(01)
① ∀x(Fx→ Gx)≡すべてxについて、xがFならば、xはGである。≡すべてのFはGである(全部肯定)。
② ∀x(Fx→~Gx)≡すべてxについて、xがFならば、xはGでない。≡すべてのFはGでない(全部否定)。
③ ~∀x(Fx→ Gx)≡(すべてのFがGである。)といふわけではない(部分否定)。
④ ~∀x(Fx→~Gx)≡(すべてのFがGでない。)といふわけではない(部分肯定)。
然るに、
(02)
(a)
1(1) ∀x(Fx→ Gx) A
1(2) Fa→~Ga 1UE
1(3) ~Fa∨ Ga 2含意の定義
1(4) ~(Fa&~Ga) 3ド・モルガンの法則
1(5)∀x~(Fx&~Gx) 4UI
1(6)~∃x(Fx&~Gx) 5量化子の関係
(b)
1(1)~∃x(Fx&~Gx) A
1(2)∀x~(Fx&~Gx) 1量化子の関係
1(3) ~(Fa&~Ga) 1UE
1(4) ~Fa∨ Ga 3ド・モルガンの法則
1(5) Fa→ Ga 4ド・モルガンの法則
1(6) ∀x(Fx→~Gx) 5UI
従って、
(02)により、
① ∀x(Fx→ Gx)≡~∃x(Fx&~Gx)≡(Fであって、Gでないx)は存在しない≡GでないFは、存在しない(全部肯定)。
② ∀x(Fx→~Gx)≡~∃x(Fx& Gx)≡(Fであって、Gであるx)は存在しない≡GであるFは、存在しない(全部否定)。
然るに、
(03)
(c)
1 (1)~∀x(Fx→Gx) A
1 (2)∃x~(Fx→Gx) 1量化子の関係
3(3) ~(Fa→Ga) A
3(4) ~(~Fa∨Ga) 3含意の定義
3(5) Fa&~Ga 4ド・モルガンの法則
3(6)∃x(Fx&~Gx) 5EI
1 (7)∃x(Fx&~Gx) 136EE
(d)
1 (1)∃x(Fx&~Gx) A
2(2) Fa&~Ga A
2(3) ~(~Fa∨Ga) 2ド・モルガンの法則
2(4) ~(Fa→Ga) 3含意の定義
2(5)∃x~(Fx→Gx) 4EI
1 (6)∃x~(Fx→Gx) 125EE
1 (7)~∀x(Fx→Gx) 6量化子の関係
従って、
(03)により、
(04)
③ ~∀x(Fx→ Gx)≡∃x(Fx&~Gx)≡(Fであって、Gでないx)が存在する≡GでないFが、存在する(部分否定)。
④ ~∀x(Fx→~Gx)≡∃x(Fx& Gx)≡(Fであって、Gであるx)が存在する≡GであるFが、存在する(部分肯定)。
従って、
(02)(04)により、
(05)
① ∀x(Fx→ Gx)≡~∃x(Fx&~Gx)≡(Fであって、Gでないx)は存在しない≡GでないFは、存在しない(全部肯定)。
② ∀x(Fx→~Gx)≡~∃x(Fx& Gx)≡(Fであって、Gであるx)は存在しない≡GであるFは、存在しない(全部否定)。
③ ~∀x(Fx→ Gx)≡ ∃x(Fx&~Gx)≡(Fであって、Gでないx)が存在する ≡GでないFが、存在する (部分否定)。
④ ~∀x(Fx→~Gx)≡ ∃x(Fx& Gx)≡(Fであって、Gであるx)が存在する ≡GであるFが、存在する (部分肯定)。
然るに、
(06)
「漢文の教科書」等で、取り上げられるのは、専ら、
② ∀x(Fx→~Gx)≡~∃x(Fx& Gx)≡(Fであって、Gであるx)は存在しない≡GであるFは、存在しない(全部否定)。
③ ~∀x(Fx→ Gx)≡ ∃x(Fx&~Gx)≡(Fであって、Gでないx)が存在する ≡GでないFが、存在する (部分否定)。
である。
然るに、
(07)
② 勇者必不レ仁。⇔
② 勇者は必ず仁ならず。
といふことは、
② ∀x(勇者x→~仁x)⇔
② すべてのxについて(xが勇者であるならば、xは仁ではない)。
といふことに、他ならない。
(08)
③ 勇者不二必仁一。⇔
③ 勇者は必ずしも仁ならず。
といふことは、
③ ~∀x(勇者x→仁x)⇔
③ すべてのxについて(xが勇者であるならば、xは仁ではある)。といふわけではない。
といふことに、他ならない。
従って、
(07)(08)により、
(09)
② 勇者必不レ仁。 ≡ ∀x(勇者x→~仁x)≡~∃x(勇者x& 仁x)
③ 勇者不二必仁一。≡~∀x(勇者x→ 仁x)≡ ∃x(勇者x&~仁x)
といふ「等式」が、成立する。
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