（977）｛（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ｝と｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝を、明確に、区別せよ（Ⅱ）。

　―「昨日（令和０３年０９月２２日）」の記事を、書きなおします。―
（01）
（ⅰ）
１　　　　　　　（１）　　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　Ａ
１　　　　　　　（２）　～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ　　　　１含意の定義
　３　　　　　　（３）　～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　Ａ
　　４　　　　　（４）～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　Ａ
　　　５　　　　（５）　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　　５　　　　（６）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　５∨Ｉ
　　４５　　　　（７）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　４６＆Ｉ
　　４　　　　　（８）　～～Ｐ　　　　　　　　　５ＲＡＡ
　　４　　　　　（９）　　　Ｐ　　　　　　　　　８ＤＮ
　　　　ア　　　（ア）　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　ア　　　（イ）　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　ア∨Ｉ
　　４　ア　　　（ウ）～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　４ア＆Ｉ
　　４　　　　　（エ）　　　　～～Ｑ　　　　　　アウＲＡＡ
　　４　　　　　（オ）　　　　　　Ｑ　　　　　　エＤＮ
　　４　　　　　（カ）　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　９オ＆Ｉ
　３４　　　　　（キ）～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ）　３カ＆Ｉ
　３　　　　　　（ク）～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　４キＲＡＡ
　３　　　　　　（ケ）　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　クＤＮ
　３　　　　　　（コ）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　　　ケ∨Ｉ
　　　　　サ　　（サ）　　　　　　　Ｒ　　　　　Ａ
　　　　　サ　　（シ）　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　　サ∨Ｉ
１　　　　　　　（ス）　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　　１３コサシ∨Ｅ
１　　　　　　　（セ）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　　　　ス結合法則
　　　　　　ソ　（ソ）～Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　　　　ソ　（タ）～Ｐ∨Ｒ　　　　　　　　　ソ∨Ｉ
　　　　　　ソ　（チ）　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　　タ含意の定義
　　　　　　ソ　（ツ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　　チ∨Ｉ
　　　　　　　テ（テ）　　　　　（～Ｑ∨Ｒ）　　Ａ
　　　　　　　テ（ト）　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　　テ∨Ｉ
　　　　　　　テ（ナ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　　ト∨Ｉ
１　　　　　　　（ニ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　　１ソツテナ∨Ｅ
（ⅱ）
１　　　（１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　Ａ
　２　　（２）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　Ａ
　２　　（４）　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　Ｒ　　　　　　　　３４ＭＰＰ
　　　６（６）　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　Ａ
　２　　（７）　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　６（８）　　　　　　　　　Ｒ　　６７ＭＰＰ
１２　　（９）　　　Ｒ　　　　　　　　１３５６８∨Ｅ
１　　　（ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　　２９ＣＰ
然るに、
（02）
（ⅲ）
１　　　　　（１）　　　　（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（２）　　　｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝　１Ｄｆ⇔
１　　　　　（３）　　　　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）　　２＆Ｅ
　５　　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　　６　　　（６）　　　　　　　　　　　　　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　Ａ
　　　７　　（７）　　　　　　　　　　　　　　　～Ｐ　　　　　　Ａ
　　６　　　（８）　　　　　　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　６＆Ｅ
　　６７　　（９）　　　　　　　　　　　　　　　～Ｐ＆Ｐ　　　　７８＆Ｉ
　　　７　　（ア）　　　　　　　　　　　　　　～（Ｐ＆Ｑ）　　　６８ＲＡＡ
　　　　イ　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　Ａ
　　６　　　（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｑ　　　６＆Ｅ
　　６　イ　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｑ＆Ｑ　　　ウエ＆Ｉ
　　　　イ　（オ）　　　　　　　　　　　　　　　～（Ｐ＆Ｑ）　　６オＲＡＡ
　５　　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　～（Ｐ＆Ｑ）　　５７アイオ
　　　　　キ（キ）　　　　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　Ａ
１　　　　キ（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆Ｑ）　　４キＭＰＰ
１５　　　キ（ケ）　　　　　　　　　～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ）　　カク＆I
１５　　　　（コ）　　　　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　　　　　キケＲＡＡ
１　　　　　（サ）　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ　　５コＣＰ
１　　　　　（シ）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝　３サ＆I
（ⅳ）
１　　　　　（１）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝　Ａ
１　　　　　（２）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　　　　（３）　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ　　１＆Ｅ
