（248）「象が鼻が長い。」の「述語論理」と「スコープ」。

―「昨日の記事」を書き直します。―
（01）
① Ｐ→Ｑ（ＰならばＱである）。
といふ「仮言命題」自体は、
① Ｐである。とも、Ｐでない。とも、
① Ｑである。とも、Ｑでない。とも、言っていない。
然るに、
（02）
（ⅰ）
１　　（１）　Ｐ→Ｑ　　Ａ
　２　（２）　Ｐ　　　　Ａ
　　３（３）　　～Ｑ　　Ａ
１２　（４）　　　Ｑ　　１２ＭＰＰ
１２３（５）～Ｑ＆Ｑ　　３４＆Ｉ
１　３（６）～Ｐ　　　　２５ＲＡＡ
１　　（７）～Ｑ→～Ｐ　３６ＣＰ
（ⅱ）
１　　（１）～Ｑ→～Ｐ　Ａ
　２　（２）～Ｑ　　　　Ａ
　　３（３）　　　　Ｐ　Ａ
１２　（４）　　　～Ｐ　１２ＭＰＰ
１２３（５）　Ｐ＆～Ｐ　３４＆Ｉ
１　３（６）～～Ｑ　　　２５ＲＡＡ
１　３（７）　　Ｑ　　　６ＤＮ
１　　（８）Ｐ→Ｑ　　　３７ＣＰ
従って、
（02）により、
（03）
① 　Ｐ→　Ｑ
② ～Ｑ→～Ｐ
に於いて、
①＝② である。
ｃｆ.
「対偶（contraposition）」は、互いに「等しい」。
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ→Ｑ＝（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→～Ｐ）
である。
然るに、
（05）
「定義（Ｄｆ.⇔）」により、
② Ｐ⇔Ｑ＝（Ｐ→Ｑ）＆（Ｑ→Ｐ）
従って、
（04）（05）により、
（06）
① Ｐ→Ｑ＝（Ｐ→Ｑ）＆（～Ｑ→～Ｐ）
② Ｐ⇔Ｑ＝（Ｐ→Ｑ）＆（　Ｑ→　Ｐ）＆（～Ｑ→～Ｐ）＆（～Ｐ→～Ｑ）
である。
従って、
（07）
① Ｐ→Ｑ＝ＰならばＱである。
② Ｐ⇔Ｑ＝Ｐならば、そのときに限って、Ｑである。
に於いて、
① であれば、「逆は必ずしも真ではない。」が、
② であれば、「逆は、必ず、真である。」
然るに、
（08）
（ⅰ）
１　　　（１）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　　Ａ
１　　　（２）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝１Ｄｆ.⇔
１　　　（３）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　２ＵＥ
１　　　（４）　　～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　３＆Ｅ
　５　　（５）　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１５　　（６）　　　　～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　　４５ＭＰＰ
１５　　（７）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　６ド・モルガンの法則
１５　　（８）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　７含意の定義
　　９　（９）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１５９　（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　８９ＭＰＰ
１５９　（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　ア量化子の関係
　　　ウ（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｃａ→～長ｃ）　　　Ａ
　　　ウ（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～～鼻ｃａ∨～長ｃ）　　　ウ含意の定義
　　　ウ（オ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（鼻ｃａ∨～長ｃ）　　　エＤＮ
　　　ウ（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ＆～～長ｃ　　　　オ、ド・モルガンの法則
　　　ウ（キ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～鼻ｃａ＆　長ｃ　　　　カＤＮ
　　　ウ（ク）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　キＥＩ
１５９　（ケ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　イウクＥＥ
１５　　（コ）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　９ケＣＰ
１　　　（サ）　　　～象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　５コＣＰ
１　　　（シ）　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　３＆Ｅ
１　　　（ス）　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　　～象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　サシ＆Ｉ
１　　　（セ）　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　　～象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　　　スＵＩ
（ⅱ）
１　　　（１）　∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　　～象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆　長ｚ）｝　　Ａ
