（627）「連言の否定」と「仮言命題」と「選言命題」。

（01）
「交換法則」により、
①（Ｐであって、Ｑである。）
②（Ｑであって、Ｐである。）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）により、
（02）
①（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
②（Ｑであって、Ｐである。）といふことはない。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（03）
①（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
②（Ｑであって、Ｐである。）といふことはない。
といふことは、
③（Ｐならば、Ｑでない。）
④（Ｑならば、Ｐでない。）
といふことである。
然るに、
（04）
③（Ｐならば、Ｑでない。）然るに、Ｐである。故に、Ｑでない。
④（Ｑならば、Ｐでない。）然るに、Ｑである。故に、Ｐでない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（05）
⑤（Ｐでないか、または、Ｑでない。）然るに、Ｐである。故に、Ｑでない。
⑥（Ｑでないか、または、Ｐでない。）然るに、Ｑである。故に、Ｐでない。
といふ「推論」は、「妥当」である。
従って、
（04）（05）により、
（06）
③（Ｐならば、Ｑでない。）
④（Ｑならば、Ｐでない。）
といふことは、
⑤（Ｐでないか、Ｑでない。）
⑥（Ｑでないか、Ｐでない。）
従って、
（01）～（06）により、
（07）
①（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
②（Ｑであって、Ｐである。）といふことはない。
③（Ｐならば、Ｑでない。）
④（Ｑならば、Ｐでない。）
⑤（Ｐでないか、または、Ｑでない。）
⑥（Ｑでないか、または、Ｐでない。）
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥ である。
従って、
（07）により、
（08）
「記号」で書くと、
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② ～（Ｑ＆　Ｐ）
③　　 Ｐ→～Ｑ
④　　 Ｑ→～Ｐ
⑤ 　～Ｐ∨～Ｑ
⑥　 ～Ｑ∨～Ｐ
であるものの、
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② ～（Ｑ＆　Ｐ）
⑤ 　～Ｐ∨～Ｑ
⑥　 ～Ｑ∨～Ｐ
に於ける、
①＝②＝⑤＝⑥
に関して言へば、これらは、「ド・モルガンの法則」である。
従って、
（08）により、
（09）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
③ 　　Ｐ→～Ｑ
⑤ 　～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
①＝③＝⑤ であるものの、「命題計算」による「証明」は、（10）の通りである。
（10）
（ⅰ）
１　　（１）～（Ｐ＆　Ｑ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｐ＆　Ｑ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　　～Ｑ　　　３５ＲＡＡ
１　　（７）　　Ｐ→～Ｑ　　　２６ＣＰ
（ⅱ）
１　　　　（１）　　　　Ｐ→～Ｑ　　　Ａ
　２　　　（２）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　２　　　（３）　　　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
１２　　　（４）　　　　　　～Ｑ　　　１３ＭＰＰ
　２　　　（５）　　　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
１２　　　（６）　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　４５＆Ｉ
１　　　　（７）　～（　Ｐ＆　Ｑ）　　２６ＲＡＡ
　　８　　（８）　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　Ａ
　　　９　（９）　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　　９　（ア）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　９∨Ｉ
　　８９　（イ）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　８ア＆Ｉ
　　８　　（ウ）　　～～Ｐ　　　　　　９イＲＡＡ
　　８　　（エ）　　　　Ｐ　　　　　　ウＤＮ
　　　　オ（オ）　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　　　オ（カ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　カ∨Ｉ
　　８　オ（キ）　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　８カ＆Ｉ
　　８　　（ク）　　　　　～～Ｑ　　　オキＲＡＡ
　　８　　（ケ）　　　　　　　Ｑ　　　クＤＮ
　　８　　（コ）　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　エケ＆Ｉ
１　８　　（サ）　～（　Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（　Ｐ＆　Ｑ）　  ７コ＆Ｉ
１　　　　（シ）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　８サＲＡＡ
１　　　　（ス）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　シＤＮ
（ⅲ）
１　　　　　（１）　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　３　　　（３）　～Ｐ　　　　　　Ａ
　２　　　　（４）　　Ｐ　　　　　　２＆Ｅ
　２３　　　（５）　～Ｐ＆Ｐ　　　　３４＆Ｉ
　　３　　　（６）～（Ｐ＆　Ｑ）　　２５ＲＡＡ
　　　７　　（７）　　　　～Ｑ　　　Ａ
　２　　　　（８）　　　　　Ｑ　　　２＆Ｅ
　２　７　　（９）　　～Ｑ＆Ｑ　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）～（Ｐ＆　Ｑ）　　２９ＲＡＡ
１　　　　　（イ）～（Ｐ＆　Ｑ）　　１３６７ア∨Ｅ
　　　　ウ　（ウ）　　Ｐ　　　　　　Ａ
　　　　　エ（エ）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　ウエ（オ）　　Ｐ＆　Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
１　　　ウエ（カ）～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　イオ＆Ｉ
１　　　ウ　（キ）　　　　～Ｑ　　　エカＲＡＡ
１　　　　　（ク）　　Ｐ→～Ｑ　　　ウキＣＰ
（ⅳ）
１　（１）　　Ｐ→～Ｑ　　Ａ
　２（２）　　Ｐ＆　Ｑ　　Ａ
　２（３）　　Ｐ　　　　　２＆Ｅ
１２（４）　　　　～Ｑ　　１３ＭＰＰ
　２（５）　　　　　Ｑ　　２＆Ｅ
１２（６）　　～Ｑ＆Ｑ　　４５＆Ｉ
１　（７）～（Ｐ＆　Ｑ）　２６ＲＡＡ
従って、
（09）（10）により、
（11）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
③ 　　Ｐ→～Ｑ
⑤ 　～Ｐ∨～Ｑ
に於いて、
① ならば、③ であり、
③ ならば、⑤ であり、
⑤ ならば、③ であり、
③ ならば、① であり、それ故、
①＝③＝⑤ である。
然るに、
（12）
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② ～（Ｑ＆　Ｐ）
③　　 Ｐ→～Ｑ
④　　 Ｑ→～Ｐ
⑤ 　～Ｐ∨～Ｑ
⑥　 ～Ｑ∨～Ｐ
に於いて、
①＝② は、「交換法則」であり、
③＝④ は、「対偶」であり、
⑤＝⑥ は、「交換法則」である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
①（Ｐであって、Ｑである。）といふことはない。
②（Ｑであって、Ｐである。）といふことはない。
③（Ｐならば、Ｑでない。）
④（Ｑならば、Ｐでない。）
⑤（Ｐでないか、または、Ｑでない。）
⑥（Ｑでないか、または、Ｐでない。）
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥ である。
といふこと、すなはち、
① ～（Ｐ＆　Ｑ）
② ～（Ｑ＆　Ｐ）
③　　 Ｐ→～Ｑ
④　　 Ｑ→～Ｐ
⑤ 　～Ｐ∨～Ｑ
⑥　 ～Ｑ∨～Ｐ
に於いて、
①＝②＝③＝④＝⑤＝⑥ である。
といふことは、「命題計算」としても、「正しい」。