(01)
① 僕は鰻だ=すべてのxについて、xが僕ならば、あるyは鰻であって、xはyを食べる。
② 僕が鰻だ=すべてのxについて、xが僕ならば、あるyは鰻であって、xはyを食べ、すべてのzについて、zが僕ならば、xとyは、「同一人物」である(∴ 僕以外は鰻を食べない)。
③ 僕も鰻だ=すべてのxについて、xが僕ならば、あるyは鰻であって、xはyを食べ、すべてのzについて、zが僕ならば、xとyは、「同一人物」である。といふわけではない(∴ 僕以外も鰻を食べる)。
従って、
(02)
① 僕は鰻だ=∀x{僕x→∃y(鰻y&食xy)}
② 僕が鰻だ=∀x{僕x→∃y(鰻y&食xy)& ∀z(僕z→x=y)}
③ 僕も鰻だ=∀x{僕x→∃y(鰻y&食xy)&~∀z(僕z→x=y)}
といふ「等式」が、成立する。
然るに、
(03)
(ⅰ)
1 (1)∀x{ 僕x→∃y(鰻y& 食xy)} A
1 (2) 僕a→∃y(鰻y& 食ay) 1UE
3 (3) ~∃y(鰻y& 食ay) A
13 (4) ~僕a 23MTT
1 (5) ~∃y(鰻y& 食ay)→~僕a 34CP
6 (6) ∃y(鰻y→~食ay) A
7(7) 鰻b→~食ab A
7(8) ~鰻b∨~食ab 7含意の定義
7(9) ~(鰻b& 食ab) 8ド・モルガンの法則
7(ア) ∀y~(鰻y& 食ay) 9UI
7(イ) ~∃y(鰻y& 食ab) ア量化子の関係
6 (ウ) ~∃y(鰻y& 食ab) 67イEE
1 6 (エ) ~僕a 5ウMPP
1 (オ) ∃y(鰻y→~食ay)→~僕a 6エCP
1 (カ)∀x{∃y(鰻y→~食xy)→~僕x} オUI
(ⅱ)
1 (1)∀x{∃y(鰻y→~食xy)→~僕x} A
1 (2) ∃y(鰻y→~食ay)→~僕a 1UE
3 (3) 僕a A
3 (4) ~~僕a 3DN
13 (5) ~∃y(鰻y→~食ay) 24MTT
13 (6) ∀y~(鰻y→~食ay) 5量化子の関係
13 (7) ~(鰻b→~食ab) 6UE
13 (8) ~(~鰻b∨~食ab) 7含意の定義
13 (9) ~~鰻b&~~食ab 8ド・モルガンの法則
13 (ア) 鰻b& 食ab 9DN
13 (イ) ∃y(鰻y& 食ay) ア EI
1 (ウ) 僕a→∃y(鰻y& 食ay) 3イCP
1 (エ)∀x{僕x→∃y(鰻y& 食xy)} ウUI
従って、
(03)により、
(04)
① ∀x{ 僕x→∃y(鰻y& 食xy)}
② ∀x{∃y(鰻y→~食xy)→~僕x}
に於いて、両者は「対偶」であって、それ故、
①=② である。
従って、
(04)により、
(05)
① すべてのxについて、xが僕ならば、あるyは鰻であって、xはyを食べる。
② すべてのxについて、あるyが鰻であるとして、xがyを食べないのであれば、xは僕ではない。
に於いて、両者は「対偶」であって、それ故、
①=② である。
従って、
(05)により、
(06)
① 僕ならば、ウナギを食べる。
② ウナギを食べないのであれば、僕ではない。
に於いて、両者は「対偶」であって、それ故、
①=② である。
然るに、
(07)
① I will have ウナギ。 を、
① I am an eel. と、訳すことは、出来ない。
然るに、
(08)
③ ウナギは魚だ =∀x( 鰻x→ 魚x)=すべてのxについて、xが鰻であるならば、xは魚である。
④ 魚でないなら鰻ではない=∀x(~魚x→~鰻x)=すべてのxについて、xが魚でないならば、xは鰻でない。
であれば、そのまま、
③ Eel is a fish.
④ Such that is not a fish is not an eel.
といふ風に、訳すことが出来る。
(09)
① 僕は鰻だ =∀x{僕x→∃y(鰻y&食xy)}=すべてのxについて、xが僕ならば、あるyは鰻であって、xはyを食べる。
③ ウナギは魚だ=∀x(鰻x→魚x) =すべてのxについて、xが鰻であるならば、xは魚である。
の場合は、両方とも、
① AはBだ。
③ AはBだ。
といふ「文型」をしてゐるものの、
① は、「省略形」であって、
③ は、「省略形」ではなく、「完全形」である。
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