数学オリンピック（日本予選）の問題

こんにちは。東久留米市の学習塾塾長です。

曇りで少し蒸し暑く感じます。明日は晴れから雨になるようで天気は下り坂のようです。

数学オリンピックと言う数学好きな若者の祭典があって、今年は南アフリカで開催されます。参加資格は、２０歳未満で大学教育を受けていない者です。各国の予選で６名の代表が選抜され、日本の場合、１月に予選、２月に本選が実施され、代表が選抜されます。

今回は、先日紹介した整数方程式（不定方程式）と因数分解に関連した問題を紹介します。これは、２００９年の日本での予選で出題されました。

問題は、「次の２つの式をみたす正の整数の組（ａ，ｂ，ｃ）をすべて求めよ。ただし、３つの数の並ぶ順番が異なる組は区別する。
ａｂ＋ｃ＝１３
ａ＋ｂｃ＝２３　」
です。

数学オリンピックの問題は大変難しく手に負えないものばかりですが、国内予選の問題となると簡単です。ここで、
ａｂ＋ｃ＝１３　　式（１）
ａ＋ｂｃ＝２３　　式（２）
とします。

ａ、ｂ、ｃ≧１　の整数で、式（１）から
ｃ＝１３－ａｂ
なので、
１≦ｃ≦１２
が判ります。

そこで、ｃ＝１、２、３、・・・、１２　を片っ端から調べてみれば正解できそうです。

また、式（２）から、
ａ＝２３－ｂｃ
なので、
１≦ａ≦２２
で、同様に、ａ＝１、２、３、・・・、２２　を調べてもＯＫです。（ｃのほうが少ないのでｃを調べるほうが早そうですが）

上記のように力ずくで解いても良いのですが、芸がないといえばその通りで、式（１）と（２）を眺めてみると、それらの左辺を足したり引いたりすると、それが因数分解できそうです。そうなると、それらの因数は、式（１）、（２）の右辺の和と差、つまり、３６と１０の約数になる訳で、これを利用すれば簡単になりそうです。

実際に和を作ると、
ａｂ＋ｃ＋ａ＋ｂｃ＝ａ（ｂ＋１）＋ｃ（ｂ＋１）
　　　　　　　　　＝（ａ＋ｃ）（ｂ＋１）
　　　　　　　　　＝３６
となるので、（ａ＋ｃ）と（ｂ＋１）は、どちらも２以上であることを考慮して、（２，１８）、（３，１２）、（４，９）、（６，６）、（９，４）、（１２，３）、（１８，２）の７通りになり、ｂ＝１７、１１、８、５、３、２、１　となります。

次に、差を作ってみると、
ａ＋ｂｃ－ａｂ－ｃ＝ａ（１－ｂ）－ｃ（１－ｂ）
　　　　　　　　　＝（ａ－ｃ）（１－ｂ）
　　　　　　　　　＝１０
となるので、（ａ－ｃ）と（１－ｂ）は、１－ｂ＜０であることを考慮して、（－１０，－１）、（－５，－２）、（－１，－１０）の３通りになり、ｂ＝２、３、１１　となります。

以上から、ｂは、２、３、１１　と３つに絞ることができました。（和を計算する必要がなかったということです）

あとは、ｂに２、３、１１を代入し、ａとｃを計算すればＯＫで、
ｂ＝２では、ａ＋ｃ＝１２、ａ－ｃ＝－１０　なので、ａ＝１、ｃ＝１１
ｂ＝３では、ａ＋ｃ＝９、ａ－ｃ＝－５　なので、ａ＝２、ｃ＝７
ｂ＝１１では、ａ＋ｃ＝３、ａ－ｃ＝－１　なので、ａ＝１，ｃ＝２
で、まとめると、
（ａ，ｂ，ｃ）は、（１，２，１１）、（２，３，７）、（１，１１，２）の３組になります。

数学好きの高校生は数学オリンピックに挑戦しては如何でしょうか。また、中学生にはジュニア数学オリンピックがあります。後日、ジュニア数学オリンピックに出題された問題も紹介します。