(01)
命題計算では、パースの法則は((P→Q)→P)→P のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Pについて、命題Qが存在して、
「PならばQ」からPが真であることが従うときには、Pは真でなければならないとなる。とりわけ、Qとして偽を選んだ場合には、Pから偽が
従うときは常にPが真であるならば、Pは真であるとなる(ウィキペディア)。
といふ「説明」は、私には、完全に「意味不明」である。
cf.
Qが偽である。⇔ ~Qが真である。
然るに、
(02)
(ⅰ)
1 (1) (P→Q)→P A
1 (2) ~(P→Q)∨P 1含意の定義
1 (3)~(~P∨Q)∨P 2含意の定義
4 (4)~(~P∨Q) A
4 (5) P&~Q 4ド・モルガンの法則
4 (6) P 5&E
7(7) P A
1 (8) P 34677∨E
(9)((P→Q)→P)→P 18CP
(ⅱ)
1 (1) (P→~Q)→P A
1 (2) ~(P→~Q)∨P 1含意の定義
1 (3)~(~P∨~Q)∨P 2含意の定義
4 (4)~(~P∨~Q) A
4 (5) P& Q 4ド・モルガンの法則
4 (6) P 5&E
7(7) P A
1 (8) P 34677∨E
(9)((P→~Q)→P)→P 18CP
従って、
(01)(02)により、
(03)
①((P→ Q)→P)→P
②((P→~Q)→P)→P
に於いて、
① が、「パースの法則」である以上、
② も、「パースの法則」である。
従って、
(03)により、
(04)
「日本語」で言ふと、
①((Pであるならば、Qである)ならば、Pである)ならば、Pである。
②((Pであるならば、Qでない)ならば、Pである)ならば、Pである。
に於いて、
① が、「パースの法則」である以上、
② も、「パースの法則」である。
従って、
(04)により、
(05)
①((Pであるならば、Qである)ならば、Pである)ならば、Pである。
②((Pであるならば、Qでない)ならば、Pである)ならば、Pである。
に於いて、
① と ② の、両方が、「パースの法則」である以上、「パースの法則」とは、
③((Pであるならば、Qであっても、Qでなくとも)、Pである)ならば、Pである。
といふ、「命題」を言ふ。
然るに、
(06)
排中律や二重否定の除去と等価な命題のひとつで、変なものとして、パースの法則があります。
任意の命題P, Qについて、
((P→Q)→P)→P
が成り立つ
『「PならばQ」ならばP』ならばP
なんか、パズルのような命題ですね。
(背理法を絶対に認めない人たちの会)
従って、
(05)(06)により、
(07)
①((Pであるならば、Qである)ならば、Pである)ならば、Pである。
②((Pであるならば、Qでない)ならば、Pである)ならば、Pである。
③((Pであるならば、Qであっても、Qでなくとも)、Pである)ならば、Pである。
といふ、「3通りのパースの法則」に於いて、
「背理法を絶対に認めない人たちの会」の方たちは、
① といふ「パースの法則」だけを、「パズルのような(変な)命題」であると、言ふ。
然るに、
(08)
1 (1) ~(((P→Q)→P)→ P) A(パースの法則の否定)
1 (2)~(~((P→Q)→P)∨ P) 1含意の定義
1 (3) ((P→Q)→P)&~P 2ド・モルガンの法則
1 (4) (P→Q)→P 3&E
1 (5) ~(P→Q)∨P 4含意の定義
6 (6) ~(P→Q) A
6 (7) ~(~P∨Q) 6含意の定義
6 (8) P&~Q 7ド・モルガンの法則
6 (9) P 8&E
ア(ア) P A
1 (イ) P 569アア∨E
1 (ウ) ~P 3&E
1 (エ) P&~P イウ&I(矛盾)
(オ)~~(((P→Q)→P)→ P) 1エ背理法
(カ) ((P→Q)→P)→ P オDN(二重否定)
従って、
(07)(08)により、
(09)
「背理法を絶対に認めない人たちの会」の方たちが、 「パズルのような(変な)命題」であると言ふ所の、「パースの法則」は、「背理法」によって、「証明」出来る。
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