（90）「Ｐならば、ＱならＰである。」といふ「公理」について。

（01）
　　　ルカジェヴィッツによる公理
（ａ）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ｂ）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（ｃ）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
（沢田允茂、現代論理学入門、1962年、１７３頁）
然るに、
（02）
公理（こうり、英: axiom）とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを公理系（英語版） (axiomatic system) という（ウィキペディア）。
従って、
（01）（02）により、
（03）
（ａ）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ｂ）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（ｃ）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
といふ「式」は、「公理」であるため、「普通」は、「証明すべき対象」ではない。
然るに、
（04）
命題論理の「自然演繹」の場合は、面白いことに、「公理」は１つもありません。ここに自然演繹の大きな特徴があります。「出発点になる公理が何もないのに、いったいどうやって演繹するんだ」という疑問が湧いてくるでしょう（小島博之、証明と論理に強くなる、2017年、１４１頁改）。
然るに、
（05）
（ａ）
１　　　　　（１）　　　　　Ｐ　　　Ａ
１　　　　　（２）　～Ｑ∨　Ｐ　　　１∨Ｉ　
　３　　　　（３）　　Ｑ＆～Ｐ　　　Ａ
　　４　　　（４）　～Ｑ　　　　　　Ａ
　３　　　　（５）　　Ｑ　　　　　　３＆Ｅ
　３４　　　（６）　～Ｑ＆　Ｑ　　　３４＆Ｉ
　　４　　　（７）～（Ｑ＆～Ｐ）　　３６ＲＡＡ
　　　８　　（８）　　　　　Ｐ　　　Ａ
　３　　　　（９）　　　　～Ｐ　　　３＆Ｅ
　３　８　　（ア）　　Ｐ＆～Ｐ　　　７８＆Ｉ
　　　８　　（イ）～（Ｑ＆～Ｐ）　　３アＲＡＡ
１　　　　　（ウ）～（Ｑ＆～Ｐ）　　２４７８イ∨Ｅ
　　　　エ　（エ）　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　　　　オ（オ）　　　　～Ｐ　　　Ａ
　　　　エオ（カ）　　Ｑ＆～Ｐ　　　エオ＆Ｉ
１　　　エオ（キ）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　ウキ＆Ｉ
１　　　エ　（ク）　　　～～Ｐ　　　オキ
１　　　エ　（ケ）　　　　　Ｐ　　　クＤＮ
１　　　　　（コ）　　Ｑ→　Ｐ　　　エケＣＰ
　　　　　　（サ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）　　１コＣＰ
（ｂ）
　　　１　　（１）　　Ｐ→（Ｑ→Ｒ）　　　　　Ａ
　　　　２　（２）　　Ｐ→　Ｑ　　　　　　　　Ａ
　　　　　３（３）　　Ｐ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　１　３（４）　　　　　Ｑ→Ｒ　　　　　　１２ＭＰＰ
　　　　２３（５）　　　　　Ｑ　　　　　　　　２３ＭＰＰ
　　　１２３（６）　　　　　　　Ｒ　　　　　　４５ＭＰＰ
　　　１２　（７）　　Ｐ→　　　Ｒ　　　　　　３６ＣＰ
　　　１　　（８）　（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）　　２７ＣＰ
　　　　　　（９）　（Ｐ→（Ｑ→Ｒ））→
　　　　　　　　　［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］　１９ＣＰ
（ｃ）
　　　　１　（１）　～Ｐ→～Ｑ　　　Ａ
　　　　　２（２）　　　　　Ｑ　　　Ａ
　　　　　２（３）　　　～～Ｑ　　　２ＤＮ
　　　　１２（４）～～Ｐ　　　　　　１３ＭＴＴ
