（256）「象は鼻も長い・象も鼻は長い・象も鼻が長い」の「述語論理」。

（01）
「昨日の記事（令和元年６月１１日）」で確認した通り、
① 象は鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ 象が鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
④ 象が鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］＆～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
といふ「等式」は、「正しい」。
然るに、
（02）
例へば、
「象は鼻は長い。」と「象は鼻も長い。」とは、「矛盾」せず、
「象は鼻は長い。」と「象は鼻が長い。」とは、「矛盾」せず、
「象は鼻が長い。」と「象は鼻も長い。」とは、「矛盾」する。
従って、
（01）（02）により、
（03）
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ 象が鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
④ 象が鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］＆～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
に於いて、それぞれ、
② ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
③ ～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
④ ～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
を「否定」すると、
② 象は鼻も長い。
③ 象も鼻は長い。
④ 象も鼻が長い。
といふ、ことになる。
然るに、
（04）
② ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
の「否定」は、
１　（１）～∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　Ａ
１　（２）∃ｚ～（～鼻ｚｘ→～長ｚ）　１量化子の関係
　３（３）　　～（～鼻ｃｘ→～長ｃ）　Ａ
　３（４）　　～（　鼻ｃｘ∨～長ｃ）　３含意の定義
　３（５）　　　～鼻ｃｘ＆～～長ｃ　　４ド・モルガンの法則
　３（６）　　　　～鼻ｃｘ＆　長ｃ　　５ＤＮ
　３（７）　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　６ＥＩ
１　（８）　∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）　２３７ＥＥ
によって、得られる。
（05）
③ ～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
に関しては、「含意の定義」により、
③   象ｘ∨～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
であるため、
③ ～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
の「否定」は、
③   象ｘ∨～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
の「否定」に、「等しい」。
然るに、
（06）
１（１）～［象ｘ∨～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）］　Ａ
１（２）～象ｘ＆～～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）　　１ド・モルガンの法則
１（３）～象ｘ＆　　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）　　２ＤＮ
然るに、
（07）
④ ～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］
に関しても、「含意の定義」により、
④ 　象ｘ∨～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］
であるため、
④ ～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］
の「否定」は、
④ 　象ｘ∨～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］
の「否定」に、「等しい」。
然るに、
（08）
１（１）～｛象ｘ∨～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝　Ａ
１（２）～象ｘ＆～～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］　　１ド・モルガンの法則
１（３）～象ｘ＆　　［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］　　２ＤＮ
従って、
（03）～（08）により、
（09）
② ∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
③ ～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
④ ～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）
の「否定」は、
⑤ ∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）
⑥ ～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）
⑦ ～象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］
である。
従って、
（03）（09）により、
（10）
⑤ 象は鼻も長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
⑥ 象も鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ＆　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑦ 象も鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］＆～象ｘ＆　［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
（11）
⑤ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
⑤ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、あるｚはｘの鼻ではないが、ｚは長い。
といふことは、
⑤ 象には、長い鼻と、長い鼻以外の部分がある。
といふことである。
（12）
⑥ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ＆∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝⇔
⑥ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって、長く、ｘは象ではなく、あるｙはｘの鼻であって、長い。
といふことは、
⑥ 鼻の長い動物には、象と、象以外の動物がゐる。
といふことである。
（13）
⑦ ∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］＆～象ｘ＆［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝⇔
⑦ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、ｘは象ではなく、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふことは、
⑦ 鼻だけが長い動物には、象と、象以外の動物がゐる。
といふことである。
従って、
（10）～（13）により、
（14）
たしかに、（10）は、「正しい」。
従って、
（01）（10）（14）により、
（15）
① 象は鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
② 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
③ 象は鼻も長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝
④ 象が鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ→～∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑤ 象も鼻は長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆～象ｘ＆　∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）｝
⑥ 象が鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］＆～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
⑦ 象も鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］＆～象ｘ＆　［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝
といふ「等式」が、成立する。