（01）
われわれはつぎの結果をたやすく証明できる。
１５８ ∃ｘ∃ｙ（Ｒｘｙ）├ ～｛∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→Ｒｙｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）｝
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２３３頁）
然るに、
（02）
１ （１） ∃ｘ∃ｙ（Ｒｘｙ） Ａ
２ （２） ∃ｙ（Ｒａｙ） Ａ
３ （３） Ｒａｂ Ａ
４（４） ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→Ｒｙｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ） Ａ
４（５） ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→Ｒｙｘ） ４＆Ｅ
４（６） ∀ｙ（Ｒｘｂ→Ｒｂｘ） ５ＵＥ
４（７） Ｒａｂ→Ｒｂａ ６ＵＥ
４（８） ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ） ４＆Ｅ
４（９） ∀ｙ（Ｒａｙ→～Ｒｙａ） ８ＵＥ
４（ア） Ｒａｂ→～Ｒｂａ ９ＵＥ
３４（イ） Ｒｂａ ３７ＭＰＰ
３４（ウ） ～Ｒｂａ ３アＭＰＰ
３４（エ） Ｒｂａ＆～Ｒｂａ イウ＆Ｉ
３ （オ）～｛∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→Ｒｙｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）｝ ４エＲＡＡ
２ （カ）～｛∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→Ｒｙｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）｝ ２３オＥＥ
１ （キ）～｛∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→Ｒｙｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）｝ １２カＥＥ
従って、
（01）（02）により、
（03）
私にも、
１５８ ∃ｘ∃ｙ（Ｒｘｙ）├ ～｛∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→Ｒｙｘ）＆∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）｝
といふ結果をたやすく証明できる。
然るに、
（04）
つぎの結果は容易に証明される。
１５９ ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２３４頁）
然るに、
（05）
１５□ ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→ｘ≠ｙ＆～Ｒｙｘ）
１ （１） ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ） Ａ
１ （２） ∀ｙ（Ｒａｙ→～Ｒｙａ） １ＵＥ
１ （３） Ｒａｂ→～Ｒｂａ ２ＵＥ
４ （４） ａ＝ｂ＆ Ｒａｂ Ａ
４ （５） ａ＝ｂ ４＆Ｅ
４ （６） Ｒａｂ ４＆Ｅ
１４ （７） ～Ｒｂａ ３６ＭＰＰ
１４ （８） Ｒａａ ５６＝Ｅ
１４ （９） ～Ｒａａ ５７＝Ｅ
１４ （ア） Ｒａａ＆～Ｒａａ ８９＆Ｉ
１ （イ） ～（ａ＝ｂ＆ Ｒａｂ） ４アＲＡＡ
１ （ウ） ａ≠ｂ∨～Ｒａｂ イ、ド・モルガンの法則
１ （エ） ～Ｒａｂ∨ａ≠ｂ ウ交換法則
１ （オ） Ｒａｂ→ａ≠ｂ エ含意の定義
カ（カ） Ｒａｂ Ａ
１ カ（キ） ～Ｒｂａ ３カＭＰＰ
１ カ（ク） ａ≠ｂ オカＭＰＰ
１ カ（ケ） ａ≠ｂ＆～Ｒｂａ キク＆Ｉ
１ （コ） Ｒａｂ→ａ≠ｂ＆～Ｒｂａ カケＣＰ
１ （サ） ∀ｙ（Ｒａｙ→ａ≠ｙ＆～Ｒｙａ） コＵＩ
１ （シ）∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→ｘ≠ｙ＆～Ｒｙｘ） サＵＩ
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→ｘ≠ｙ＆～Ｒｙｘ）
に於いて、
① は、Ｅ.Ｊ.レモン によって、「証明」されて、
② は、 私 によって、「証明」される。
然るに、
（07）
①（ｘ≠ｙ＆Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
②（Ｒｘｙ→ｘ≠ｙ＆～Ｒｙｘ）
に於いて、
③ ｘ≠ｙ が「偽」であって、
③ Ｒｘｙ が「真」であるならば、
① は、「（式全体として、）真」であるが、
② は、「（式全体として、）偽」である。
従って、
（06）（07）により、
（08）
① ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→ｘ≠ｙ＆～Ｒｙｘ）
に於いて、
①＝② ではない。
然るに、
（09）
（３）∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
であるときまたそのときに限って非対称的である。
親であるという関係は非対称的である。なぜならば、ａがｂの親であるならば、ｂはａの親ではないからである。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２３２頁）
従って、
（08）（09）により、
（10）
① ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（ｘ≠ｙ＆親ｘｙ→～親ｙｘ）
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→ｘ≠ｙ＆～親ｙｘ）
に於いて、
①＝② ではない。
然るに、
（11）
① ∀ｘ∀ｙ（ｘ≠ｙ＆親ｘｙ→～親ｙｘ）
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→ｘ≠ｙ＆～親ｙｘ）
に於いて、それぞれ、
①「ｘとｙが同一人物でなくて、ｘがｙの親であること」は、「ｙがｘの親でないこと」の「十分条件」である。
②「ｘがｙの親であること」は、「ｘとｙが同一人物でなくて、ｙがｘの親でないこと」の「十分条件」である。
といふ、「意味」である。
然るに、
（12）
例へば、
②「サザエさんがタラちゃんの親である」ことは、「サザエさんとタラちゃんが、同一人物ではなく、タラちゃんがサザエさんの親でないこと」の「十分条件」である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
②「ｘがｙの親であること」は、「ｘとｙが同一人物でなくて、ｙがｘの親でないこと」の「十分条件」である。⇔
②「サザエさんがタラちゃんの親であること」は、「サザエさんとタラちゃんが、同一人物ではなく、タラちゃんがサザエさんの親でないこと」の「十分条件」である。
といふ「常識」からすると、
① ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（ｘ≠ｙ＆親ｘｙ→～親ｙｘ）
② ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→～親ｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（親ｘｙ→ｘ≠ｙ＆～親ｙｘ）
といふ「連式（Sequents）」に於いて、
① は、「妥当」ではなく、
② が、「妥当」であると、すべきである。
従って、
（04）（13）により、
（14）
つぎの結果は容易に証明される。
１５９ ∀ｘ∀ｙ（Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）├ ∀ｘ∀ｙ（ｘ≠ｙ＆Ｒｘｙ→～Ｒｙｘ）
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、２３４頁）
といふ「２行」は、「正しく」はないと、思はれる（？）。