（01）
１ （１） Ａ→ Ｂ 仮定
２ （２） Ａ＆～Ｂ 仮定
２ （３） Ａ ２＆Ｅ
２ （４） ～Ｂ ２＆Ｅ
１２ （５） Ｂ １２前件肯定
１２ （６） ～Ｂ＆ Ｂ ４５＆導入
１ （７）～（Ａ＆～Ｂ） ２６背理法
（02）
１ （１）～（Ａ＆～Ｂ） 仮定
２ （２） Ａ 仮定
３（３） ～Ｂ 仮定
２３（４） Ａ＆～Ｂ ２３＆導入
１２３（５）～（Ａ＆～Ｂ）＆
（Ａ＆～Ｂ） １４＆導入
１２ （６） ～～Ｂ ３５背理法
１２ （７） Ｂ ６二重否定
１ （８） Ａ→ Ｂ ２７条件法
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ＡであるならばＢである。
② ＡであってＢでない。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
② ＡであってＢでない。
③ ＢでなくてＡである。
に於いて、
②＝③ である。
ｃｆ.
交換法則（Commutative property）
従って、
（03）（04）により、
（05）
② ＡであってＢでない。といふことはない。
③ ＢでなくてＡである。といふことはない。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（06）
１ （１）～（～Ｂ＆ Ａ） 仮定
２ （２） ～Ｂ 仮定
３（３） Ａ 仮定
２３（４） ～Ｂ＆ Ａ）＆
（～Ｂ＆ Ａ） １４＆導入
１２ （６） ～Ａ ３５背理法
１ （７） ～Ｂ→～Ａ ２６条件法
（07）
１ （１） ～Ｂ→～Ａ 仮定
２ （２） ～Ｂ＆ Ａ 仮定
２ （３） ～Ｂ ２＆除去
２ （４） Ａ ２＆除去
１２ （５） ～Ａ １３前件肯定
１２ （６） Ａ＆～Ａ ４５＆導入
１ （７）～（～Ｂ＆ Ａ） ２６背理法
従って、
（06）（07）により、
（08）
③ ＢでなくてＡである。といふことはない。
④ ＢでないならばＡでない。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（03）（08）により、
（09）
① ＡであるならばＢである。
② ＡであってＢでない。といふことはない。
③ ＢでなくてＡである。といふことはない。
④ ＢでないならばＡでない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（09）により、
（10）
① ＡであるならばＢである。
④ ＢでないならばＡでない。
に於いて、
①＝④ である。
従って、
（10）により、
（11）
「対偶（Contraposition）」は「等しい」。
ｃｆ.
１ （１） Ａ→ Ｂ 仮定
２ （２） ～Ｂ 仮定
３（３） Ａ 仮定
１ ３（４） Ｂ １３前件肯定
１２３（５）～Ｂ＆ Ｂ ２４＆導入
１２ （６）～Ａ ３５背理法
１ （７）～Ｂ→～Ａ ２６条件法
然るに、
（12）
⑤ （ Ｂ→ Ａ）
⑥ （～Ａ→～Ｂ）
は、「対偶」である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
⑤（Ａ→Ｂ）＆（ Ｂ→ Ａ）
⑥（Ａ→Ｂ）＆（～Ａ→～Ｂ）
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（13）により、
（14）
⑤ ＡならばＢであって、ＢならばＡである。
⑥ ＡならばＢであって、ＡでないならばＢでない。
に於いて、
⑤＝⑥ である。
然るに、
（15）
⑤ ＡならばＢであって、ＢならばＡである。
⑥ ＡならばＢであって、ＡでないならばＢでない。
であるならば、そのときに限って、
⑤ Ａ＝Ｂ
⑥ Ｂ＝Ａ
である。
従って、
（16）
⑤ ＡはＢであって、ＢはＡである。
⑥ ＡはＢであって、Ａ以外はＢでない。
であるならば、そのときに限って、
⑤ Ａ＝Ｂ
⑥ Ｂ＝Ａ
である。
従って、
（16）により、
（17）
⑤ 東京都は日本の首都であって、日本の首都は東京都である。
⑥ 東京都は日本の首都であって、東京都以外は日本の首都でない。
であるならば、そのときに限って、
⑤ 東京都＝日本の首都
⑥ 日本の首都＝東京都
然るに、
（18）
⑥ 東京都は日本の首都であって、東京以外は日本の首都でない。
といふことは、
⑦ 東京都が日本の首都である。
といふことである。
然るに、
