（115）「馬の頭」と「象の鼻」と「述語論理」。

（01）
① ∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）。
② ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝。
といふ「述語論理」は、それぞれ、
① いかなるｘであっても｛ｘが馬であるならが、ｘは動物である｝。
② いかなるｘであっても｛ｘが馬である所のあるｙの頭であるならば、ｘは動物である所のあるｙの頭である｝。
といふ「日本語」に、対応します。
然るに、
（02）
① いかなるｘであっても｛ｘが馬であるならが、ｘは動物である｝。
② いかなるｘであっても｛ｘが馬である所のあるｙの頭であるならば、ｘは動物である所のあるｙの頭である｝。
といふことは、要するに、
① すべての馬は動物である。
② すべての馬の頭は動物の頭である。
といふことです。
然るに、
（03）
ド・モルガンが明らかに健全であるにもかかわらず、伝統的論理学のなかでは取り扱うことができなかった論証として挙げた、有名な、また簡単な論証がある。
（１）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
― １０行、中略、―
１２３　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）├ ∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝
１　　（１）　　　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　 　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　　馬ｂ＆頭ａｂ　　　　　　　　　　　　　 　Ａ
　　３（４）　　　　　　馬ｂ　　　　　　 　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３（５）　　　　　　　　　頭ａｂ　　 　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（６）　　　　　　馬ｂ→動ｂ　　　 　　　　　　　　　　　　１ＵＥ
１　３（７）　　　　　　　　　動ｂ　　　　　　　　　　　　　　　 ４６ＭＰＰ
１　３（８）　　　　　　動ｂ＆頭ａｂ　　 　　　　　　　　　　　　５７＆Ｉ
１　３（９）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　８ＥＩ
１２　（ア）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　２３９ＥＥ
１　　（イ）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　　 ２アＣＰ
１　　（ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝ 　イＵＩ
（論理学初歩、E.J.レモン、竹尾 治一郎・浅野 楢英 訳、1973年、１６７頁改）
従って、
（01）（02）（03）により、
（04）
（１）All horses are animals; therefore all horses' heads are animals' heads.
（〃）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
といふ「論証」は、「英語」としても、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当（Valid）」である。
（04）
① ∀ｘ｛∃ｙ（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
② ∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ｝。
③ ∀ｘ｛∃ｙ（　兎ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝。
といふ「述語論理」は、
① いかなるｘであっても｛ｘが、ある象ではない（動物）である所のｙの鼻であるならば、ｘは長くない｝。
② いかなるｙであっても｛ｙが兎であるならば、ｙは象ではない｝。
③ いかなるｘであっても｛ｘが、ある兎である所のｙの鼻であるならば、ｘは長くない｝。
といふ「日本語」に、対応します。
然るに、
（05）
① いかなるｘであっても｛ｘが、ある象ではない所のｙの鼻であるならば、ｘは長くない｝。
② いかなるｙであっても｛ｙが兎であるならば、ｙは象ではない｝。
③ いかなるｘであっても｛ｘが、ある兎である所のｙの鼻であるならば、ｘは長くない｝。
といふことは、要するに、
① 鼻は象が長い。
② すべての兎は象ではない。
③ すべての兎の鼻は長くない。
といふことです。
ｃｆ.
① サンマは目黒が美味い（サンマは目黒に限る）。⇔
① ∀ｘ｛∃ｙ（～目黒ｙ＆サンマｘｙ）→～美味ｘ｝。⇔
① いかなるｘであっても｛ｘが、目黒ではない所のｙのサンマであるならば、ｘは美味くない｝。
然るに、
（06）
１　　　（１）∀ｘ｛∃ｙ（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝　Ａ
　２　　（２）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ｝　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ）　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（４）　　　∃ｙ（～象ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ　　１ＵＥ
　２　　（５）　　　兎ｂ→～象ｂ　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　　６（６）　　　兎ｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６（７）　　　兎ｂ　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１２　６（８）　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　５７ＭＰＰ
　　　６（９）　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
１２　６（ア）　　　　　　～象ｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　８９＆Ｉ
１２　６（イ）　　　∃ｙ（～象ｙ＆鼻ａｙ）　　　　　　アＥＩ
１２３　（ウ）　　　∃ｙ（～象ｙ＆鼻ａｙ）　　　　　　３６イＥＥ
１２３　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　４ウＭＰＰ
１２　　（オ）　　　∃ｙ（　兎ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ　　３エＣＰ
１２　　（カ）∀ｘ｛∃ｙ（　兎ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝　オＵＩ
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
（１）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
（２）鼻は象が長い。然るに、すべての兎は象ではない。故に、すべての兎の鼻は長くない。
といふ「論証」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当（Valid）」である。
従って、
（01）～（07）により、
（08）
（ａ）
１　　（１）　　　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　 　　　　　　　　　　　　Ａ
　２　（２）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　Ａ
　　３（３）　　　　　　馬ｂ＆頭ａｂ　　　　　　　　　　　　　 　Ａ
　　３（４）　　　　　　馬ｂ　　　　　　 　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
　　３（５）　　　　　　　　　頭ａｂ　　 　　　　　　　　　　　　３＆Ｅ
１　　（６）　　　　　　馬ｂ→動ｂ　　　 　　　　　　　　　　　　１ＵＥ
１　３（７）　　　　　　　　　動ｂ　　　　　　　　　　　　　　　 ４６ＭＰＰ
１　３（８）　　　　　　動ｂ＆頭ａｂ　　 　　　　　　　　　　　　５７＆Ｉ
１　３（９）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　８ＥＩ
１２　（ア）　　　∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　 　　　　　　　　　　　　２３９ＥＥ
１　　（イ）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　　 ２アＣＰ
１　　（ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝ 　イＵＩ
（ｂ）
１　　　（１）∀ｘ｛∃ｙ（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝　Ａ
　２　　（２）∀ｙ｛兎ｙ→～象ｙ｝　　　　　　　　　　Ａ
　　３　（３）∃ｙ（兎ｙ＆鼻ａｙ）　　　　　　　　　　Ａ
１　　　（４）　　　∃ｙ（～象ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ　　１ＵＥ
　２　　（５）　　　兎ｂ→～象ｂ　　　　　　　　　　　２ＵＥ
　　　６（６）　　　兎ｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　　　　　Ａ
　　　６（７）　　　兎ｂ　　　　　　　　　　　　　　　６＆Ｅ
１２　６（８）　　　　　　～象ｂ　　　　　　　　　　　５７ＭＰＰ
　　　６（９）　　　　　　鼻ａｂ　　　　　　　　　　　７＆Ｅ
１２　６（ア）　　　　　　～象ｂ＆鼻ａｂ　　　　　　　８９＆Ｉ
１２　６（イ）　　　∃ｙ（～象ｙ＆鼻ａｙ）　　　　　　アＥＩ
１２３　（ウ）　　　∃ｙ（～象ｙ＆鼻ａｙ）　　　　　　３６イＥＥ
１２３　（エ）　　　　　　　　　　　　　　　～長ａ　　４ウＭＰＰ
１２　　（オ）　　　∃ｙ（　兎ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ　　３エＣＰ
１２　　（カ）∀ｘ｛∃ｙ（　兎ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝　オＵＩ
といふ「計算」に、「マチガイ」が無いならば、
（１）すべての馬は動物である。故にすべての馬の頭は動物の頭である。
（２）鼻は象が長い。然るに、すべての兎は象ではない。故に、すべての兎の鼻は長くない。
といふ「論証」は、「日本語」としても、「述語論理」としても、「妥当（Valid）」である。
然るに、
（08）により、
（09）
（ａ）
１　　（１）　　　∀ｘ（馬ｘ→動ｘ）　　 　　　　　　　　　　　　Ａ

