（1261）「恒真式」としての「パースの法則」。

（01）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
は、「パースの法則」である。
然るに、
（02）
１　　（１）　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　　１含意の定義
　３　（３）　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　　　Ａ
　３　（４）～（～Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　３含意の定義
　３　（５）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　　Ｐ　　　　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　Ｐ　　　　　Ａ
１　　（８）　　　Ｐ　　　　　　　　　　１３６７７∨Ｅ
　　　（９）　（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｐ　１８ＣＰ
といふ「計算」は「正しい」。
従って、
（02）により、
（03）
１　　（１）　　（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ　　　　Ａ
１　　（２）　～（Ｐ→　Ｑ）∨Ｐ　　　　１含意の定義
　３　（３）　～（Ｐ→　Ｑ）　　　　　　Ａ
　３　（４）～（～Ｐ∨　Ｑ）　　　　　　３含意の定義
　３　（５）　　　Ｐ＆～Ｑ　　　　　　　４ド・モルガンの法則
　３　（６）　　　　　～Ｑ　　　　　　　５＆Ｅ
　　７（７）　　　　　　　　　Ｐ　　　　Ａ
１　　（８）　　　Ｐ　　　　　　　　　　１３６７７∨Ｅ
　　　（９）　（（Ｐ→　Ｑ）→Ｐ）→Ｑ　１８ＣＰ
といふ「計算」は「マチガイ」である。
従って、
（02）（03）により、
（04）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｑ
といふ「論理式」に於いて、
① は「証明（導出）可能」であるが、
② は「証明（導出）不能」である。
然るに、
（05）
「健全性定理」により、
「全ての・証明可能な・論理式」は「恒真式（トートロジー）」ではあるが、
「完全性定理」により、
「全ての・証明不能な・論理式」は「恒真式（トートロジー）」ではない。
従って、
（04）（05）により、
（06）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｑ
に於いて、
① は「恒に、真（本当）」であるが、
② は「恒に、真（本当）」であるとは「限らない」。
然るに、
（07）
（ａ）
１（１）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　Ａ
１（２）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　１含意の定義
１（３）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）∨Ｐ　２含意の定義
１（４）　　（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）∨Ｐ　３ド・モルガンの法則
１（５）　　（～Ｐ∨Ｑ　＆～Ｐ）∨Ｐ　４含意の定義
（ｂ）
１（１）　　（～Ｐ∨Ｑ　＆～Ｐ）∨Ｐ　Ａ
１（２）　　（（Ｐ→Ｑ）＆～Ｐ）∨Ｐ　含意の定義
１（３）～（～（Ｐ→Ｑ）∨　Ｐ）∨Ｐ　２ド・モルガンの法則
１（４）　～（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）∨Ｐ　３含意の定義
１（５）　　（（Ｐ→Ｑ）→　Ｐ）→Ｐ　４含意の定義
従って、
（07）により、
（08）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｑ
といふ「論理式」は、それぞれ、
①（～Ｐ∨Ｑ　＆～Ｐ）∨Ｐ
②（～Ｐ∨Ｑ　＆～Ｐ）∨Ｑ
といふ「論理式」に「等しい」。
然るに、
（09）
①（～Ｐ∨Ｑ＆～Ｐ）∨真
②（～Ｐ∨Ｑ＆～Ｐ）∨真
であるならば、
① は「真」であり、
② も「真」である。
然るに、
（10）
①（～Ｐ∨Ｑ＆～Ｐ）∨偽
②（～Ｐ∨Ｑ＆～Ｐ）∨偽
であるならば、
①（～偽∨Ｑ＆～偽）∨偽
②（～Ｐ∨偽＆～Ｐ）∨偽
であって、
①（～偽∨Ｑ＆～偽）∨偽
②（～Ｐ∨偽＆～Ｐ）∨偽
であるならば、
①（　真∨Ｑ＆　真）∨偽
②（～Ｐ∨偽＆～Ｐ）∨偽
であって、
① は「真」である。
然るに、
（10）により、
（11）
②（～Ｐ∨偽＆～Ｐ）∨偽
の場合は、
②（～真∨偽＆～真）∨偽
であれば、
②（　偽∨偽＆　偽）∨偽
であって、
②（　偽∨偽＆　偽）∨偽
は、「偽」である。
従って、