　４　　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ　　Ａ
　　５　　　（５）　　　　　　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　Ａ
　　　６　　（６）　　　　　　　　　　～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　Ａ
　　　　７　（７）　　　　　　　　　　　　～Ｐ　　　　　　　　　Ａ
　　　　７　（８）　　　　　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　７∨Ｉ
　　　６７　（９）　　　　　　　　　　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　６８＆Ｉ
　　　６　　（ア）　　　　　　　　　　　～～Ｐ　　　　　　　　　７９ＲＡＡ
　　　６　　（イ）　　　　　　　　　　　　　Ｐ　　　　　　　　　アＤＮ
　　　　　ウ（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　～Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　ウ（エ）　　　　　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　ウ∨Ｉ
　　　６　ウ（オ）　　　　　　　　　　～（～Ｐ∨～Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　６ウ＆Ｉ
　　　６　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　～～Ｑ　　　　　　ウオＲＡＡ
　　　６　　（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ｑ　　　　　　カ＆Ｉ
　　　６　　（ク）　　　　　　　　　　　　　Ｐ＆　Ｑ　　　　　　イキ＆Ｉ
　　５６　　（ケ）　　　　　　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）＆
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　５６＆Ｉ
　　５　　　（コ）　　　　　　　　　～～（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　６ケＲＡＡ
　　５　　　（サ）　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　コＤＮ
１　５　　　（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｒ　　３サＭＰＰ
１４５　　　（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　４シ＆Ｉ
１４　　　　（セ）　　　　　　　　　　～～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　５スＲＡＡ
１４　　　　（ソ）　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　セＤＮ
１　　　　　（タ）　　　　　　　　　　　Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）　　　　　４ソＣＰ
１　　　　　（チ）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝　　　　２タ＆Ｉ
１　　　　　（ツ）　（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　チＤｆ.⇔
従って、
（01）（02）により、
（03）
「記号」書くと、
①　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②　（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③　（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（03）により、
（04）
「日本語」で書くと、
①　（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）ならば、Ｒである。
②　（Ｐであるならば、Ｒであるか、）または、（Ｑであるならば、Ｒである。）
③　（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）ならば、そのとき限って、Ｒである。
④｛（Ｐであって、尚且つ、Ｑである）ならば、Ｒであり、｝尚且つ、｛（Ｐでないか、または、Ｑでない）ならば、Ｒではない。｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（04）により、
（05）
Ｐ＝　２の倍数
Ｑ＝　５の倍数
Ｒ＝１０の倍数
といふ「代入（Substitution）」を行ふと、
①　（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
②　（２の倍数であるならば、１０の倍数であるか、）または、（５の倍数であるならば、１０の倍数である。）
③　（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、そのとき限って、１０の倍数である。
④｛（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数であり、｝尚且つ、｛（２の倍数でないか、または、５の倍数でない）ならば、１０の倍数ではない。｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
然るに、
（06）
② ２×３＝　６は、１０の倍数ではなく、５×３も、１０の倍数ではないが、
④ ２×５＝１０は、１０の倍数であって、５×４も、１０の倍数である。
従って、
（05）（06）により、
（07）
②　（２の倍数であるならば、１０の倍数であるか、）または、（５の倍数であるならば、１０の倍数である。）
④｛（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数であり、｝尚且つ、｛（２の倍数でないか、または、５の倍数でない）ならば、１０の倍数ではない。｝
に於いて、
② は、「偽（ウソ）」であるが、
④ は、「真（本当）」である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
①　（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
②　（２の倍数であるならば、１０の倍数であるか、）または、（５の倍数であるならば、１０の倍数である。）
③　（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、そのとき限って、１０の倍数である。
④｛（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数であり、｝尚且つ、｛（２の倍数でないか、または、５の倍数でない）ならば、１０の倍数ではない。｝
に於いて、
①＝② であって、② は、「偽（ウソ）」であり、
③＝④ であって、④ は、「真（本当）」である。
従って、
（08）により、
（09）
「必然的」に、
①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
③（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、そのとき限って、１０の倍数である。
に於いて、
① は、「偽（ウソ）」であり、
③ は、「真（本当）」である。
然るに、
（10）
① Ａならば、Ｂである。
③ Ａならば、そのときに限って、Ｂである。
に於いて、
① Ａは、Ｂの「十分条件」であって、「必要・十分条件」ではなく、
③ Ａは、Ｂの「必要・十分条件」であって、「十分条件」である。
従って、
（09）（10）により、
（11）
①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数である。
といふ「仮言命題」に於いて、
①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）といふことは、１０の倍数であることの、「十分条件」であって、「必要十分条件」ではない。
従って、
（09）（10）（11）により、
（12）
生徒Ａ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数ですよね。
