（01）
命題計算では、パースの法則は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言う。この意味するところを書き出すと、命題Ｐについて、命題Ｑが存在して、「ＰならばＱ」からＰが真であることが従うときには、Ｐは真でなければならないとなる。とりわけ、Ｑとして偽を選んだ場合には、Ｐから偽が従うときは常にＰが真であるならば、Ｐは真であるとなる。パースの法則は直観論理や中間論理では成立せず、演繹定理だけからでは導くことができない（ウィキペディア）。
然るに、
（02）
５ 原始的規則あるいは導出された規則を、既にに証明されたどのような連式あるいは定理とでもともに用いて、証明せよ。
５ Using Primitive or deriverd rulues, together with any sequents or theorems already Proved,Prove.
（E.J.レモン著、竹尾治一郎・浅野楢英 訳、論理学初歩、1973年、８０頁）
（ｃ）
１ （１） （Ｐ→Ｑ）→Ｐ Ａ
１ （２） （～Ｐ∨Ｑ）→Ｐ １含意の定義
１ （３）～（～Ｐ∨Ｑ）∨Ｐ ２含意の定義
４ （４）～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
４ （５） Ｐ＆～Ｑ ４ド・モルガンの法則
４ （６） Ｐ ５＆Ｅ
７（７） Ｐ Ａ
１ （８） Ｐ １４６７７∨Ｅ
（９）（（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ １８ＣＰ
従って、
（01）（02）により、
（03）
「含意の定義、ド・モルガンの法則」を用いれば、「パースの法則」は、「９行の計算」で、「証明」出来る。
然るに、
（04）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨Ｑ オ∨Ｉ
８ オ（キ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８オ＆Ｉ
８ （ク） ～Ｑ オキＲＡＡ
８ （ケ） Ｐ＆～Ｑ エク＆Ｉ
１ ８ （コ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ７ケ＆Ｉ
１ （サ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ８コＲＡＡ
１ （シ） ～Ｐ∨Ｑ サＤＮ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
ウ （ウ） Ｐ Ａ
エ（エ） ～Ｑ Ａ
ウエ（オ） Ｐ＆～Ｑ ウエ＆Ｉ
１ ウエ（カ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） ６オ＆Ｉ
１ ウ （キ） ～～Ｑ エカＲＡＡ
１ ウ （ク） Ｑ キＤＮ
１ （ケ） Ｐ→ Ｑ ウクＣＰ
従って、
（01）（04）により、
（05）
① Ｐ→Ｑ
② ～Ｐ∨Ｑ
に於いて、
①＝② は「含意の定義」であって、「E.J.レモンの原始的規則（Primitive rules）」で「証明」出来る。
然るに、
（04）により、
（06）
（ⅰ）
１ （７） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
８ （８） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
９ （９） ～Ｐ Ａ
９ （ア） ～Ｐ∨Ｑ ９∨Ｉ
８９ （イ） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ８ア＆Ｉ
８ （ウ） ～～Ｐ ９イＲＡＡ
８ （エ） Ｐ ウＤＮ
オ（オ） Ｑ Ａ
オ（カ） ～Ｐ∨Ｑ オ∨Ｉ
（ⅱ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７ （７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７ （９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７ （ア） ～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ） ～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（01）（06）により、
（07）
① ～（Ｐ＆～Ｑ）
② ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
①＝② は「ド・モルガンの法則」であって、「E.J.レモンの原始的規則（Primitive rules）」で「証明」出来る。
然るに、
（08）
自然演繹（しぜんえんえき、英: Natural deduction）は、「自然な」ものとしての論理的推論の形式的モデルを提供する証明理論の手法であり、哲学的論理学の用語である。自然演繹論理のあるバージョンには、公理が存在しない。ジョン・レモンが開発した体系Ｌは、証明の構文規則に関する次のような「１０個の原始的規則（Primitive rules）」だけを持つ。
（ウィキペディア改）
従って、
（03）（05）（07）（08）により、
（09）
「パースの法則」は、「自然演繹（ジョン・レモンが開発した体系Ｌ）」に於ける、「１０個の原始的規則（Primitive rules）」で、「証明」出来る。
従って、
（01）（09）により、
（10）
命題計算では、「パースの法則」は （（Ｐ→Ｑ）→Ｐ）→Ｐ のことを言うものの、「パースの法則」は 「自然な」ものとしての「論理的推論の形式的モデルを提供する証明理論の手法」によって、「証明」出来る。
（01）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ→ Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） ～Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） Ｑ＆～Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆～Ｑ） ２６ＲＡＡ
（ⅱ）
１ （１）～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） ～Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆～Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １４＆Ｉ
１２ （６） ～～Ｑ ３５ＲＡＡ
１２ （７） Ｑ ６ＤＮ
１ （８） Ｐ→ Ｑ ２７ＣＰ