１　　（イ）　　　∃ｙ（馬ｙ＆頭ａｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ａｙ）　　 ２アＣＰ
１　　（ウ）∀ｘ｛∃ｙ（馬ｙ＆頭ｘｙ）→∃ｙ（動ｙ＆頭ｘｙ）｝ 　イＵＩ
（ｂ）
１　　（１）∀ｘ｛∃ｙ（～象ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝　　　　　　　 Ａ

１２　（オ）　　　∃ｙ（　兎ｙ＆鼻ａｙ）→～長ａ　　 ３エＣＰ
１２　（カ）∀ｘ｛∃ｙ（　兎ｙ＆鼻ｘｙ）→～長ｘ｝　 オＵＩ
といふことから、分かるやうに、（ａ）と（ｂ）は、「同じ種類の、計算」である上に、私には、（ａ）に限らず、（ｂ）の「計算」に、「マチガイ」があるとは、思へない。
仮りに、
（10）
「結果」として、
（ａ）の「計算」を「手本」にして行った、
（ｂ）の「計算」に、「マチガイ」があるならば、
（２）鼻は象が長い。然るに、すべての兎は象ではない。故に、すべての兎の鼻は長くない。
といふ「論証」は、「日本語」としては、「妥当（Valid）」であるが、「述語論理」としては「妥当（Valid）」ではない。
といふことになり、それ故、残念なことに、「鼻は象が長い。」といふ「日本語」は、「非論理的な表現」である。といふ風に、言はざるを得ない。