教師Ｂ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ことは、「１０の倍数」であるための、「必要十分条件」であるため、「そう（ＹＥＳ）である。」
に於いて、
生徒Ａ は、「間違って」ゐて、
教師Ｂ も、「間違って」ゐる。
然るに、
（13）
思ふに、普通の、高校の数学の教師は、
生徒Ａ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数ですよね。
教師Ｂ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ことは、「１０の倍数」であるための、「必要十分条件」であるため、「そう（ＹＥＳ）である。」
に於いて、
生徒Ａ は、「正しい」し、
教師Ｂ も、「正しい」と、思ふに、「違ひ」ない。
然るに、
（01）（02）により、
（14）
「ド・モルガンの法則」を用ひるのであれば、
（ⅰ）
１　　　　　　（１）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　Ａ
１　　　　　　（２）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｒ　　　　１含意の定義
　３　　　　　（３）～（Ｐ＆Ｑ）　　　　　　Ａ
　３　　　　　（４）～Ｐ∨～Ｑ　　　　　　　３ド・モルガンの法則
　３　　　　　（５）～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　　４∨Ｉ
　　６　　　　（６）　　　　　　　Ｒ　　　　Ａ
　　６　　　　（７）　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　６∨Ｉ
１　　　　　　（８）　～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ　　　　１３５６７∨Ｅ
１　　　　　　（９）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ）　　　３結合法則
　ア　　　　　（ア）～Ｐ　　　　　　　　　　Ａ
　ア　　　　　（イ）～Ｐ∨Ｒ　　　　　　　　ア∨Ｉ
　ア　　　　　（ウ）　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　イ含意の定義
　ア　　　　　（エ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　ウ∨Ｉ
　　　オ　　　（オ）　　　　　（～Ｑ∨Ｒ）　Ａ
　　　オ　　　（カ）　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　オ含意の定義
　　　オ　　　（キ）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　カ∨Ｉ
１　　　　　　（ク）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　２アエオキ∨Ｉ
（ⅱ）
１　　　（１）（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）　Ａ
　２　　（２）　Ｐ＆Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）　Ｐ→Ｒ　　　　　　　　Ａ
　２　　（４）　Ｐ　　　　　　　　　　２＆Ｅ
　２３　（５）　　　Ｒ　　　　　　　　３４ＭＰＰ
　　　６（６）　　　　　　　Ｑ→Ｒ　　Ａ
　２　　（７）　　　Ｑ　　　　　　　　２＆Ｅ
　２　６（８）　　　　　　　　　Ｒ　　６７ＭＰＰ
１２　　（９）　　　Ｒ　　　　　　　　１３５６８∨Ｅ
１　　　（ア）（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　　２９ＣＰ
（ⅲ）
１　　　　　（１）　　　　（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ　　　　　　　　　　　　Ａ
１　　　　　（２）　　　｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝　１Ｄｆ⇔
１　　　　　（３）　　　　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　　　　　　　　　２＆Ｅ
１　　　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）　　２＆Ｅ
　５　　　　（５）　　　　　　　　　　　　　　　～Ｐ∨～Ｑ　　　Ａ
　５　　　　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　～（Ｐ＆Ｑ）　　４ド・モルガンの法則
　　　　　キ（キ）　　　　　　　　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　Ａ
１　　　　キ（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆Ｑ）　　４キＭＰＰ
１５　　　キ（ケ）　　　　　　　　　～（Ｐ＆Ｑ）＆（Ｐ＆Ｑ）　　カク＆I
１５　　　　（コ）　　　　　　　　　　　　　～Ｒ　　　　　　　　キケＲＡＡ
１　　　　　（サ）　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ　　５コＣＰ
１　　　　　（シ）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝　３サ＆I
（ⅳ）
１　　　　　（１）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝　Ａ
１　　　　　（２）　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　　　　（３）　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ　　１＆Ｅ
　４　　　　（４）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ　　Ａ
　　５　　　（５）　　　　　　　　　　　～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　Ａ
　　５　　　（サ）　　　　　　　　　　　（～Ｐ∨～Ｑ）　　　　　５ド・モルガンの法則
１　５　　　（シ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～Ｒ　　３サＭＰＰ
１４５　　　（ス）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｒ＆～Ｒ　　４シ＆Ｉ
１４　　　　（セ）　　　　　　　　　　～～（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　５スＲＡＡ
１４　　　　（ソ）　　　　　　　　　　　　（Ｐ＆　Ｑ）　　　　　セＤＮ
１　　　　　（タ）　　　　　　　　　　　Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）　　　　　４ソＣＰ
１　　　　　（チ）｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛Ｒ→（Ｐ＆Ｑ）｝　　　　２タ＆Ｉ
１　　　　　（ツ）　（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　チＤｆ.⇔
従って、
（01）（02）（14）により、
（15）
①　（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ
②　（Ｐ→Ｒ）∨（Ｑ→Ｒ）
③　（Ｐ＆Ｑ）⇔Ｒ
④｛（Ｐ＆Ｑ）→Ｒ｝＆｛（～Ｐ∨～Ｑ）→～Ｒ｝
に於いて、
①＝② であって、
③＝④ である。
従って、
（01）～（15）により、
（16）
生徒Ａ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、１０の倍数ですよね。
教師Ｂ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ことは、「１０の倍数」であるための、「必要十分条件」であるため、「そう（ＹＥＳ）である。」
といふ「会話」は、「論理的」には、「間違ひ」であって、
生徒Ａ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ならば、そのときに限って、１０の倍数ですよね。
教師Ｂ：①（２の倍数であって、尚且つ、５の倍数である）ことは、「１０の倍数」であるための、「必要十分条件」であるため、「そう（ＹＥＳ）である。」
といふ「会話」こそが、「正しい」。
といふ、ことになる。
然るに、
（17）
このやうに、書いてゐるにも、拘はらず、
私自身は、まだ何となく、スッキリとは、してゐない。