１　　　（２）　　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　　～象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　１ＵＥ
１　　　（３）　　　～象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　２＆Ｅ
　４　　（４）　　　～象ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１４　　（５）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　３４ＭＰＰ
　　６　（６）　　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ
１４６　（７）　　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ（～鼻ｚａ＆　長ｚ）　　　５６ＭＰＰ
　　　８（８）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（～鼻ｃａ＆　長ｃ）　　　Ａ
　　　８（９）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～～（～鼻ｃａ＆　長ｃ）　　　８ＤＮ
　　　８（ア）　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～～鼻ｃａ∨～長ｃ）　　　９、ド・モルガンの法則
　　　８（イ）　　　　　　　　　　　　　　　　　　　～（～鼻ｃａ→～長ｃ）　　　ア含意の定義
　　　８（ウ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　イＥＩ
１４６　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　　　∃ｚ～（～鼻ｃａ→～長ｚ）　　　７８ウＥＥ
１４６　（カ）　　　　　　　　　　　　　　　　　～∀ｘ（～鼻ｃａ→～長ｚ）　　　エ量化子の関係
１４　　（キ）　　　　　　∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）→～∀ｘ（～鼻ｃａ→～長ｚ）　　　６カＣＰ
１４　　（ク）　　　　　～∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）∨～∀ｘ（～鼻ｃａ→～長ｚ）　　　キ含意の定義
１４　　（ケ）　　　　～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　　ク、ド・モルガンの法則
１　　　（コ）～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　　４ケＣＰ
１　　　（サ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）　　　　２＆Ｅ
１　　　（シ）　　　象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ａ）＆
　　　　　　　～象ａ→～［∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ）］　　　コサ＆Ｉ
１　　　（ス）∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆
　　　　　　　　　～象ｘ→～［∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）］｝シＵＩ
１　　　（セ）∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝　　　ス１Ｄｆ.⇔
従って、
（08）により、
（09）
① ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、
①＝② である。
従って、
（09）により、
（10）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、そのときに限って、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、すべてのｘについて、ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、長いのであれば、あるｚは、ｘの鼻ではないが、ｚは長い。
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（11）
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、そのときに限って、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
といふことは、
① 象だけが、鼻だけが長い。
といふ、ことである。
然るに、
（12）
② すべてのｘについて、ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、長いのであれば、あるｚは、ｘの鼻ではないが、ｚは長い。
といふことは、
② 象以外の動物で、その動物の鼻が長いのであれば、その動物の鼻以外の部分も長い。
といふ、ことである。
然るに、
（13）
② 象以外の動物で、その動物の鼻が長いのであれば、その動物の鼻以外の部分も長い。
といふことは、
② 象以外の動物で、鼻だけが長い動物はゐない。
といふ、ことである。
然るに、
（14）
② 象以外の動物で、鼻だけが長い動物はゐない。
といふことは、
② 象だけが、鼻だけが長い。
といふ、ことである。
従って、
（09）～（14）により、
（15）
① ∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
は、２つとも、
① 象だけが、鼻だけが長い。
② 象だけが、鼻だけが長い。
といふ、「意味」である。
然るに、
（16）
① あなた以外は好きではない。
といふのであれば、
① あなたが好きです。
と言ふのであって、
