（01）
―「冪等律」の「証明」。―
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ｐ
（２）Ｐ∨Ｐ １∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１）Ｐ∨Ｐ Ｐ
２ （２）Ｐ Ｐ
３（３） Ｐ Ｐ
１ （４）Ｐ １２２３３∨Ｅ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ≡Ｐである。
② Ｐ∨Ｐ≡Ｐであるか、または、Ｐである。
に於いて、
①＝② は、「冪等律」である。
然るに、
（03）
（ⅱ）
１ （１） Ｐ∨Ｐ Ｐ
２ （２） Ｐ Ｐ
２ （３）～～Ｐ ２ＤＮ
２ （４）～～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
５（５） Ｐ Ｐ
５（６）～～Ｐ∨Ｐ ５∨Ｉ
（ⅲ）
１ （１）～～Ｐ∨Ｐ Ｐ
２ （２）～～Ｐ Ｐ
２ （３） Ｐ ２ＤＮ
２ （４） Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
５（５） Ｐ Ｐ
５（６） Ｐ∨Ｐ ５∨Ｉ
１ （７） Ｐ∨Ｐ １２４５６∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ≡Ｐである。
② Ｐ∨Ｐ≡Ｐであるか、または、Ｐである。
③ ～～Ｐ∨Ｐ≡Ｐでない、でないか、あるか、または、Ｐである。
に於いて、
①＝②＝③ は、「冪等律」である。
然るに、
（05）
―「含意の定義」の「証明」。―
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） イオ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
（ⅳ）
１ （１） Ｐ→Ｑ Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３（３） ～Ｐ Ａ
３（４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３（５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
１２ （８） Ｑ １７ＭＰＰ
１２ （９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
１２ （ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
１２ （イ） （～Ｐ∨Ｑ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２イＲＡＡ
１ （エ） ～Ｐ∨Ｑ ウＤＮ
従って、
（05）により、
（06）
③ ～Ｐ∨Ｑ
④ Ｐ→Ｑ
に於いて、
③＝④ は、「含意の定義」である。
従って、
（06）により、
（07）
③ ～Ｐ∨Ｑ
④ Ｐ→Ｑ
に於いて、
Ｐ＝～Ｐ
Ｑ＝ Ｐ
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
③ ～～Ｐ∨Ｐ
④ ～Ｐ→Ｐ
に於いて、
④＝⑤ は、「含意の定義」である。
従って、
（04）（07）により、
（08）
① Ｐ≡Ｐである。
② Ｐ∨Ｐ≡Ｐであるか、または、Ｐである。
③ ～～Ｐ∨Ｐ≡Ｐでない、でない、であるか、または、Ｐである。
④ ～Ｐ→Ｐ≡Ｐでないならば、Ｐである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ は、「冪等律・含意の定義」である。
従って、
（08）により、
（09）
① Ｐ≡Ｐである。
② ～Ｐ→Ｐ≡Ｐでないならば、Ｐである。
に於いて、
①＝② といふ「等式」を、「冪等律・含意の定義」とする。
然るに、
（10）
―「排中律」の「証明」。―
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １７＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
従って、
（10）により、
（11）
③ ～Ｐ∨Ｐ≡Ｐでないか、または、Ｐである。
といふ「論理式（排中律）」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（12）
（ⅰ）
（１）～Ｐ∨Ｐ ＴＩ（排中律）
（２） Ｐ→Ｐ １含意の定義
（ⅱ）
（１） Ｐ→Ｐ ＴＩ（同一律）
（２）～Ｐ∨Ｐ １含意の定義
従って、
（12）により、
（13）
① ～Ｐ∨Ｐ≡Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
② Ｐ→Ｐ≡Ｐであるならば、 Ｐである（同一律）。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（14）
（ⅰ）
（１）～Ｐ∨Ｐ ＴＩ（排中律）
２ （２）～Ｐ Ａ