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
に於いて、
①＝② である。
（03）
（ⅱ）
１ （１） ～（Ｐ＆～Ｑ） Ａ
２ （２） ～（～Ｐ∨Ｑ） Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
３ （４） ～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２４＆Ｉ
２ （６） ～～Ｐ ３５ＲＡＡ
２ （７） Ｐ ６ＤＮ
８（８） Ｑ Ａ
８（９） ～Ｐ∨Ｑ ８∨Ｉ
２ ８（ア） ～（～Ｐ∨Ｑ）＆
（～Ｐ∨Ｑ） ２９＆Ｉ
２ （イ） ～Ｑ ８アＲＡＡ
２ （ウ） Ｐ＆～Ｑ ７イ＆Ｉ
１２ （エ） ～（Ｐ＆～Ｑ）＆
（Ｐ＆～Ｑ） １ウ＆Ｉ
１ （オ）～～（～Ｐ∨Ｑ） ２エＲＡＡ
１ （カ） ～Ｐ∨Ｑ オＤＮ
（ⅲ）
１ （１） ～Ｐ∨Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆～Ｑ Ａ
３ （３） ～Ｐ Ａ
２ （４） Ｐ ２＆Ｅ
２３ （５） ～Ｐ＆Ｐ ３４＆Ｉ
３ （６）～（Ｐ＆～Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ～Ｑ ２＆Ｅ
２ ７（９） Ｑ＆～Ｑ ７８＆Ｉ
７（ア）～（Ｐ＆～Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）～（Ｐ＆～Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
従って、
（03）により、
（04）
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
②＝③ である（ド・モルガンの法則）。
従って、
（03）（04）により、
（05）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、すなはち、
① Ｐであるならば、Ｑである。
②（Ｐであって、Ｑでない）ということはない。
③ Ｐでないか、または、Ｑである。
に於いて、
①＝②＝③ である。
従って、
（05）により、
（06）
① Ｐ→ Ｑ
② ～（Ｐ＆～Ｑ）
③ ～Ｐ∨ Ｑ
に於いて、
Ｐ＝Ｑ であるとして、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
に於いて、すなはち、
①「同一律（恒真式）」
②「矛盾律（恒真式）」
③「排中律（恒真式）」
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（07）
（ⅰ）
１（１）Ｐ Ａ
（２）Ｐ→Ｐ １１ＣＰ
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆～Ｐ Ａ
（２）～（Ｐ＆～Ｐ） １１ＲＡＡ
（ⅲ）
１ （１） ～（～Ｐ∨Ｐ） Ａ
２（２） ～Ｐ Ａ
２（３） ～Ｐ∨Ｐ ２∨Ｉ
１２（４） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） １３＆Ｉ
１ （５） ～～Ｐ ２４ＲＡＡ
１ （６） Ｐ ５ＤＮ
１ （７） ～Ｐ∨Ｐ ６∨Ｉ
１ （８） ～（～Ｐ∨Ｐ）＆
（～Ｐ∨Ｐ） ６１＆Ｉ
（９）～～（～Ｐ∨Ｐ） １８ＲＡＡ
（ア） ～Ｐ∨Ｐ ９ＤＮ
従って、
（06）（07）により、
（08）
①├ Ｐ→ Ｐ
②├ ～（Ｐ＆～Ｐ）
③├ ～Ｐ∨ Ｐ
という「連式」に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（09）
①├ Ｐ→ Ｐ
②├ ～（Ｐ＆～Ｐ）
③├ ～Ｐ∨ Ｐ
という「連式」に対する、
① Ｐ→ Ｐ
② ～（Ｐ＆～Ｐ）
③ ～Ｐ∨ Ｐ
という「論理式」に於いて、
① は、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
② も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
③ も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
従って、
（06）（09）により、
（10）
①「同一律（恒真式）」
②「矛盾律（恒真式）」
③「排中律（恒真式）」
に於いて、
①＝②＝③ であって、尚且つ、
① は、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
② も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
③ も、「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
従って、
（10）により、
（11）
（ⅰ）「恒真式（トートロジー）」とは、
（ⅱ）「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」である。
然るに、
（12）
① Ｐ→Ｐ（恒真式）
に対して、
① Ｐ＝（Ｐ＆Ｑ）
といふ「代入（置き換え）」を行うと、
①（Ｐ＆Ｑ）→（Ｐ＆Ｑ）
は、「恒真式（同一律）」である。
然るに、
（13）
（ⅰ）
１ （１）（Ｐ＆Ｑ）→（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
２３（４）（Ｐ＆Ｑ） ２３＆Ｉ
１２３（５） （Ｐ＆Ｑ） １４ＭＰＰ
１２ （６） （Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）） ３５ＣＰ
１ （７） Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）） ２６ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）） Ａ
２（２）（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２（３） Ｐ ２＆Ｅ
１２（４） Ｑ→（Ｐ＆Ｑ） １３ＭＰＰ
２（５） Ｑ ２＆Ｅ
１２（６） （Ｐ＆Ｑ） ４５ＭＰＰ
１ （７）（Ｐ＆Ｑ）→（Ｐ＆Ｑ） ２６ＣＰ
従って、
（13）により、
（14）
①（Ｐ＆Ｑ）→（Ｐ＆Ｑ）
② Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
に於いて、
①＝② である。
従って、
（12）（13）（14）により、
（15）
①（Ｐ＆Ｑ）→（Ｐ＆Ｑ）
② Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
に於いて、
①＝② であって、尚且つ、
① が「恒真式（同一律）」であるため、
② も「恒真式（同一律）」である。
然るに、
