（845） 「幾らかのフランス人は寛大である」の「述語論理」（Ⅵ）。

（01）
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）　　　├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ），∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
③ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ），∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
といふ「連式（Sequents）」を、見ていくことにする。
（02）
ｘ＝人
Ｆ＝フランス人である。
Ｇ＝寛大である。
とするならば、
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
といふ「連式」は、
① ある人はフランス人である。ある人は寛大である。故に、あるフランス人は寛大である。
といふ「意味」になる。
然るに、
（03）
① ∃ｘ（Ｆｘ）≡ある人はフランス人であって、
① ∃ｘ（Ｇｘ）≡ある人は寛大である。としても、
①「ある人ｘと、ある人ｘ」が、「同一人物」である「必然性」は無い。
然るに、
（04）
この連式を証明しようとする自然な試みが、ＥＥの制限に照らして、どのように失敗するかを見ておくことは有益である。わらわれはつぎのように証明をはじめるであろう。
１　　 （１）∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
１　　　（２）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　　　　　１＆Ｅ
１　　　（３）　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　１＆Ｅ
　４　　（４）　　　Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　５　（５）　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　４５　（６）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　　　　　４５＆Ｉ
　４５　（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　　　　６ＥＩ
存在命題（２）および（３）に対して、われわれは代表的選言項（４）および（５）を仮定して、それらから、
　∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
を導出した。しかしＥＥを適用するどのようなくわだても今度はうまく行かない。
　４５　（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　　　　　６ＥＩ
の行の結論は（４）と（５）に依存し、そのいずれにも「ａ」が現れているからである。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１５４頁）
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
① ある人はフランス人である。ある人は寛大である。故に、あるフランス人は寛大である。
といふ「連式（推論）」は、「妥当」ではない。
然るに、
（06）
１　　　（１）∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
　２　　（２）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
　　３　（３）　　　Ｆａ→Ｇａ　　Ａ
　　　４（４）　　　Ｆａ　　　　　Ａ
　　３４（５）　　　　　　Ｇａ　　３４ＭＰＰ
　　３４（６）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　４５＆Ｉ
　　３４（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　６ＥＩ
存在命題（１）および（２）に対して、われわれは代表的選言項（３）および（４）を仮定して、それらから、
　∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
を導出した。しかしＥＥを適用するどのようなくわだても今度はうまく行かない。
　　３４（６）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　４５＆Ｉ
の行の結論は（３）と（４）に依存し、そのいずれにも「ａ」が現れているからである。
従って、
（03）～（06）により、
（07）
① ∃ｘ（Ｆｘ）＆∃ｘ（Ｇｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
① ある人はフランス人である。ある人は寛大である。故に、あるフランス人は寛大である。
といふ「連式（推論）」と「同じ理由」により、
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ），∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② あるｘについて、ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である。あるｘはフランス人である。故に、あるフランス人は寛大である。
といふ「連式（推論）」は、「妥当」ではない。
然るに、
（08）
「幾らかのフランス人は寛大である（Some Frenchmen are generous.」を、正しく、
② ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）と記号化するかわりに、むしろ、
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）とするのは、よくある間違い（common mistake）である。しかし、
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）は、
それがフランス人であるならば、寛大であるようなものが存在することを主張するのであって、
これは、かりにフランス人が存在しないとしても真であろう。しかるに、
「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない。
（E.J.レモン 著、竹尾治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１２４頁改）
然るに、
（09）
（ⅱ）
１　　　（１）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　Ａ
　２　　（２）　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　Ａ
　２　　（３）　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　２含意の定義
　　４　（４）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　４　（５）∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　４ＥＩ
　　４　（６）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　５∨Ｉ
　　　７（７）　　　　　　　Ｇａ　　　　　　Ａ
　　　７（８）　　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　７ＥＩ
　　　７（９）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　８∨Ｉ
　２　　（ア）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　３４６７９∨Ｅ
１　　　（イ）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　１２アＥＥ
（ⅲ）
１　　　　（１）∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　２　　　（２）∃ｘ（～Ｆｘ）　　　　　　　　Ａ
　　３　　（３）　　　～Ｆａ　　　　　　　　　Ａ
　　３　　（４）　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　　　　　３∨Ｉ
　　３　　（５）　　　　Ｆａ→Ｇａ　　　　　　４含意の定義
　　３　　（６）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　５ＥＩ
　２　　　（７）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　２３６ＥＥ
　　　８　（８）　　　　　　　　∃ｘ（Ｇｘ）　Ａ
　　　　９（９）　　　　　　　　　　　Ｇａ　　Ａ
　　　　９（ア）　　　　　　　～Ｆａ∨Ｇａ　　９∨Ｉ
　　　　９（イ）　　　　　　　　Ｆａ→Ｇａ　　ア含意の定義
　　　　９（ウ）　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　イＥＩ
　　　８　（エ）　　　　　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　８９ウＥＥ
１　　　　（オ）　∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　　　　　１２７８エ∨Ｅ
従って、
（09）により、
（10）
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）          ≡あるｘについて、ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である。
③ ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）≡あるｘはフラン人ではないか、または、あるｘは寛大である。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（11）
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ） 　　　　 ≡あるｘについて、ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である。
③ ∃ｘ（～Ｆｘ）∨∃ｘ（Ｇｘ）≡あるｘはフラン人ではないか、または、あるｘは寛大である。
に於いて、
②＝③ である。
といふのであれば、
＞「幾らかのフランス人は寛大である」は決してそうではない。
といふことは、「当然」である。
然るに、
（12）
１　　（１）∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）　Ａ
　２　（２）∃ｘ（Ｆｘ）　　　　Ａ
１　　（３）　　　Ｆａ→Ｇａ　　Ａ
　　４（４）　　　Ｆａ　　　　　Ａ
１　４（５）　　　　　　Ｇａ　　３４ＭＰＰ
１　４（６）　　　Ｆａ＆Ｇａ　　４５＆Ｉ
１　４（７）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　６ＥＩ
１２　（８）∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）　２４７ＥＥ
従って、
（12）により、
（13）
③ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ），∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
③ すべてｘについて、ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である。あるｘはフランス人である。故に、あるフランス人ｘは寛大である。
といふ「連式」は、「妥当」である。
従って、
（07）（11）（13）により、
（14）
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ），∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
② あるｘについて、ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である。あるｘはフランス人である。故に、あるフランス人は寛大である。
といふ「連式（推論）」は、「妥当」ではなく、その一方で、
③ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ），∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
③ すべてｘについて、ｘがフランス人であるならば、ｘは寛大である。あるｘはフランス人である。故に、あるｘはフランス人は寛大である。
といふ「連式」は、「妥当」である。
従って、
（14）により、
（15）
② 　　あるフランス人は寛大である。
③ すべてのフランス人は寛大である。
といふ「日本語」は、
② ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）
③ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）
といふ「述語論理式」に、相当する。
然るに、
（16）
③ ∀ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）≡すべてのフランス人は寛大である。
といふのであれば、
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）≡    あるフランス人は寛大である。
であるはずであると、思はれがちであって、それ故、
＞「幾らかのフランス人は寛大である（Some Frenchmen are generous.」を、正しく、
② ∃ｘ（Ｆｘ＆Ｇｘ）と記号化するかわりに、むしろ、
② ∃ｘ（Ｆｘ→Ｇｘ）とするのは、よくある間違い（common mistake）である。
といふ、ことになる。