(01)
①{(P→Q)&(Q→R)}→(P→R)
②{(真→Q)&(Q→偽)}→(真→偽)
に於いて、
① が「偽」であるためには、「真理値」に於いて、
①=② でなければ、ならない。
(02)
②{(真→Q)&(Q→偽)}→(真→偽)
に於いて、
③ Q=真
④ Q=偽
であるならば、
③{(真→真)&(真→偽)}→(真→偽)
④{(真→偽)&(偽→偽)}→(真→偽)
である。
然るに、
(03)
③{(真→真)&(真→偽)}→(真→偽)
④{(真→偽)&(偽→偽)}→(真→偽)
であるならば、
③{(真)&(偽)}→(偽)
④{(偽)&(真)}→(偽)
である。
然るに、
(04)
③{(真)&(偽)}→(偽)
④{(偽)&(真)}→(偽)
であるならば、
③{偽}→(偽)
④{偽}→(偽)
然るに、
(05)
③{偽}→(偽)
④{偽}→(偽)
であるならば、
③ 真
④ 真
である。
従って、
(01)~(05)により、
(06)
①{(P→Q)&(Q→R)}→(P→R)
②{(真→Q)&(Q→偽)}→(真→偽)
に於いて、
① が「偽」であるためには、
①=② でなければ、ならないが、
② は「真」である。
従って、
(06)により、
(07)
①{(P→Q)&(Q→R)}→(P→R)
といふ「命題(三段論法)」を、「偽」にすることは出来ない。
従って、
(07)により、
(08)
①{(P→Q)&(Q→R)}→(P→R)
といふ「命題(三段論法)」、すなはち、
①{(PならばQ)であって(QならばRである)}ならば(PならばRである)。
といふ「命題(三段論法)」は、「偽」であることが「不可」であるが故に、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(09)
1 (1) (P→Q)&(Q→R) A
1 (2) P→Q 1&E
1 (3) Q→R 1&E
4(4) P A
14(5) Q 24MPP
14(6) R 35MPP
1 (7) P→R 46CP
(8){(P→Q)&(Q→R)}→(P→R) 17CP
従って、
(09)により、
(10)
①{(P→Q)&(Q→R)}→(P→R)
といふ「命題(三段論法)」、すなはち、
①{(PならばQ)であって(QならばRである)}ならば(PならばRである)。
といふ「命題(三段論法)」は、「命題計算」により、「恒真式(トートロジー)」である。
(11)
⑤((P→Q)→P)→P
⑥((偽→Q)→偽)→偽
に於いて、
⑤ が「偽」であるためには、「真理値」に於いて、
⑤=⑥ でなければ、ならない。
然るに、
(12)
⑥((偽→Q)→偽)→偽
に於いて、
⑦ Q=真
⑧ Q=偽
であるならば、
⑦((偽→真)→偽)→偽
⑧((偽→偽)→偽)→偽
である。
然るに、
(13)
⑦((偽→真)→偽)→偽
⑧((偽→偽)→偽)→偽
であるならば、
⑦((真)→偽)→偽
⑧((真)→偽)→偽
である。
然るに、
(14)
⑦((真)→偽)→偽
⑧((真)→偽)→偽
であるならば、
⑦(偽)→偽
⑧(偽)→偽
である。
然るに、
(15)
⑦(偽)→偽
⑧(偽)→偽
であるならば、
⑦ 真
⑧ 真
である。
従って、
(11)~(15)により、
(16)
⑤((P→Q)→P)→P
⑥((偽→Q)→偽)→偽
に於いて、
⑤ が「偽」であるためには、
⑤=⑥ でなければ、ならないが、
⑥ は「真」である。
従って、
(16)により、
(17)
⑤((P→Q)→P)→P
といふ「論理式(パースの法則)」を、「偽」にすることは出来ない。
従って、
(17)により、
(18)
⑤((P→Q)→P)→P
といふ「命題(パースの法則)」、すなはち、
⑤((PならばQである)ならばPである)ならばPである。
といふ「命題(パースの法相)」は、「偽」であることが「不可」であるが故に、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(19)
1 (1) (P→Q)→P A
1 (2) ~(P→Q)∨P 1含意の定義
3 (3) ~(P→Q) A
3 (4)~(~P∨Q) 3含意の定義
3 (5) P&~Q 4ド・モルガンの法則
3 (6) P 5&E
7(7) P A
1 (8) P 13677
(9)((P→Q)→P)→P 18CP
従って、
(19)により、
(20)
⑤((P→Q)→P)→P
といふ「命題(パースの法則)」、すなはち、
⑤((PならばQである)ならばPである)ならばPである。
といふ「命題(パースの法則)」は、「命題計算」により、「恒真式(トートロジー)」である。
従って、
(01)~(20)により、
(21)
①{(PならばQ)であって(QならばRである)}ならば(PならばRである)。
⑤((PならばQである)ならばPである)ならばPである。
に於いて、
① は、「偽」であることが「不可」であるが故に、「恒真式(トートロジー)」であって、
⑤ も、「偽」であることが「不可」であるが故に、「恒真式(トートロジー)」であって、
① は、「命題計算」によって、「恒真式(トートロジー)」である。
⑤ も、「命題計算」によって、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(22)
①{(PならばQ)であって(QならばRである)}ならば(PならばRである)。
⑤((PならばQである)ならばPである)ならばPである。
に於いて、
① は、「普通」であるが、
⑤ は、「 変 」である。
然るに、
(12)~(15)により、
(23)
⑤((PならばQである)ならばPである)ならばPである。
といふ「言ひ方」は、実際には、
⑤((Pならば、Qの真偽)に拘はらず、Pである)ならばPである。
といふことに、他ならない。
然るに、
(24)
①{(PならばQ)であって(QならばRである)}ならば(PならばRである)。
⑤((Pならば、Qの真偽)に拘はらず、Pである)ならばPである。
に於いて、
① は、「普通」であって、
⑤ も、「普通」である。
従って、
(24)により、
(25)
①「三段論法」
⑤「パースの法則」
に於いて、
① は、「普通」であって、
⑤ も、「普通」である。
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