（19）
⑤ 東京都は日本の首都であって、日本の首都は東京である。
⑥ 東京都は日本の首都であって、東京以外は日本の首都でない。
⑦ 東京都が日本の首都である。
といふのであれば、
⑧ 東京都は日本の首都である。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
（１）東京都＝日本の首都 は「真（本当）」である。
（２）東京都は日本の首都である。 は「真（本当）」である。
（３）東京都が日本の首都である。 は「真（本当）」である。
（４）日本の首都は東京都である。 は「真（本当）」である。
（５）東京都以外は日本の首都でない。は「真（本当）」である。
然るに、
（21）
（６）小笠原＝東京都 は「偽（ウソ）」である。
（７）小笠原は東京都である。 は「真（本当）」である。
（８）小笠原が東京都である。 は「偽（ウソ）」である。
（９）東京都は小笠原である。 は「偽（ウソ）」である。
（Ａ）小笠原以外は東京都でない。は「偽（ウソ）」である。
然るに、
（22）
（２）東京都は日本の首都である。
といふ「日本語」は、
（２）東京都は「唯一の日本の首都」である。
といふ「意味」である。
（23）
（７）小笠原は東京都である。
といふ「日本語」は、
（７）小笠原村は「東京都の、区市町村の一つ」である。
といふ「意味」である。
然るに、
（24）
新宿区、足立区、荒川区、板橋区、江戸川区、大田区、葛飾区、北区、江東区、品川区、渋谷区、杉並区、墨田区、世田谷区、台東区、中央区、千代田区、豊島区、中野区、練馬区、文京区、港区、目黒区、昭島市、あきる野市、稲城市、青梅市、清瀬市、国立市、小金井市、国分寺市、小平市、狛江市、立川市、多摩市、調布市、西東京市、八王子市、羽村市、東久留米市、東村山市、東大和市、日野市、府中市、福生市、町田市、三鷹市、武蔵野市、武蔵村山市、西多摩郡奥多摩町、西多摩郡日の出町、西多摩郡瑞穂町、大島町、八丈町、西多摩郡檜原村、利島村、新島村、神津島村、三宅村、御蔵島村、青ヶ島村、小笠原村。
従って、
（24）により、
（25）
「東京都の区市町村」は、「集合」である。
然るに、
（26）
ここで多少、記号についてのべますと、集合をいちいち｛ｘ│Ｐ（ｘ）｝のような形で表さないで、Ａ＝｛ｘ│Ｐ（ｘ）｝と置いて、単に集合Ａと表現します。
ａ∈Ａ のとき「ａはＡの元である」とか「ａはＡの要素である」といいます。元もしくは要素は、elementの訳です。さらに「ａはAに属する」と表現します。
（竹内外文、集合とは何か、2001年、２２頁）
従って、
（20）～（27）により、
（26）
（２）東京都は日本の首都である。
（７）小笠原は東京都である。
といふ「日本語」は、
（２）東京都＝日本の首都である。
（７）小笠原∈東京都である。
といふ風に、書くことが出来る。
然るに、
（27）
① 理事長は、一人であって、
② 理事 は、数人である。
従って、
（26）（27）により、
（28）
① 私は理事長です。
② 私は理事です。
といふ「日本語」は、
① 私＝理事長。
② 私∈理事（集合）。
といふ風に、書くことが出来る。
然るに、
（29）
② 私∈理事（集合）。
ではなく、
① 私＝理事長。
であるならば、必然的に、
① 理事長＝私。
といふ風に、「逆も真」である。
である。
然るに、
（30）
① 私＝理事長。
① 理事長＝私。
といふ風に、「逆も真」である以上、
① 私は理事長です。
① 理事長は私です。
といふ風に、「逆も真」である。
然るに、
（31）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念館は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念館」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（29）（30）（31）により、
（32）
② 私∈理事（集合）。
ではなく、
① 私＝理事長。
であるならば、
① 私が理事長です。
であって、
① 私が理事長です。
であるならば、
① 理事長は私です。
といふ、ことになる。
従って、
（32）により、
（33）
② 私∈理事（集合）。
ではなく、
① 私＝理事長。
である。といふことを、「確認」したい「気持ち」がある場合には、
