(01)
(ⅰ)
1 (1) P→Q A
2 (2) ~(~P∨Q) A
3 (3) ~P A
3 (4) ~P∨Q 3∨I
23 (5) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 24&I
2 (6) ~~P 35RAA
2 (7) P 6DN
8(8) Q A
8(9) ~P∨Q 8∨I
2 8(ア) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 29&I
2 (イ) ~Q 8アRAA
12 (ウ) Q 17MPP
12 (エ) ~Q&Q イウ&I
1 (オ)~~(~P∨Q) 2エDN
1 (カ) ~P∨Q オDN
(ⅱ)
1 (1) ~P∨ Q A
2 (2) P&~Q A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P&P 34&I
3 (6)~(P&~Q) 25RAA
7 (8) Q A
2 (9) ~Q 2&E
2 7 (ア) Q&~Q 89&I
7 (イ)~(P&~Q) 2アRAA
1 (ウ)~(P&~Q) 1367イ∨E
エ (エ) P A
オ(オ) ~Q A
エオ(カ) P&~Q エオ&I
1 エオ(キ)~(P&~Q)&
(P&~Q) ウカ&I
1 エ (ク) ~~Q オキRAA
1 エ (ケ) Q エDN
1 (コ) P→ Q エケCP
従って、
(01)により、
(02)
① P→Q
② ~P∨Q
に於いて、
①=② である(含意の定義)。
然るに、
(03)
(ⅰ)
1 (1) P→Q A
2(2) ~(~P∨Q) A
2(3) P&~Q 2ド・モルガンの法則
2(4) P 3&E
12(5) Q 14MPP
2(6) ~Q 3&E
12(7) Q&~Q 56&E
1 (8)~~(~P∨Q) 27RAA
1 (9) ~P∨Q 8DN
(ⅱ)
1 (1) ~P∨Q A
1 (2)~(P&~Q) 1ド・モルガンの法則
3 (3) P A
4(4) ~Q A
34(5) P&~Q 34&I
134(6)~(P&~Q)&
(P&~Q) 25&I
13 (7) ~~Q 46RAA
13 (8) Q 7DN
1 (9) P→ Q 38CP
従って、
(03)により、
(04)
「ド・モルガンの法則」により、
① P→Q
② ~P∨Q
に於いて、
①=② である(含意の定義)。
従って、
(02)(04)により、
(05)
①( P→Q)→(~P∨Q)
④(~P∨Q)→( P→Q)
といふ「論理式」は、両方とも、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(06)
①(P→Q)→(~P∨Q)
②(真→偽)→(~真∨偽)
に於いて、
① が、「偽」であるためは、「真理値」に於いて、
①=② でなければ、ならない。
然るに、
(07)
②(真→偽)→(~真∨偽)
であるならば、
③(偽)→(偽)
である。
然るに、
(08)
(ⅰ)真→真
(ⅱ)真→偽
(ⅲ)偽→真
(ⅳ)偽→偽
に於いて、
(ⅱ)以外は、3つとも、「真」である。
従って、
(07)(08)により、
(09)
②(真→偽)→(~真∨偽)
であるならば、
③(偽)→(偽)
であるが、
③ は、「真」であり、そのため、
② は、「真」である。
従って、
(06)~(09)により、
(10)
①(P→Q)→(~P∨Q)
を、「偽」にすることは、「不可」であり、それ故、
① は、「恒真式(トートロジー)」である。
(11)
④(~P∨Q)→(P→Q)
⑤(~真∨偽)→(真→偽)
に於いて、
④ が、「偽」であるためは、「真理値」に於いて、
④=⑤ でなければ、ならない。
然るに、
(12)
⑤(~真∨偽)→(真→偽)
であるならば、
⑥(偽)→(偽)
である。
従って、
(08)(12)により、
(13)
⑤(~真∨偽)→(真→偽)
であるならば、
⑥(偽)→(偽)
であるが、
⑥ は、「真」であり、そのため、
⑤ は、「真」である。
従って、
(11)(12)(13)により、
(14)
④(~P∨Q)→(P→Q)
を、「偽」にすることは、「不可」であり、それ故、
④ は、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(05)(10)(14)により、
(15)
①( P→Q)→(~P∨Q)
④(~P∨Q)→( P→Q)
に於いて、
① は、「恒真式(トートロジー)」であり、
④ も、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(15)により、
(16)
①(P→Q)⇔(~P∨Q)
といふ「含意の定義」は、「恒真式(トートロジー)」である。
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