２ （３）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ） ２∨Ｉ
２ （４） Ｐ→（～Ｐ→Ｐ） ３含意の定義
５（５） Ｐ Ａ
５（６） （～Ｐ→Ｐ） ５冪等律・含意の定義
５（７）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ） ６∨Ｉ
５（８） Ｐ→（～Ｐ→Ｐ） ７含意の定義
（９） Ｐ→（～Ｐ→Ｐ） １２４５８∨Ｅ
（ⅲ）
（１） Ｐ→（～Ｐ→Ｐ） ＴＩ（定理導入の規則）
（２）～Ｐ∨（～Ｐ→Ｐ） １含意の定義
３ （３）～Ｐ Ａ
３ （４）～Ｐ∨Ｐ ３∨Ｉ
５（５） ～Ｐ→Ｐ Ａ
５（６） Ｐ ５冪等律・含意の定義
５（７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
（８）～Ｐ∨Ｐ ２３４５７∨Ｅ
従って、
（14）により、
（15）
① ～Ｐ∨Ｐ ≡Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝③ である。
従って、
（13）（15）により、
（16）
① ～Ｐ∨Ｐ ≡Ｐでないか、または、Ｐである（排中律）。
② Ｐ→Ｐ ≡Ｐであるならば、 Ｐである（同一律）。
③ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（16）により、
（17）
「番号」を付け直すと、
① Ｐ→（ Ｐ ）≡Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ である。
然るに、
（08）により、
（18）
もう一度、確認すると、
① Ｐ≡Ｐである。
② Ｐ∨Ｐ≡Ｐであるか、または、Ｐである。
③ ～～Ｐ∨Ｐ≡Ｐでない、でない、であるか、または、Ｐである。
④ ～Ｐ→Ｐ≡Ｐでないならば、Ｐである。
に於いて、
①＝②＝③＝④ は、「冪等律・含意の定義」である。
従って、
（17）（18）により、
（19）
①（ Ｐ ）≡ Ｐである。
④（～Ｐ→Ｐ）≡（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ であるが故に、必然的に、
① Ｐ→（ Ｐ ）≡Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ である。
従って、
（18）（19）により、
（20）
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
といふ「恒真式（トートロジー）」が、「奇異」に感じられるのは、
①（ Ｐ ）≡ Ｐである。
④（～Ｐ→Ｐ）≡（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ であるにも拘らず、
①＝④ であるやうには、思へないからである。
然るに、
（21）
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於ける「ならば」を、「質料含意（material implication）」と言ひ、「質量含意」の場合は、「含意の定義」により、
（ⅰ）「Ｐ」が「偽」であるならば、「ＰならばＱである。」は「真」であり、
（ⅱ）「Ｑ」が「真」であるならば、「ＰならばＱである。」は「真」である。
従って、
（21）により、
（22）
①（ Ｐ ）
④（～Ｐ→Ｐ）
に於いて、
① Ｐ が「真」である。
② Ｐ が「真」である。
とすると、
①（ 真 ）
④（～真→真）≡（偽→真）
に於いて、
① は「真」であり、
② も「真」である。
（23）
①（ Ｐ ）
④（～Ｐ→Ｐ）
に於いて、
① Ｐ が「偽」である。
② Ｐ が「偽」である。
とすると、
①（ 偽 ）
④（～偽→偽）≡（真→偽）
に於いて、
① は「偽」であり、
② も「偽」である。
従って、
（21）（22）（23）により、
（24）
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於ける「ならば」を、「質料含意（material implication）」であると「決めた、結果」として、
①（ Ｐ ）
④（～Ｐ→Ｐ）
に於いて、
①＝④ である。
といふことになり、更に、「その結果」として、
① Ｐ→（ Ｐ ）≡Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ である。
といふことになる。
従って、
（24）により、
（25）
① Ｐ→（ Ｐ ）≡Ｐであるならば、Ｐである（同一律）。
④ Ｐ→（～Ｐ→Ｐ）≡Ｐならば（Ｐでないならば、Ｐである）。
に於いて、
①＝④ である。
といふことを、「否定」したいのであれば、
（ⅰ）「Ｐ」が「偽」であるならば、「ＰならばＱである。」は「真」であり、
（ⅱ）「Ｑ」が「真」であるならば、「ＰならばＱである。」は「真」である。
といふ「質料含意（material implication）の定義」を、「否定」しなければ、ならない。