② 私は理事長です。
とは、言はずに、
① 私が理事長です。
① 理事長は私です。
といふ風に、言ふことになる。
然るに、
（31）～（33）により、
（34）
三上章先生は、
① 私は理事長です。
といふ「日本語」が、
② 私∈理事長。
ではなく、
① 私＝理事長。
であるといふことに、気付いてはゐない。
（35）
① 私は理事長です＝
① ∃ｘ｛私ｘ＆理事長ｘ＆∀ｙ［理事長ｙ→（ｙ＝ｘ）］｝＝
① ∃ｘ｛私ｘ＆理事長ｘ＆∀ｙ［～（ｙ＝ｘ）→～（理事長ｙ）］｝＝
① 或るｘは私であって、そのｘは理事長であって、いかなるｙであっても、ｙがｘと同一人物でないならば、ｙは理事長ではない。
に於いて、
① いかなるｙであっても、ｙがｘと同一人物でないならば、ｙは理事長ではない。
といふことを、「強調」したい場合には、
① 私は理事長です。
とは言はずに、
① 私が理事長です。
といふ風に言ふ、ことになる。
（36）
③ 象は鼻は長い＝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（長ｚ→鼻ｚｘ）｝＝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＝
③ 全てのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、全てのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
に於いて、
③ 全てのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふことを、「確認」したい場合には、
③ 象は鼻は長い。
とは言はずに、
③ 象は鼻が長い。
といふ風に言ふ、ことになる。
１ （１） Ａ→ Ｂ 仮定
２ （２） Ａ＆～Ｂ 仮定
２ （３） Ａ ２＆Ｅ
２ （４） ～Ｂ ２＆Ｅ
１２ （５） Ｂ １２前件肯定
１２ （６） ～Ｂ＆ Ｂ ４５＆導入
１ （７）～（Ａ＆～Ｂ） ２６背理法
（02）
１ （１）～（Ａ＆～Ｂ） 仮定
２ （２） Ａ 仮定
３（３） ～Ｂ 仮定
２３（４） Ａ＆～Ｂ ２３＆導入
１２３（５）～（Ａ＆～Ｂ）＆
（Ａ＆～Ｂ） １４＆導入
１２ （６） ～～Ｂ ３５背理法
１２ （７） Ｂ ６二重否定
１ （８） Ａ→ Ｂ ２７条件法
従って、
（01）（02）により、
（03）
① ＡであるならばＢである。
② ＡであってＢでない。といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（04）
② ＡであってＢでない。
③ ＢでなくてＡである。
に於いて、
②＝③ である。
ｃｆ.
交換法則（Commutative property）
従って、
（03）（04）により、
（05）
② ＡであってＢでない。といふことはない。
③ ＢでなくてＡである。といふことはない。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（06）
１ （１）～（～Ｂ＆ Ａ） 仮定
２ （２） ～Ｂ 仮定
３（３） Ａ 仮定
２３（４） ～Ｂ＆ Ａ）＆
（～Ｂ＆ Ａ） １４＆導入
１２ （６） ～Ａ ３５背理法
１ （７） ～Ｂ→～Ａ ２６条件法
（07）
１ （１） ～Ｂ→～Ａ 仮定
２ （２） ～Ｂ＆ Ａ 仮定
２ （３） ～Ｂ ２＆除去
２ （４） Ａ ２＆除去
１２ （５） ～Ａ １３前件肯定
１２ （６） Ａ＆～Ａ ４５＆導入
１ （７）～（～Ｂ＆ Ａ） ２６背理法
従って、
（06）（07）により、
（08）
③ ＢでなくてＡである。といふことはない。
④ ＢでないならばＡでない。
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（03）（08）により、
（09）
① ＡであるならばＢである。
② ＡであってＢでない。といふことはない。
③ ＢでなくてＡである。といふことはない。
④ ＢでないならばＡでない。
に於いて、
①＝②＝③＝④ である。
従って、
（09）により、
（10）
① ＡであるならばＢである。
④ ＢでないならばＡでない。
に於いて、
①＝④ である。
従って、
（10）により、
（11）
「対偶（Contraposition）」は「等しい」。
ｃｆ.