（16）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） Ｑ Ａ
１２（３） Ｐ＆Ｑ １２＆Ｉ
１ （４）Ｑ→（Ｐ＆Ｑ） ２３ＣＰ
（ⅱ）
１ （１） Ｐ Ａ
２（２） Ｑ Ａ
１２（３） Ｐ＆Ｑ １２＆Ｉ
１ （４） Ｑ→（Ｐ＆Ｑ） ２３ＣＰ
（５）Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）） １４ＣＰ
従って、
（16）により、
（17）
① Ｐ├ Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）
② ├ Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
という「連式」は、両方とも、「妥当」である。
従って、
（17）により、
（18）
例へば、
Ｐ＝１０月
Ｑ＝１７日
であるとすると、
① Ｐ├ Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）
② ├ Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
といふ「連式」、すなはち、
① １０月なので、１７日ならば、（１０月１７日である）。
② １０月ならば（１７日ならば、（１０月１７日である））。
といふ「推論」は、「妥当」である。
然るに、
（19）
① １１月某日
に於いて、
①（今日は）１０月なので、
と「断定」すれば、「ウソ」になるが、
② １１月某日
に於いて、
②（今日が）１０月ならば、
と「仮定」しても、「ウソ」にはならない。
従って、
（09）（15）（18）（19）により、
（20）
① Ｐ├ Ｑ→（Ｐ＆Ｑ）
② ├ Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
といふ「連式」に於ける、
② Ｐ→（Ｑ→（Ｐ＆Ｑ））
という「論理式」は、
（ⅰ）「仮定の数がゼロである所の、連式の結論」であって、
（ⅱ）「恒真式（トートロジー）」であって、尚且つ、
（ⅲ）「恒に真」である。
（01）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ）
②（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）により、
（02）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）は、
ｙに関して、
①（Ｆｘ＆Ｆａ）＆（Ｆｘ＆Ｆｂ）＆（Ｆｘ＆Ｆｃ）
という「３通り」が有る。
従って、
（02）により、
（03）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるならば、
① ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）は、
ｘに関しても、
①（Ｆａ＆Ｆａ）＆（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（Ｆａ＆Ｆｃ）
②（Ｆｂ＆Ｆａ）＆（Ｆｂ＆Ｆｂ）＆（Ｆｂ＆Ｆｃ）
③（Ｆｃ＆Ｆａ）＆（Ｆｃ＆Ｆｂ）＆（Ｆｃ＆Ｆｃ）
という「３通り」が有る。
然るに、
（04）
「冪等律」により、
①（Ｆａ＆Ｆａ）＝Ｆａ
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）＝Ｆｂ
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）＝Ｆｃ
従って、
（03）（04）により、
（05）
①（Ｆａ）＆（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（Ｆａ＆Ｆｃ）
②（Ｆｂ＆Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｂ＆Ｆｃ）
③（Ｆｃ＆Ｆａ）＆（Ｆｃ＆Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
従って、
（04）により、
（06）
「交換法則」により、
①（Ｆａ）＆（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（Ｆａ＆Ｆｃ）
②（Ｆｂ）＆（Ｆｂ＆Ｆａ）＆（Ｆｂ＆Ｆｃ）
③（Ｆｃ）＆（Ｆｃ＆Ｆａ）＆（Ｆｃ＆Ｆｂ）
従って、
（06）により、
（07）
「交換法則・結合法則」により、
①（Ｆａ＆Ｆａ＆Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ＆Ｆｂ）＆（Ｆａ）＆（Ｆｃ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ＆Ｆｃ）＆（Ｆａ）＆（Ｆｂ）
従って、
（07）により、
（08）
「冪等律」により、
①（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
②（Ｆｂ）＆（Ｆａ）＆（Ｆｃ）
③（Ｆｃ）＆（Ｆａ）＆（Ｆｂ）
従って、
（08）により、
（09）
「交換法則」により、
①（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
②（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
③（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
従って、
（09）により、
（10）
「冪等律」により、
③（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
従って、
（01）～（10）により、
（11）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
③（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（01）（11）により、
（12）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
であるとして、
① ∀ｙ（Ｆｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
③（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）
に於いて、
①＝②＝③ である。
然るに、
（13）
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ｝
であるならば、
① ∀ｘ（Ｆｘ）
②（Ｆａ）＆（Ｆｂ）＆（Ｆｃ）＆（Ｆｄ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（01）～（12）（13）により、
