(01)
定理とは仮定の数がゼロの証明可能な連式の結論である。― 中略 ―
興味のある定理の大ていのものは、事実上 CPを適用することによって導かれる。たとえば、
38 ├ P→P
1(1)P A
(2)P→P 1,1CP
(E.j.レモン 著、竹尾治一郎・楢英 訳、1973年、64頁)
従って、
(01)により、
(02)
├ P→P(同一律) がさうであるやうに、
「仮定の数がゼロの証明可能な連式の結論である」所の「定理」とは、「恒真式(トートロジー)」である。
然るに、
(03)
1(1) (P∨Q)&~P A
1(2) P∨Q 1&E
1(3)~~P∨Q 2DN
1(4) ~P→Q 3含意の定義
1(5) ~P 1&E
1(6) Q 15MPP
(7){(P∨Q)&~P}→Q 16CP
従って、
(03)により、
(04)
├ {(P∨Q)&~P}→Q
の右辺(左辺は無い)も、「恒真式」である。
従って、
(05)
例題1 {(P∨Q)&~P}→Q
すなはち、
例題1((p∨q)∧~p)⊃q
といふ「式」も、「恒真式」である。
然るに、
(06)
例題1((p∨q)∧ ~p)⊃q
≡~((p∨q)∧ ~p)∨q [条件法の定義]
≡(~(p∨q)∨~~p)∨q [ド・モルガン]
≡(~(p∨q)∨ p)∨q [二重否定律]
≡((~p∧~q)∨ p)∨q [ド・モルガン]
≡ (~p∧~q)∨(p∨ q) [結合律]
≡ (p∨q)∨(~p∧~q) [交換律]
≡((p∨q)∨~p)∧((p∨q)∨~q)[分配律]
≡ (p∨~p∨ q)∧ (p∨q ∨~q)[結合律2回]
p∨~p と q∨~q は恒真命題なので、両命題の代わりに1を置く。
≡(1∨q)∧(p∨1)
≡ 1∧1
≡ 1 ∴ 恒真である。
(飯田賢一・中才敏郎・中谷隆雄、論理学の基礎、1994年、48頁)
然るに、
(03)(06)により、
(07)
「計算(03)」の方が、「計算(06)」よりも、「簡単」である。
従って、
(07)により、
(08)
私は、「連言標準形にして恒真であるか否かを判定しなさい。」といふ「問題」が、「嫌い」である。
(09)
例題2((p∨q)∧p)⊃~q
然るに、
(10)
1 (1) {(P∨Q)&P}→~Q A
1 (2)~{(P∨Q)&P}∨~Q 1含意の定義
3 (3)~{(P∨Q)&P} A
3 (4) ~(P∨Q)∨~P 3ド・モルガンの法則
5 (5) ~(P∨Q) A
5 (6) ~P&~Q 5ド・モルガンの法則
5 (7) ~P 6&I
5 (8) ~P∨~Q 7∨I
9 (9) ~P A
9 (ア) ~P∨~Q 9∨I
3 (イ) ~P∨~Q 4589ア∨E
ウ(ウ) ~Q A
ウ(エ) ~P∨~Q ウ∨I
1 (オ) ~P∨~Q 23イウエ∨E
然るに、
(11)
(オ)~P∨~Q は、
(〃)~真∨~真 であるならば、「偽」である。
従って、
(09)(10)(11)により、
(12)
例題2{(P∨Q)&P}→~Q
すなはち、
例題2((p∨q)∧p)⊃~q
は、「恒真式」ではない。
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