１ （１） Ａ→ Ｂ 仮定
２ （２） ～Ｂ 仮定
３（３） Ａ 仮定
１ ３（４） Ｂ １３前件肯定
１２３（５）～Ｂ＆ Ｂ ２４＆導入
１２ （６）～Ａ ３５背理法
１ （７）～Ｂ→～Ａ ２６条件法
然るに、
（12）
⑤ （ Ｂ→ Ａ）
⑥ （～Ａ→～Ｂ）
は、「対偶」である。
従って、
（11）（12）により、
（13）
⑤（Ａ→Ｂ）＆（ Ｂ→ Ａ）
⑥（Ａ→Ｂ）＆（～Ａ→～Ｂ）
に於いて、
⑤＝⑥ である。
従って、
（13）により、
（14）
⑤ ＡならばＢであって、ＢならばＡである。
⑥ ＡならばＢであって、ＡでないならばＢでない。
に於いて、
⑤＝⑥ である。
然るに、
（15）
⑤ ＡならばＢであって、ＢならばＡである。
⑥ ＡならばＢであって、ＡでないならばＢでない。
であるならば、そのときに限って、
⑤ Ａ＝Ｂ
⑥ Ｂ＝Ａ
である。
従って、
（16）
⑤ ＡはＢであって、ＢはＡである。
⑥ ＡはＢであって、Ａ以外はＢでない。
であるならば、そのときに限って、
⑤ Ａ＝Ｂ
⑥ Ｂ＝Ａ
である。
従って、
（16）により、
（17）
⑤ 東京都は日本の首都であって、日本の首都は東京都である。
⑥ 東京都は日本の首都であって、東京都以外は日本の首都でない。
であるならば、そのときに限って、
⑤ 東京都＝日本の首都
⑥ 日本の首都＝東京都
然るに、
（18）
⑥ 東京都は日本の首都であって、東京以外は日本の首都でない。
といふことは、
⑦ 東京都が日本の首都である。
といふことである。
然るに、
（19）
⑤ 東京都は日本の首都であって、日本の首都は東京である。
⑥ 東京都は日本の首都であって、東京以外は日本の首都でない。
⑦ 東京都が日本の首都である。
といふのであれば、
⑧ 東京都は日本の首都である。
従って、
（17）（18）（19）により、
（20）
（１）東京都＝日本の首都 は「真（本当）」である。
（２）東京都は日本の首都である。 は「真（本当）」である。
（３）東京都が日本の首都である。 は「真（本当）」である。
（４）日本の首都は東京都である。 は「真（本当）」である。
（５）東京都以外は日本の首都でない。は「真（本当）」である。
然るに、
（21）
（６）小笠原＝東京都 は「偽（ウソ）」である。
（７）小笠原は東京都である。 は「真（本当）」である。
（８）小笠原が東京都である。 は「偽（ウソ）」である。
（９）東京都は小笠原である。 は「偽（ウソ）」である。
（Ａ）小笠原以外は東京都でない。は「偽（ウソ）」である。
然るに、
（22）
（２）東京都は日本の首都である。
といふ「日本語」は、
（２）東京都は「唯一の日本の首都」である。
といふ「意味」である。
（23）
（７）小笠原は東京都である。
といふ「日本語」は、
（７）小笠原村は「東京都の、区市町村の一つ」である。
といふ「意味」である。
然るに、
（24）
新宿区、足立区、荒川区、板橋区、江戸川区、大田区、葛飾区、北区、江東区、品川区、渋谷区、杉並区、墨田区、世田谷区、台東区、中央区、千代田区、豊島区、中野区、練馬区、文京区、港区、目黒区、昭島市、あきる野市、稲城市、青梅市、清瀬市、国立市、小金井市、国分寺市、小平市、狛江市、立川市、多摩市、調布市、西東京市、八王子市、羽村市、東久留米市、東村山市、東大和市、日野市、府中市、福生市、町田市、三鷹市、武蔵野市、武蔵村山市、西多摩郡奥多摩町、西多摩郡日の出町、西多摩郡瑞穂町、大島町、八丈町、西多摩郡檜原村、利島村、新島村、神津島村、三宅村、御蔵島村、青ヶ島村、小笠原村。
従って、
（24）により、
（25）
「東京都の区市町村」は、「集合」である。
然るに、
（26）
ここで多少、記号についてのべますと、集合をいちいち｛ｘ│Ｐ（ｘ）｝のような形で表さないで、Ａ＝｛ｘ│Ｐ（ｘ）｝と置いて、単に集合Ａと表現します。