（14）
「数学的帰納法」により、
Ｄ＝｛ａ、ｂ、ｃ、ｄ、・・・・・｝
に於いて、
① ∀ｙ（Ｆｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（14）により、
（15）
① ∀ｙ（Ｆｙ→ｙ＝ｙ）
② ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、
①＝② である。
従って、
（15）により、
（16）
Ｅ.Ｊ.レモン、論理学初歩、練習問題３（Ｐ２１５）
つぎの相互に導出可能な結果を確立せよ。
（ａ）：正確に１のものがＦをもつ。
∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝├ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （４） Ｆｂ→ａ＝ｂ ３ＵＥ
５（５） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
５（６） Ｆｂ ５＆Ｅ
２５（７） ａ＝ｂ ４６ＭＰＰ
２ （８） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５７ＣＰ
２ （９） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ８ＵＩ
２ （ア） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ９ＵＩ（２には、ａがあるが、ａ＝ｂである）。
２ （イ） Ｆａ ２＆Ｅ
２ （ウ）∃ｘＦｘ イＥＩ
２ （エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） アウ＆Ｉ
１ （ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２エＥＥ
という「計算」は、「妥当」であり、
（ｂ）：正確に１のものがＦをもつ。
∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）├ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＥＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ２３エＥＥ
という「計算」は、「妥当」である。
従って、
（16）により、
（17）
① ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
② ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
に於いて、すなはち、
① あるｘは｛Ｆであって、すべてのｙについて、 （ｙがＦであるならば、ｘとｙは同一である）｝。
② あるｘは、Ｆであって、すべてのｘとｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであるあるならば、ｘとｙは同一である）。
に於いて、
①＝② である。
（01）
１ （１） ∃ｘ（紫式部ｘ＆源氏物語の著者ｘ） Ａ
２ （２） 紫式部ａ＆源氏物語の著者ａ Ａ
３ （３） ～∀ｘ（紫式部ｘ→源氏物語の著者ｘ） Ａ
３ （５） ∃ｘ～（紫式部ｘ→源氏物語の著者ｘ） ３量化子の関係
６ （６） ～（紫式部ａ→源氏物語の著者ａ） Ａ
６ （７） ～（～紫式部ａ∨源氏物語の著者ａ） ６含意の定義
６ （８） 紫式部ａ＆～源氏物語の著者ａ ６ド・モルガンの法則
２ （９） 源氏物語の著者ａ ２＆Ｅ
６ （ア） ～源氏物語の著者ａ ８＆Ｅ
２ ６ （イ） 源氏物語の著者＆～源氏物語の著者ａ ９ア＆Ｉ
２３ （ウ） 源氏物語の著者＆～源氏物語の著者ａ ３６イＥＥ
１ ３ （エ） 源氏物語の著者＆～源氏物語の著者ａ １２ウＥＥ
１ （オ）～～∀ｘ（紫式部ｘ→源氏物語の著者ｘ） ３エＲＡＡ
１ （カ） ∀ｘ（紫式部ｘ→源氏物語の著者ｘ） オＤＮ
キ （キ） ∃ｘ（清少納言ｘ＆紫式部ｘ） Ａ
１ （ク） 紫式部ａ→源氏物語の著者ａ カＵＥ
ケ （ケ） 清少納言ａ＆紫式部ａ Ａ
コ （コ）∃ｘ（清少納言ｘ＆～源氏物語の著者ｘ） Ａ
サ（サ） 清少納言ａ＆～源氏物語の著者ａ Ａ
ケ （シ） 紫式部ａ ケ＆Ｅ
１ ケ （ス） 源氏物語の著者ａ クシＭＰＰ
サ（セ） ～源氏物語の著者ａ サ＆Ｅ
１ ケ サ（ソ） 源氏物語ａ＆～源氏物語の著者ａ スセ＆Ｉ
１ キ サ（タ） 源氏物語ａ＆～源氏物語の著者ａ キケソＥＥ
１ キ コ （チ） 源氏物語ａ＆～源氏物語の著者ａ コサタＥＥ
１ コ （ツ） ～∃ｘ（清少納言ｘ＆紫式部ｘ） キチＲＡＡ
１ コ （テ） ∀ｘ～（清少納言ｘ＆紫式部ｘ） ツ量化子の関係
１ コ （ト） ～（清少納言ａ＆紫式部ａ） テＵＥ
１ コ （ナ） ～清少納言ａ∨～紫式部ａ ト、ド・モルガンの法則
１ コ （ニ） 清少納言ａ→～紫式部ａ ナ含意の定義
１ コ （ヌ） ∀ｘ（清少納言ｘ→～紫式部ｘ） ニＵＩ
従って、
（01）により、
（02）
（ⅰ）∃ｘ（ 紫式部ｘ＆ 源氏物語の著者ｘ）。然るに、
（ⅱ）∃ｘ（清少納言ｘ＆～源氏物語の著者ｘ）。従って、
（ⅲ）∀ｘ（清少納言ｘ→～紫式部ｘ）。
という「推論」は「妥当」である。
従って、
（02）により、
（03）
（ⅰ）あるｘは、 紫式部であって、源氏物語の著者である。 然るに、
（ⅱ）あるｘは、清少納言であるが、源氏物語の著者ではない。従って、
（ⅲ）いかなるｘであっても（ｘが清少納言であれば、紫式部ではない）。
という「推論」は「妥当」である。
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）紫式部は、源氏物語の著者である。 然るに、
（ⅱ）清少納言は源氏物語の著者ではない。従って、
（ⅲ）誰であれ、清少納言であるならば、紫式部ではない。
という「推論」は、「述語論理」としても、「妥当」である。
然るに、
（05）
然るに、
（06）
現在の情報検索や自然言語処理は、基本的に論理で処理させることは当面諦めて、統計と確率の手法でＡＩに言語を学習させようとしています。つまり、文章の意味はわからなくても、その文章に出てくる既知の単語とその組合せから統計的に推測して、正しそうな回答を導き出そうとしているのです（新井紀子、ＡＩｖｓ.教科書が読めない子供たち、2018年、１２２頁）。
従って、
（01）～（06）により、
（07）
ＡＩは、
（ⅰ）紫式部は、源氏物語の著者である。 然るに、
（ⅱ）清少納言は源氏物語の著者ではない。従って、
（ⅲ）誰であれ、清少納言であるならば、紫式部ではない。
という「推論」を行う際に、
① ∃ｘ（ 紫式部ｘ＆ 源氏物語の著者ｘ）
② ∀ｘ（ 紫式部ｘ→ 源氏物語の著者ｘ）
