(01)
① 真├ 真
② 真├ 偽
③ 偽├ 真
④ 偽├ 偽
に於いて、
② だけが、「偽」であって、
② 以外は、「真」である。
然るに、
(02)
② 真&偽 は、
② 偽 である。
従って、
(01)(02)により、
(03)
① 真&偽├ 真
② 真&偽├ 偽
③ 真&偽├ 真
④ 真&偽├ 偽
の場合は、4つとも、
① 偽├ 真
② 偽├ 偽
③ 偽├ 真
④ 偽├ 偽
である。
従って、
(01)(02)(03)により、
(04)
① 真&偽├ 真
② 真&偽├ 偽
③ 真&偽├ 真
④ 真&偽├ 偽
の場合は、4つとも「真」である。
然るに、
(05)
「~P&P(矛盾)」は、
「真&偽(偽&真)」である。
従って、
(04)(05)により、
(06)
① ~P&P(矛盾)├ 真
② ~P&P(矛盾)├ 偽
③ ~P&P(矛盾)├ 真
④ ~P&P(矛盾)├ 偽
の場合は、4つとも「真」である。
従って、
(06)により、
(07)
① ~P&P(矛盾)├ Q(真)
② ~P&P(矛盾)├ Q(偽)
の場合は、2つとも「真」である。
従って、
(07)により、
(08)
P=バカボンのパパは天才である。
Q=太陽は、(西からではなく)東から昇る。
とするならば、
① バカボンのパパは天才ではなく、尚且つ、バカボンのパパは天才である。故に、太陽は、(西からではなく)東から昇る。
② バカボンのパパは天才ではなく、尚且つ、バカボンのパパは天才である。故に、太陽は、(東からではなく)西から昇る。
といふ「命題」は、2つとも「真」である。
然るに、
(09)
―「含意の定義」の「証明」。―
(ⅰ)
1 (1) P→Q A
2 (2) ~(~P∨Q) A
3(3) ~P A
3(4) ~P∨Q 3∨I
23(5) ~(~P∨Q)&
(~P∨Q) 24&I
2 (6) ~~P 35RAA
2 (7) P 6DN
12 (8) Q 17MPP
12 (9) ~P∨Q 8∨I
12 (ア) ~(~P∨Q)&
12 (イ) (~P∨Q) 2ア&I
1 (ウ)~~(~P∨Q) 2イRAA
1 (エ) ~P∨Q ウDN
(ⅱ)
1 (1) ~P∨Q A
2 (2) P&~Q A
3 (3) ~P A
2 (4) P 2&E
23 (5) ~P&P 34&I
3 (6)~(P&~Q) 25RAA
7 (7) Q A
2 (8) ~Q 2&E
2 7 (9) Q&~Q 78&I
7 (ア)~(P&~Q) 29RAA
1 (イ)~(P&~Q) 1367ア∨E
ウ (ウ) P A
エ(エ) ~Q A
ウエ(オ) P&~Q ウエ&I
1 ウエ(カ)~(P&~Q)&
(P&~Q) イオ&I
1 ウ (キ) ~~Q エカRAA
1 ウ (ク) Q キDN
1 (ケ) P→ Q ウクCP
従って、
(09)により、
(10)
① P→Q(Pならば、Qである)
② ~P∨Q(PでないかQである)
に於いて
①=② である(含意の定義)
然るに、
(11)
1(1)~P&P A
1(2)~P 1&E
1(3) P 1&E
1(4)~P∨Q 2∨I
1(5) P→Q 4含意の定義
1(6) Q 35MPP
従って、
(09)(10)(11)により、
(12)
① ~P&P├ Q
といふ「連式(Sequent)」は、「命題計算」としても、「妥当」である(?)。
従って、
(08)(12)により、
(13)
① バカボンのパパは天才ではなく、尚且つ、バカボンのパパは天才である。故に、太陽は、(西からではなく)東から昇る。
② バカボンのパパは天才ではなく、尚且つ、バカボンのパパは天才である。故に、太陽は、(東からではなく)西から昇る。
といふ「命題」は、2つとも、「命題計算」としても、「真」である(?)。
然るに、
(05)(11)により、
(14)
1(1)~P&P A
1(2)~P 1&E
1(3) P 1&E
1(4)~P∨Q 2∨I
1(5) P→Q 4含意の定義
1(6) Q 35MPP
といふ「計算」に於ける、
1(1)~P&P A
といふ「唯一の前提」は、「(矛盾)偽」である。
(15)
論証は、その前提がすべて真であり、そして結論が偽であるならば、健全ではありえない。推論が健全であるための必要条件は、真理からは真理のみが帰結するということである。
(論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、5頁)
従って、
(14)(15)により、
(16)
1(1)~P&P A
1(2)~P 1&E
1(3) P 1&E
1(4)~P∨Q 2∨I
1(5) P→Q 4含意の定義
1(6) Q 35MPP
といふ「計算」に於ける、
1(1)~P&P A
といふ「唯一の前提」が、初めから「偽(矛盾)」であるが故に、
1(1)~P&P A
1(2)~P 1&E
1(3) P 1&E
1(4)~P∨Q 2∨I
1(5) P→Q 4含意の定義
1(6) Q 35MPP
といふ「計算」は、固より、「健全」であるとは、言へない。
従って、
(13)~(16)により、
(17)
1(1)~P&P A
1(2)~P 1&E
1(3) P 1&E
1(4)~P∨Q 2∨I
1(5) P→Q 4含意の定義
1(6) Q 35MPP
といふ「計算」自体が、「不健全」であるため、
① バカボンのパパは天才ではなく、尚且つ、バカボンのパパは天才である。故に、太陽は、(西からではなく)東から昇る。
② バカボンのパパは天才ではなく、尚且つ、バカボンのパパは天才である。故に、太陽は、(東からではなく)西から昇る。
といふ「命題」は、2つとも、「命題計算」としても、「真」である。
といふことには、ならない。
(18)
1(1)~P&P A
1(2)~P 1&E
1(3) P 1&E
1(4)~P∨Q 2∨I
1(5) P→Q 4含意の定義
1(6) Q 35MPP
といふ「計算」は、所謂、「ゼロ除算(÷0)」に、相当すると、言ふべきである。
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