ａ∈Ａ のとき「ａはＡの元である」とか「ａはＡの要素である」といいます。元もしくは要素は、elementの訳です。さらに「ａはAに属する」と表現します。
（竹内外文、集合とは何か、2001年、２２頁）
従って、
（20）～（27）により、
（26）
（２）東京都は日本の首都である。
（７）小笠原は東京都である。
といふ「日本語」は、
（２）東京都＝日本の首都である。
（７）小笠原∈東京都である。
といふ風に、書くことが出来る。
然るに、
（27）
① 理事長は、一人であって、
② 理事 は、数人である。
従って、
（26）（27）により、
（28）
① 私は理事長です。
② 私は理事です。
といふ「日本語」は、
① 私＝理事長。
② 私∈理事（集合）。
といふ風に、書くことが出来る。
然るに、
（29）
② 私∈理事（集合）。
ではなく、
① 私＝理事長。
であるならば、必然的に、
① 理事長＝私。
といふ風に、「逆も真」である。
である。
然るに、
（30）
① 私＝理事長。
① 理事長＝私。
といふ風に、「逆も真」である以上、
① 私は理事長です。
① 理事長は私です。
といふ風に、「逆も真」である。
然るに、
（31）
よく知られているように、「私が理事長です」は語順を変え、
理事長は、私です。
と直して初めて主辞賓辞が適用されのである。また、かりに大倉氏が、
タゴール記念館は、私が理事です。
と言ったとすれば、これは主辞「タゴール記念館」を品評するという心持ちの文である。
（三上章、日本語の論理、1963年、４０・４１頁）
従って、
（29）（30）（31）により、
（32）
② 私∈理事（集合）。
ではなく、
① 私＝理事長。
であるならば、
① 私が理事長です。
であって、
① 私が理事長です。
であるならば、
① 理事長は私です。
といふ、ことになる。
従って、
（32）により、
（33）
② 私∈理事（集合）。
ではなく、
① 私＝理事長。
である。といふことを、「確認」したい「気持ち」がある場合には、
② 私は理事長です。
とは、言はずに、
① 私が理事長です。
① 理事長は私です。
といふ風に、言ふことになる。
然るに、
（31）～（33）により、
（34）
三上章先生は、
① 私は理事長です。
といふ「日本語」が、
② 私∈理事長。
ではなく、
① 私＝理事長。
であるといふことに、気付いてはゐない。
（35）
① 私は理事長です＝
① ∃ｘ｛私ｘ＆理事長ｘ＆∀ｙ［理事長ｙ→（ｙ＝ｘ）］｝＝
① ∃ｘ｛私ｘ＆理事長ｘ＆∀ｙ［～（ｙ＝ｘ）→～（理事長ｙ）］｝＝
① 或るｘは私であって、そのｘは理事長であって、いかなるｙであっても、ｙがｘと同一人物でないならば、ｙは理事長ではない。
に於いて、
① いかなるｙであっても、ｙがｘと同一人物でないならば、ｙは理事長ではない。
といふことを、「強調」したい場合には、
① 私は理事長です。
とは言はずに、
① 私が理事長です。
といふ風に言ふ、ことになる。
（36）
③ 象は鼻は長い＝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（長ｚ→鼻ｚｘ）｝＝
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＝
③ 全てのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、全てのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
に於いて、
③ 全てのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふことを、「確認」したい場合には、
③ 象は鼻は長い。
とは言はずに、
③ 象は鼻が長い。
といふ風に言ふ、ことになる。