③ ∃ｘ（清少納言ｘ＆～源氏物語の著者ｘ）
④ ∀ｘ（清少納言ｘ→～紫式部ｘ）。
に於ける、
①から②を「演繹」して、その上で、
② と ③ によって、
④を「演繹」している。
といふ、わけではない。
従って、
（06）（07）により、
（08）
ＡＩは、「論理的な機械」ではなく、
ＡＩは、「確率的・統計的な機械」である。
（01）
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（この結果は事実上、強化して相互導出可能にすることができる。）この連式の妥当性から、
ひとつだけの対象がＦを持っているならば、∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）ということが帰結する。
言い換えると、相異なる変数「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する異なった対象が存在する、
ということは、帰結しないのである（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２１０頁）。
然るに、
（02）
｛ｘの変域｝＝｛ａ、ｂ、ｃ｝
とする。
従って、
（02）により、
（03）
① ∃ｘ（Ｆｘ）
② ∃ｙ（Ｆｙ）
③ Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ
に於いて、
①＝② であって、
①＝③ である。
従って、
（03）により、
（04）
① ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
②｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（05）
「冪等律」により、
①（Ｆａ＆Ｆａ）＝Ｆａ
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）＝Ｆｂ
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）＝Ｆｃ
従って、
（04）（05）により、
（06）
① ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
②｛Ｆａ∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨Ｆｂ∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨Ｆｃ｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（07）
「交換法則」により、
①（Ｆａ＆Ｆｂ）＝（Ｆｂ＆Ｆａ）
②（Ｆａ＆Ｆｃ）＝（Ｆｃ＆Ｆａ）
③（Ｆｂ＆Ｆｃ）＝（Ｆｃ＆Ｆｂ）
従って、
（06）（07）により、
（08）
① ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
②｛Ｆａ∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛Ｆｂ∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛Ｆｃ｝
に於いて、
①＝② である。
然るに、
（09）
「交換法則・結合法則」により、
②｛Ｆａ∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨｛Ｆｂ∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨｛Ｆｃ｝
③｛（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（10）
１ （１）｛（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝ Ａ
２ （２）｛（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）｝ Ａ
３ （３） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） Ａ
４ （４） （Ｆａ＆Ｆｂ） Ａ
４ （５） Ｆａ ４＆Ｅ
４ （６） Ｆａ∨Ｆｂ ５∨Ｉ
４ （７） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ６∨Ｉ
２ （８） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ２３３４７∨Ｅ
９ （９） ｛（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝ Ａ
ア （ア） （Ｆａ＆Ｆｃ） Ａ
ア （イ） Ｆａ ア＆Ｅ
ア （ウ） Ｆａ∨Ｆｂ イ∨Ｉ
ア （エ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ウ∨Ｉ
オ （オ） （Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
オ （カ） Ｆｂ オ＆Ｅ
オ （キ） Ｆａ∨Ｆｂ カ∨Ｉ
オ （ク） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） キ∨Ｉ
９ （ケ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） ９アエオク∨Ｅ
１ （コ） （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ） １２８９ケ∨Ｅ
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
① ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
② （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
に於いて、
①⇒② である。
従って、
（03）（11）により、
（12）
① ∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
② ∃ｘ（Ｆｘ）
に於いて、
①⇒② である。
従って、
（01）（12）により、
（13）
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）┤├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
は、相互導出可能にすることができる。
（01）
（ⅰ）「東京都民でない」ならば、「中野区民でない」。
（ⅱ）「東京都民である」ならば、「中野区民である」。
という「命題の真偽」を「判定せよ」。
ｃｆ.
