こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。
今回は、令和２年度灘中の問題です。
問題は、
「下の図のような台形ＡＢＣＤの板があります。この板を辺ＣＤの周りに１回転させたとき、この板の通過する部分の体積は[ ]ｃｍ3 です。
▲問題図
ただし、円周率は
とします。また、板の厚さは考えません。」
です。
図１に、台形ＡＢＣＤの板が通過する回転体を軸を含む平面で切った断面図（左側の図）と見取り図（右側の図）を示します。
▲図１．回転体の断面図と見取り図です
図１の断面図から体積の計算に必要な線分の長さ、つまりＥＤとＳ1、Ｓ2の半径を求めていきましょう。
図２に示すように、直線ＡＢと直線ＣＤとの交点をＥとします。
▲図２．体積計算に必要な線分の長さを求めます
このとき、△ＥＡＤ∽△ＥＢＣでその相似比は１：２なので、
ＥＡ＝４（ｃｍ）
ＥＤ＝５（ｃｍ）
です。
次に、直線ＡＡ’と直線ＥＣとの交点をＦとします。
ここで、
で、これに、ＥＡ＝４（ｃｍ）、ＡＤ＝３（ｃｍ）、ＥＤ＝５（ｃｍ）を代入すると、
になり、これから
です。
このとき、直線ＢＢ’と直線ＥＣとの交点をＧとすると、
ＢＧ＝２ＡＦ
から
です。
以上で、図３に示すように、求める体積を計算するために必要な線分の長さが判りました。
▲図３．体積計算に必要な線分の長さが判りました
図３から、
（求める体積）＝（円錐Ｅ－Ｓ1の体積）＋（円錐Ｃ－Ｓ1の体積）
－{（円錐Ｅ－Ｓ2の体積）＋（円錐Ｃ－Ｓ2の体積）}
で、
と
から、
になり、これが答えです。
簡単な問題です。
今回は、令和２年度灘中の問題です。
問題は、
「下の図のような台形ＡＢＣＤの板があります。この板を辺ＣＤの周りに１回転させたとき、この板の通過する部分の体積は[ ]ｃｍ3 です。
▲問題図
ただし、円周率は
とします。また、板の厚さは考えません。」
です。
図１に、台形ＡＢＣＤの板が通過する回転体を軸を含む平面で切った断面図（左側の図）と見取り図（右側の図）を示します。
▲図１．回転体の断面図と見取り図です
図１の断面図から体積の計算に必要な線分の長さ、つまりＥＤとＳ1、Ｓ2の半径を求めていきましょう。
図２に示すように、直線ＡＢと直線ＣＤとの交点をＥとします。
▲図２．体積計算に必要な線分の長さを求めます
このとき、△ＥＡＤ∽△ＥＢＣでその相似比は１：２なので、
ＥＡ＝４（ｃｍ）
ＥＤ＝５（ｃｍ）
です。
次に、直線ＡＡ’と直線ＥＣとの交点をＦとします。
ここで、
で、これに、ＥＡ＝４（ｃｍ）、ＡＤ＝３（ｃｍ）、ＥＤ＝５（ｃｍ）を代入すると、
になり、これから
です。
このとき、直線ＢＢ’と直線ＥＣとの交点をＧとすると、
ＢＧ＝２ＡＦ
から
です。
以上で、図３に示すように、求める体積を計算するために必要な線分の長さが判りました。
▲図３．体積計算に必要な線分の長さが判りました
図３から、
（求める体積）＝（円錐Ｅ－Ｓ1の体積）＋（円錐Ｃ－Ｓ1の体積）
－{（円錐Ｅ－Ｓ2の体積）＋（円錐Ｃ－Ｓ2の体積）}
で、
と
から、
になり、これが答えです。
簡単な問題です。