（08）～（11）により、
（12）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｑ
といふ「論理式」は、それぞれ、
①（～Ｐ∨Ｑ　＆～Ｐ）∨Ｐ
②（～Ｐ∨Ｑ　＆～Ｐ）∨Ｑ
といふ「論理式」に「等しく」、
① は「恒に、真（本当）」であるが、
② は「恒に、真（本当）」であるとは「限らない」。
従って、
従って、
（06）（12）により、
（13）
①（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ
②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｑ
に於いて、
① は「恒に、真（本当）」であるが、
② は「恒に、真（本当）」であるとは「限らない」。
従って、
（13）により、
（14）
「日本語」で言ふと、
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＱである。
に於いて、
① は「恒に、真（本当）」であるが、
② は「恒には真（本当）」であるとは「限らない」。
然るに、
（15）
②（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＱである。
③　（ＰならばＱ）ならば（ＰならばＱである）。
に於いて、すなはち、
②（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｑ
③　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
に於いて、
②＝③ ではない。
然るに、
（16）
１（１）（Ｐ→Ｑ）　　　　　　　Ａ
　（２）（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）　１１ＣＰ
従って、
（05）（16）により、
（17）
③（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③（ＰならばＱ）ならば（ＰならばＱである）。
は「恒真式（トートロジー）」ではある。
然るに、
（18）
（ａ）
１（１）　　（Ｐ→Ｑ）→（　Ｐ→Ｑ）　Ａ
１（２）　～（Ｐ→Ｑ）∨（　Ｐ→Ｑ）　１含意の定義
１（３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨（　Ｐ→Ｑ）　２含意の定義
１（４）～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）　３含意の定義
１（５）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）　４ド・モルガンの法則
（ｂ）
１（１）　（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）　Ａ
１（２）～（～Ｐ∨Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）　１ド・モルガンの法則
１（３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨（　Ｐ→Ｑ）　２含意の定義
１（４）　～（Ｐ→Ｑ）∨（　Ｐ→Ｑ）　３含意の定義
１（５）　　（Ｐ→Ｑ）→（　Ｐ→Ｑ）　４含意の定義
従って、
（18）により、
（19）
③（Ｐ→　Ｑ）→（　Ｐ→Ｑ）
④（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）
に於いて、
③＝④ である。
然るに、
（20）
④（真＆～真）∨（～真∨真）
④（真＆～偽）∨（～真∨偽）
④（偽＆～真）∨（～偽∨真）
④（偽＆～偽）∨（～偽∨偽）
といふ「４通り」は、
④（偽）∨（真）
④（真）∨（偽）
④（偽）∨（真）
④（偽）∨（真）
であるため、「４つ」とも「真」である。
従って、
（19）（20）により、
（21）
③（Ｐ→　Ｑ）→（　Ｐ→Ｑ）
④（Ｐ＆～Ｑ）∨（～Ｐ∨Ｑ）
に於いて、
③＝④ であって、
④ は「真」であるため、
③ も「真」である。
従って、
（17）（21）により、
（22）
いづれにせよ、
③（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｑ）
③（ＰならばＱ）ならば（ＰならばＱである）。
は「恒真式（トートロジー）」ではある。
従って、
（14）（22）により、
（23）
「日本語」で言ふと、
①（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＰである。
②（（ＰならばＱ）ならばＰ）ならばＱである。
③　（ＰならばＱ）ならば（ＰならばＱである）。
に於いて、
① は「恒に、真（本当）」である。
② は「恒に、真（本当）」であるとは「限らない」。
③ は「恒に、真（本当）」である。