然るに、
（02）
例えば、
（ⅰ）「埼玉県民」であるならば、「東京都民」ではないし、
（〃）「埼玉県民」であるならば、「中野区民」ではない。
従って、
（02）による、
（03）
（ⅰ）「東京都民でない」ならば、「中野区民でない」。
（〃）「東京都民でない・中野区民」は「存在しない」。
という「命題」は「真」である。
然るに、
（04）
（ⅱ）「練馬区民」であるならば、「東京都民」であるが、
（〃）「練馬区民」であるならば、「中野区民」ではない。
従って、
（04）により、
（05）
（ⅱ）「東京都民である」ならば、「中野区民である」。
という「命題」は「偽」である。
然るに、
（06）
「マイクロソフト・コパイロット」の「解答」は、
従って、
（04）（05）（06）により、
（07）
「マイクロソフト・コパイロット」は、
（ⅱ）「練馬区民」であるならば、「東京都民」であるが、
（〃）「練馬区民」であるならば、「中野区民」ではない。
にも拘わらず、
（ⅱ）「東京都民である」ならば、「中野区民である」。
という「命題」が、「偽」であることを「見抜けなかった」。
という、ことになる。
（01）
「一昨日（令和６年３月３０日）の記事」でも示した通り、
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるとして、
⑪ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
であるならば、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通り」が、「真」であることが「可能」である。
従って、
（01）により、
（02）
⑫ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
といふ「論理式」ではなく、
⑪ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」が「真」であるならば、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
といふ「３通りの内の、どれか１つが真」である。
従って、
（01）（02）により、
（03）
⑪ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」ではなく、
⑫ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
といふ「論理式」が「真」であるならば、
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「４通りの内の、どれか１つが真」である。
然るに、
（04）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「４通りの内の、どれか１つが真」である。
といふことは、｛ａ，ｂ，ｃ｝の中の、
⑫「２個以上の個体が、Ｆである。」
といふ、ことである。
従って、
（03）（04）により、
（05）
⑫ ∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
⑬ ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
といふ「論理式」は、それぞれ、
⑫「２個以上の個体が、Ｆである。」
⑬「２個以上の個体が、Ｆである。」といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（06）
（ⅲ）
１（１）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ Ａ
１（２）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ １量化子の関係
１（３）∀ｘ∀ｙ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ２量化子の関係
１（４） ∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆（ａ≠ｙ）｝ ３ＵＥ
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（ａ≠ｂ）｝ ４ＵＥ
１（６） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（ａ＝ｂ） ５ド・モルガンの法則
１（７） （Ｆａ＆Ｆｂ）→（ａ＝ｂ） ６含意の定義
１（８） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→（ａ＝ｙ）｝ ７ＵＩ
１（９） ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝ ８ＵＩ
（ⅳ）
１（１） ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝ Ａ
１（２） ∀ｙ｛（Ｆａ＆Ｆｙ）→（ａ＝ｙ）｝ １ＵＥ
１（３） （Ｆａ＆Ｆｂ）→（ａ＝ｂ） ２ＵＥ
１（４） ～（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（ａ＝ｂ） ３含意の定義
１（５） ～｛（Ｆａ＆Ｆｂ）＆（ａ≠ｂ）｝ ４ド・モルガンの法則
１（６） ∀ｙ～｛（Ｆａ＆Ｆｙ）＆（ａ≠ｙ）｝ ５ＵＩ
１（７）∀ｘ∀ｙ～｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ６ＵＩ
１（８）∀ｘ～∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ７量化子の関係
１（９）～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝ ８量化子の関係
従って、
（05）（06）により、
（07）
⑬ ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
⑭ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
⑬＝⑭ である。
従って、
（05）（06）（07）により、
（08）
⑬ ～∃ｘ∃ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）＆（ｘ≠ｙ）｝
⑭ ∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」、すなはち、
⑬「あるｘとあるｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであって、ｘとｙが「同一」ではない。」といふことはない。
⑭「すべてのｘとｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、ｘとｙは、「同一」である）。」
といふ「論理式」は、「両方」とも、
⑬「２個以上の個体が、Ｆである。」といふことはない。
⑭「２個以上の個体が、Ｆである。」といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（09）
⑭ ∃ｘ（Ｆｘ）
といふ「論理式」、すなはち、
⑭「（Ｆであるｘ）が存在する。」
といふ「論理式」は、
⑭「１個以上の個体が、Ｆである。」
といふ「意味」である。
従って、
（08）（09）により、
（10）
⑭ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」は、
⑭「１個以上の個体が、Ｆである」が、「２個以上の個体が、Ｆである」といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（11）
（ⅳ）
１ （１）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） Ａ
１ （２）∃ｘＦｘ １＆Ｅ
３ （３） Ｆａ Ａ
１ （４） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １＆Ｅ