① あなたは好きです。
① あなたも好きです。
とは、言はない。
然るに、
（17）
① あなた以外は好きではない。
といふことは、
① あなただけが好きです。
といふ「意味」である。
従って、
（16）（17）により、
（18）
① あなたが好きです。
と言へば、それだけで、
① あなたが好きです＝あなただけが好きです。
といふ、「意味」になる。
従って、
（15）～（18）により、
（19）
① 象が鼻が長い＝象だけが、鼻だけが長い。
② 象が鼻が長い＝象以外は、鼻以外は長くない。
である。
然るに、
（20）
① 象が鼻が長い。
とは異なり、
③ 象は鼻が長い。
の場合は、
③「象」だけを念頭に置いてゐる。
従って、
（20）により、
（21）
③ 象は鼻が長い。⇔
③ ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
③ すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
である。
従って、
（09）（10）（21）により、
（22）
「番号」を、付け替へると、
① 象は鼻が長い。⇔
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝⇔
① すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くない。
であって、
② 象が鼻が長い。⇔
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝⇔
② すべてのｘについて、ｘが象であるならば、あるｙはｘの鼻であって長く、すべてのｚについて、ｚがｘの鼻でないならば、ｚは長くなく、すべてのｘについて、ｘが象でないならば、あるｙがｘの鼻であって、長いのであれば、あるｚは、ｘの鼻ではないが、ｚは長い。
である。
然るに、
（23）
括弧は、論理演算子のスコープ（ｓｃｏｐｅ）を明示する働きを持つ。スコープは、論理演算子の働きが及ぶ範囲のことをいう。
（産業図書、数理言語学辞典、2013年、四七頁：命題論理、今仁生美）
（24）
（ⅰ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、問題になっている変数が現れる少なくとも２つの箇所を含むであろう（その１つの箇所は量記号そのもののなかにある）；
（ⅱ）論理式または命題関数において、量記号が現れる任意の箇所の作用範囲は、同じ変数を用いたいかなる他の量記号も含まないであろう。
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１８３頁）
従って、
（22）（23）（24）により、
（25）
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
に於いて、
① ｘの「スコープ（作用範囲）」と、
② ｘの「スコープ（作用範囲）」は、
① ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝
② ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝
といふ「論理式の、全体」である。
従って、
（25）により、
（26）
① 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝。
② 象が鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）＆～象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）→∃ｚ（～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝。
に於ける、
①「象は」の「スコープ（作用範囲）」は、「長い」まであり、
②「象が」の「スコープ（作用範囲）」も、「長い」まである。
然るに、
（27）
「象は」は、テーマを提示する主題であり、これから象についてのことを述べますよというメンタルスペースのセットアップであり、そのメンタルスペースのスコープを形成する働きをもつと主張する（この場合は「長い」までをスコープとする）。
（三上文法！ : wrong, rogue and log）
従って、
（27）により、
（28）
（三上文法！ : wrong, rogue and log）の記者さんによると、恰も、
①「象は」の「スコープ（作用範囲）」は、「長い」まであるが、
②「象が」の「スコープ（作用範囲）」は、「長い」まではない。
といふ風に、述べてゐるやうに、聞こえる。
然るに、
（29）
② 象が鼻が長い。
といふのであれば、
② 鼻が長い。のは、「象」である。
従って、
（26）（29）により、
（30）
①「象は」の「スコープ（作用範囲）」は、「長い」まであるが、
②「象が」の「スコープ（作用範囲）」も、「長い」まではない。
といふことは、有り得ない。
然るに、
（22）により、
（31）
① 象は鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＝「すべてのｘについて、ｘが象であるならば、・・・・・・・。」
② 象が鼻が長い＝∀ｘ｛象ｘ⇔∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝＝「すべてのｘについて、ｘが象であるならば、・・・・・・・。」
従って、
（31）により、
（32）
① 象は＝「すべてのｘについて、ｘが象であるならば、」
② 象が＝「すべてのｘについて、ｘが象であるならば、」
然るに、
（33）
①「すべてのｘについて、ｘが象であるならば、」＝「これから象についてのことを述べますよ、」
②「すべてのｘについて、ｘが象であるならば、」＝「これから象についてのことを述べますよ、」
といふ風に、解することが出来る。
従って、
（27）（33）により、
（34）
① 象は＝「これから象についてのことを述べますよ、」
であるならば、
② 象が＝「これから象についてのことを述べますよ、」
であると、すべきである。