　　　　１２（５）　　Ｐ　　　　　　４ＤＮ
　　　　１　（６）　　Ｑ→　Ｐ　　　２５ＣＰ
　　　　　　（７）（～Ｐ→～Ｑ）→
　　　　　　　　　（　Ｑ→　Ｐ）　　１６ＣＰ
従って、
（01）～（05）により、
（06）
「自然演繹」は、「公理」を持たないものの、その一方で、「自然演繹（の規則）」は、
（ａ）　Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
（ｂ）［Ｐ→（Ｑ→Ｒ）］→［（Ｐ→Ｑ）→（Ｐ→Ｒ）］
（ｃ）（～Ｐ→～Ｑ）→（Ｑ→Ｐ）
といふ、「ルカジェヴィッツの公理」を、「演繹」出来る。
従って、
（06）により、
（07）
（ａ）Ｐ→（Ｑ→Ｐ）
といふ「公理」は、すなはち、
（ａ）Ｐならば（ＱならばＰである）。
といふ「公理」は、「自然演繹」としても、「常に、真（本当）」である。
然るに、
（08）
（ａ）
　１　（１）　　Ｑ→　Ｐ　　Ａ
　　２（２）　　Ｑ＆～Ｐ　　Ａ
　　２（３）　　Ｑ　　　　　２＆Ｅ
　　２（４）　　　　～Ｐ　　２＆Ｅ
　１２（５）　　　　　Ｐ　　１３ＭＱＱ
　１２（６）　　～Ｐ＆Ｐ　　４５＆Ｉ
　１　（７）～（Ｑ＆～Ｐ）　２６ＰＡＡ
（ｂ）
１　　（１）～（Ｑ＆～Ｐ）　　Ａ
　２　（２）　　Ｑ　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　～Ｐ　　　Ａ
　２３（４）　　Ｑ＆～Ｐ　　　２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｑ＆～Ｐ）＆
　　　　　　　（Ｑ＆～Ｐ）　　１４＆Ｉ
１２　（６）　　　～～Ｐ　　　３５ＰＡＡ
１２　（７）　　　　　Ｐ　　　６ＤＮ
１　　（８）　　Ｑ→　Ｐ　　　２７ＣＰ
従って、
（08）により、
（09）
（ａ）　　Ｑ→　Ｐ
（ｂ）～（Ｑ＆～Ｐ）
に於いて、
（ａ）　ＱならばＰである。
（ｂ）（ＱであってＰでない。）といふことはない。
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
従って、
（09）により、
（10）
（ａ）　　Ｐ→　（Ｑ→Ｐ）
（ｂ）～｛Ｐ＆～（Ｑ→Ｐ）｝
に於いて、すなはち、
（ａ）　Ｐならば（ＱならばＰである）。
（ｂ）｛Ｐであって（ＱならばＰである。）ではない。｝といふことはない。
に於いて、
（ａ）＝（ｂ） である。
然るに、
（11）
（ｃ）
１（１）～（　Ｑ→Ｐ）　Ａ
１（２）～（～Ｑ∨Ｐ）　１含意の定義
１（３）～～Ｑ＆～Ｐ　　ド・モルガンの法則
１（４）　　Ｑ＆～Ｐ　　３ＤＮ
１（５）　　Ｑ　　　　　４＆Ｅ
１（６）　　　　～Ｐ　　４＆Ｅ
１（７）　　～Ｐ＆Ｑ　　６５＆Ｉ
従って、
（10）（11）により、
（12）
（ａ）　　Ｐ→　（Ｑ→Ｐ）
（ｂ）～｛Ｐ＆～（Ｑ→Ｐ）｝
（ｃ）～｛Ｐ＆（～Ｐ＆Ｑ）｝
に於いて、すなはち、
（ａ）　Ｐならば（ＱならばＰである）。
（ｂ）｛Ｐであって（ＱならばＰである。）ではない。｝といふことはない。
（ｃ）｛Ｐであって（ＰでなくてＱである。）｝といふことはない。
に於いて、
（ａ）＝（ｂ）＝（ｃ） である。
然るに、
（13）
（ｃ）Ｐであって、ＰでなくてＱである。
といふこと（矛盾）は、「有り得ない」。
従って、
（13）により、
（14）
（ｃ）｛Ｐであって（ＰでなくてＱである。）｝といふことはない。
といふことは、「当然」である。
従って、
（12）（14）により、
（15）
（ａ）　Ｐならば（ＱならばＰである）。
（ｂ）｛Ｐであって（ＱならばＰである。）ではない。｝といふことはない。
（ｃ）｛Ｐであって（ＰでなくてＱである。）｝といふことはない。
に於いて、
（ａ）＝（ｂ）＝（ｃ） であって、尚且つ、
（ｃ）｛Ｐであって（ＰでなくてＱである。）｝といふことはない。
といふことは、「当然」である以上、
（ａ）　Ｐならば（ＱならばＰである）。
といふことも、「常に、真（本当）」である。
といふ風に、せざるを得ない。
然るに、
（16）
（ａ）Ｐならば（ＱならばＰである）。
は、「公理（常に真）」である。と言はれても、「わけが分からない」のが、「普通」であると、思はれる。