２ＵＥ
１ （５） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→象ａ ３ＵＥ
６（６） 兎ａ Ａ
１６（７） ～象ａ ４６ＭＰＰ
１６（８） ～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ５７ＭＴＴ
１ （９） 兎ａ→～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ） ６８ＣＰ
１ （ア）∀ｘ｛兎ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ ９ＵＩ
∴ （イ）∀ｘ｛兎ｘ→～象ｘ｝＆
∀ｘ｛∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→象ｘ｝→
∀ｘ｛兎ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝ １アＣＰ
（〃）すべてのｘについてｘが兎であるならば、ｘは象ではなく、すべてのｘについて有るｙがｘの鼻であって長いならば、ｘは象である。ならば、すべてのｘについて、ｘが兎であるならば、有るｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはない。 １アＣＰ
（〃）兎は象ではなく、鼻が長いならば象である。ならば、兎の鼻は長くない。
従って、
（18）
「兎は象ではないが、鼻が長いならば象である。」ならば「兎の鼻は長くない。」
といふ「推論」は、「正しい」。
従って、
（01）～（18）により、
（19）
① 象が鼻は長い。
② 象以外は鼻は長くない。
③ ∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
④ 全てのｘについて、ｘが象でないならば、有るｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
然るに、
（20）
日常言語の文から述語計算の文の翻訳のためには、一般にあたまが柔軟であることが必要である。なんら確定的な規則があるわけでなく、量記号に十分に馴れるまでには、練習を積むことが必要である。
（Ｅ.Ｊ.レモン 著、武生治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、１３０頁）
従って、
（04）（19）（20）により、
（21）
① 象が鼻は長い。
② 象以外は鼻は長くない。
であるとして、
量記号に十分に馴れるまで、練習を積むならば、
① 象が鼻は長い。
② 象以外は鼻は長くない。
③ ∀ｘ｛～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝。
④ 全てのｘについて、ｘが象でないならば、有るｙがｘの鼻であって、そのｙが長い、といふことはない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
といふことを、分かってもらへる、はずである。