(01)
「先程(令和02年5月27日)」も書いた通り、
(ⅰ)
1 (1) P→~Q A
2 (2) P& Q A
2 (3) P 2&E
12 (4) ~Q 13MPP
2 (5) Q 2&E
12 (6) ~Q&Q 45&I
1 (7) ~( P& Q) 26RAA
8 (8) ~(~P∨~Q) A
9 (9) ~P A
9 (ア) ~P∨~Q 9∨I
89 (イ) ~(~P∨~Q)&
(~P∨~Q) 8ア&I
8 (ウ) ~~P 9イRAA
8 (エ) P ウDN
オ(オ) ~Q A
オ(カ) ~P∨~Q カ∨I
8 オ(キ) ~(~P∨~Q)&
(~P∨~Q) 8カ&I
8 (ク) ~~Q オキRAA
8 (ケ) Q クDN
8 (コ) P& Q エケ&I
1 8 (サ) ~( P& Q)&
( P& Q) 7コ&I
1 (シ)~~(~P∨~Q) 8サRAA
1 (ス) ~P∨~Q シDN
(ⅱ)
1 (1) ~P∨~Q A
2 (2) P& Q A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P&P 34&I
3 (6)~(P& Q) 25RAA
7 (7) ~Q A
2 (8) Q 2&E
2 7 (9) ~Q&Q 78&I
7 (ア)~(P& Q) 29RAA
1 (イ)~(P& Q) 1367ア∨E
ウ (ウ) P A
エ(エ) Q A
ウエ(オ) P& Q ウエ&I
1 ウエ(カ)~(P& Q)&
(P& Q) イオ&I
1 ウ (キ) ~Q エカRAA
1 (ク) P→~Q ウキCP
従って、
(01)により、
(02)
① P→~Q
② ~P∨~Q
に於いて、
①=② である。
然るに、
(02)により、
(03)
① P→~Q
② ~P∨~Q
に於いて、
Q=~Q
といふ「代入(Substitution)」を行ふと、
① P→~~Q
② ~P∨~~Q
に於いて、
①=② である。
従って、
(03)により、
(04)
「二重否定律(DN)」により、
① P→Q≡Pならば、Qである。
② ~P∨Q≡Pでないか、または、Qである。
に於いて、
①=② であって、この「等式」を、「含意の定義」といふ。
然るに、
(05)
(ⅰ)
1 (1) P→( Q→R) A
1 (2)~P∨( Q→R) 1含意の定義
3 (3)~P A
3 (4)~P∨(~Q∨R) 3∨I
5(5) ( Q→R) A
5(6) (~Q∨R) 5含意の定義
5(7)~P∨(~Q∨R) 6∨I
1 (8)~P∨(~Q∨R) 13457∨E
(ⅱ)
1 (1)~P∨(~Q∨R) A
1 (2) P→(~Q∨R) 1含意の定義
3 (3) P A
13 (4) ~Q∨R 23MPP
13 (5) Q→R 4含意の定義
1 (6) P→( Q→R) 35CP
従って、
(06)
① P→( Q→R)
② ~P∨(~Q∨R)
に於いて、
①=② である。
然るに、
(07)
(ⅲ)
1 (1) (P→Q)→R A
1 (2) ~(P→Q)∨R 1含意の定義
3 (3) ~(P→Q) A
4 (4) ~P∨Q A
4 (5) P→Q 4含意の定義
34 (6) ~(P→Q)&
(P→Q) 35&I
3 (5)~(~P∨Q) 46RAA
3 (6) P&~Q 5ド・モルガンの法則
3 (7) (P&~Q)∨R 6∨I
8(8) R A
8(9) (P&~Q)∨R 8∨I
1 (ア) (P&~Q)∨R 23789∨E
(ⅳ)
1 (1) (P&~Q)∨R A
2 (2) (P&~Q) A
2 (3)~(~P∨Q) 2ド・モルガンの法則
3 (4) P→Q A
3 (5) ~P∨Q 4含意の定義
23 (6)~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 35&I
2 (7) ~(P→Q) 36RAA
2 (8) ~(P→Q)∨R 7∨I
9(9) R A
9(ア) ~(P→Q)∨R 9∨I
1 (イ) ~(P→Q)∨R 1289ア∨I
1 (ウ) (P→Q)→R イ含意の定義
従って、
(07)により、
(08)
③(P→ Q)→R
④(P&~Q)∨R
に於いて、
③=④ である。
従って、
(06)(08)により、
(09)
① P→( Q→R)
② ~P∨(~Q∨R)
③ (P→ Q)→R
④ (P&~Q)∨R
に於いて、
①=② であって、
③=④ である。
然るに、
(10)
② ~P∨(~Q∨R)
④ (P&~Q)∨R
に於いて、例へば、
② ~偽∨(~偽∨偽)≡ 1+(1+0)≡1
④ (偽&~偽)∨偽 ≡(0×1)+0 ≡0
であるならば、
② は「真(1)」であるが、
④ は「偽(0)」である。
従って、
(10)により、
(11)
② ~P∨(~Q∨R)
④ (P&~Q)∨R
に於いて、
②=④ ではない。
従って、
(09)(10)(11)により、
(12)
① P→(Q→R)
③(P→Q)→R
に於いて、
①=③ ではない。
従って、
(12)により、
(13)
① Pならば(QならばRである)。
③(PならばQ)ならばRである。
に於いて、
①=③ ではない。
従って、
(13)により、
(14)
① Pならば、QならばRである。
③ PならばQ、ならばRである。
に於いて、
①=③ ではない。
然るに、
(14)により、
(15)
① Pは、QはRである。
③ PはQ、はRである。
に於いて、
①=③ ではない。
然るに、
(16)
① 私は、明日は忙しい。
③ 私は明日、は忙しい。
に於いて、
①=③ ではないし、
① は「日本語として、タダシイ」ものの、
③ は「日本語として、ヲカシイ」。
然るに、
(17)
論理学は多種多様な問題を包括し、正確な境界がない。一方の端ではそれは次第に数学となり、他の端では哲学となる。
(E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、1973年、3頁)
然るに、
(18)
「論理学の一方の端」が「文法(言語学)」でないことは、ヲカシイと、言ふべきである。
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