１ （５） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ４ＵＥ
１ （６） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５ＵＥ
７（７） Ｆｂ Ａ
３７（８） Ｆａ＆Ｆｂ ３７＆Ｉ
１３７（９） ａ＝ｂ ６８ＭＰＰ
１３ （ア） Ｆｂ→ａ＝ｂ ７９ＣＰ
１３ （イ） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） アＵＩ
１３ （ウ） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ３イ＆Ｉ
１３ （エ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ウＥＩ
１ （オ） ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ ２３エＥＥ
（ⅴ）
１ （１）∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝ Ａ
２ （２） Ｆａ＆∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） Ａ
２ （３） ∀ｙ（Ｆｙ→ａ＝ｙ） ２＆Ｅ
２ （４） Ｆｂ→ａ＝ｂ ３ＵＥ
５（５） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
５（６） Ｆｂ ５＆Ｅ
２５（７） ａ＝ｂ ４６ＭＰＰ
２ （８） Ｆａ＆Ｆｂ→ａ＝ｂ ５７ＣＰ
２ （９） ∀ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ→ａ＝ｙ） ８ＵＩ
２ （ア） ∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） ９ＵＩ
２ （イ）Ｆａ ２＆Ｅ
２ （ウ）∃ｘＦｘ イＥＩ
２ （エ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） アウ＆Ｉ
１ （ウ）∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ） １２エＥＥ
従って、
（11）により、
（12）
⑭ ∃ｘＦｘ＆∀ｘ∀ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ→ｘ＝ｙ）
⑮ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
に於いて、
⑭＝⑮ である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
⑭ ∃ｘ（Ｆｘ）＆∀ｘ∀ｙ｛（Ｆｘ＆Ｆｙ）→（ｘ＝ｙ）｝
⑮ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」、すなはち、
⑭「あるｘはＦであり、すべてのｘとｙについて（ｘがＦであって、ｙもＦであるならば、ｘとｙは、「同一」である）。」
⑮「あるｘはＦであり、すべてのｙについて（ｙがＦであるならば、ｘとｙは、「同一」である）。」
といふ「論理式」は、「両方」とも、
⑭「１個以上の個体が、Ｆである」が、「２個以上の個体が、Ｆである」といふことはない。
⑮「１個以上の個体が、Ｆである」が、「２個以上の個体が、Ｆである」といふことはない。
といふ「意味」である。
然るに、
（14）
⑮「１個以上の個体が、Ｆである」が、「２個以上の個体が、Ｆである」といふことはない。
といふことは、
⑮「唯一の個体だけが、Ｆである。」
といふ「意味」である。
従って、
（13）（14）により、
（15）
⑮ ∃ｘ｛Ｆｘ＆∀ｙ（Ｆｙ→ｘ＝ｙ）｝
といふ「論理式」、すなはち、
⑮「あるｘはＦであり、すべてのｙについて（ｙがＦであるならば、ｘとｙは、「同一」である）。」
といふ「論理式」は、
⑮「唯一の個体だけが、Ｆである。」
といふ「意味」である。
従って、
（15）により、
（16）
⑮ ∃ｘ｛偶素数ｘ＆∀ｙ（偶素数ｙ→ｘ＝ｙ＝２）｝
といふ「論理式」は、
⑮「偶数の素数は、２だけである。」
といふ「意味」である。
然るに、
（15）（16）により、
（17）
「自然数２が、個体である」といふのは「ヲカシイ」ものの、
「述語論理」では、「ｘやｙやｚ」を「個体変数（individual variable）」と言ふ。
（01）
１４２ ∃ｘ（Ｆｘ）├ ∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）
１ （１） ∃ｘ（Ｆｘ） Ａ
２（２） Ｆａ Ａ
２（３） Ｆａ＆Ｆａ ２２＆Ｉ
２（４） ∃ｙ（Ｆａ＆Ｆｙ） ３ＥＩ
２（５）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） ４ＥＩ
１ （６）∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ） １２５ＥＥ
（この結果は事実上、強化して相互導出可能にすることができる。）この連式の妥当性から、
ひとつだけの対象がＦを持っているならば、∃ｘ∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）ということが帰結する。
言い換えると、相異なる変数「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する異なった対象が存在する、
ということは、帰結しないのである（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２１０頁）。
然るに、
（02）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
（ⅰ） ∃ｙ（Ｆｙ）
（ⅱ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
に於いて、
（ⅰ）＝（ⅱ）である。
然るに、
（03）
「選言（∨）の真理表」により、
（ⅱ）（Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
といふ「論理式」は、
①（Ｆａ ）∨
②（ Ｆｂ ）∨
③（ Ｆｃ）∨
④（Ｆａ＆Ｆｂ ）∨
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）∨
⑥（ Ｆｂ＆Ｆｃ）∨
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「論理式」に「等しい」。
従って、
（02）（03）により、
（04）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｙ（Ｆｙ）は、
といふ「論理式」は、
①（Ｆａ）
② （Ｆｂ）
③ （Ｆｃ）
④（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通りの内の、どれか１つ」である。
然るに、
（05）
「冪等律」により、
①（Ｆａ）
②（Ｆｂ）
③（Ｆｃ）
といふ「３つの論理式」は、それぞれ、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
といふ「３つの論理式」に「等しい」。
従って、
（04）（05）により、
（06）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｙ（Ｆｙ）は、
といふ「論理式」は、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通りの内の、どれか１つ」である。
然るに、
（07）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝＝
｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｘ＆Ｆａ）∨（Ｆｘ＆Ｆｂ）∨（Ｆｘ＆Ｆｃ）｝
であるため、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝＝
｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｂ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｃ＆Ｆａ）∨（Ｆｃ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
である。
然るに、
（08）
「交換法則」により、
①（Ｆａ＆Ｆｂ）
②（Ｆｃ＆Ｆａ）
③（Ｆａ＆Ｆｃ）
④（Ｆｃ＆Ｆａ）
⑤（Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆｃ＆Ｆｂ）
に於いて、
①＝④
②＝⑤
③＝⑥
従って、
（07）（08）により、
（09）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝＝
｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆａ＆Ｆｂ） ∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝∨
｛（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝
である。
従って、
（09）により、
（10）
「交換法則・結合法則」により、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝＝
｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝
である。
然るに、
（11）
１ （１）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ） ∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ） ∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝ Ａ
２ （２）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ） ∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝ Ａ
２ （３）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）｝∨（Ｆｃ＆Ｆｃ） ２結合法則
４ （４）｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）｝ Ａ
５ （５） （Ｆａ＆Ｆａ） Ａ
５ （６） Ｆａ ５＆Ｅ
５ （７） Ｆａ∨Ｆｂ ６∨Ｉ
５ （８） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ７∨Ｉ
９ （９） （Ｆｂ＆Ｆｂ） Ａ
９ （ア） Ｆｂ ９＆Ｅ
９ （イ） Ｆａ∨Ｆｂ ア∨Ｉ
９ （ウ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ イ∨Ｉ
４ （エ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ４５８９ウ∨Ｅ
オ （オ） （Ｆｃ＆Ｆｃ） Ａ
オ （カ） Ｆｃ オ＆Ｅ
オ （キ） Ｆｂ∨Ｆｃ カ∨Ｉ
オ （ク） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ キ∨Ｉ
２ （ケ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ２４エオク∨Ｅ
コ （コ） ｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ） ∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝ Ａ
コ （サ） ｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝∨（Ｆｂ＆Ｆｃ） コ結合法則
シ （シ） ｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）｝ Ａ
ス （ス） Ｆａ＆Ｆｂ Ａ
ス （セ） Ｆａ ス＆Ｅ
ス （ソ） Ｆａ∨Ｆｂ セ∨Ｉ
ス （タ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ソ∨Ｉ
チ （チ） Ｆａ＆Ｆｃ Ａ
チ （ツ） Ｆａ チ＆Ｅ
チ （テ） Ｆａ∨Ｆｂ ツ∨Ｉ
チ （ト） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ テ∨Ｉ
シ （ナ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ シスタチト∨Ｅ
ニ（ニ） （Ｆｂ＆Ｆｃ） Ａ
ニ（ヌ） Ｆｂ ニ＆Ｅ
ニ（ネ） Ｆａ∨Ｆｂ ヌ∨Ｉ
ニ（ノ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ ネ∨Ｉ
コ （ハ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ コシナニノ∨Ｅ
１ （ヒ） Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ １２ケコハ∨Ｅ
従って、
（11）により、
（12）
①｛（Ｆａ＆Ｆａ）∨（Ｆｂ＆Ｆｂ）∨（Ｆｃ＆Ｆｃ）｝∨｛（Ｆａ＆Ｆｂ）∨（Ｆａ＆Ｆｃ）∨（Ｆｂ＆Ｆｃ）｝
② （Ｆａ∨Ｆｂ∨Ｆｃ）
に於いて、
①⇒② である。
従って、
（10）（11）（12）により、
（13）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
といふ「論理式」も、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通りの内の、どれか１つ」である。
従って、
（06）（13）により、
（14）
｛ｘの変域｝＝｛ａ，ｂ，ｃ｝
であるならば、
∃ｙ（Ｆｙ）
といふ「論理式」と、
∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝
といふ「論理式」は、両方とも、
①（Ｆａ＆Ｆａ）
②（Ｆｂ＆Ｆｂ）
③（Ｆｃ＆Ｆｃ）
④（ Ｆｂ＆Ｆｃ）
⑤（Ｆａ ＆Ｆｃ）
⑥（Ｆａ＆Ｆｂ ）
⑦（Ｆａ＆Ｆｂ＆Ｆｃ）
といふ「７通りの内の、どれか１つ」である。
従って、
（01）（14）により、
（15）
ひとつだけの対象が、性質Ｆを持っているならば、∃ｘ｛∃ｙ（Ｆｘ＆Ｆｙ）｝ということが帰結する。
言い換えると、相異なる変数「ｘ」と「ｙ」を用いる場合に、そのことから、それに対応する異なった対象が存在する、
ということは、帰結しないのである（E.J.レモン著、論理学初歩、竹尾治一郎・浅野楢英、1973年、２１０頁）。
といふ「説明」は、「正しい」。
（01）
男子＝男の子である。
～男子＝男の子でない。
女子＝女の子である。
～女子＝女の子でない。
帽子＝帽子をかぶっている。
～帽子＝帽子をかぶっていない。
スニ＝スニ―カーを履いている。
～スニ＝スニーカーを履いていない。
とする。
従って、
（01）により、
（02）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふ「日本語」に「等しい」。
然るに、
（03）
（Γ）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）
（〃）男の子であるならば、女の子ではなく、女の子でないならば、男の子である。
を「公理」とする。
然るに、
（04）
（α）
１ （１）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） Ａ
１ （２） ～帽子ａ→女子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） 男子ａ Ａ
６（７） ～女子ａ ５６ＭＰＰ
１６（８） ～～帽子ａ １７ＭＰＰ
１６（９） 帽子ａ ８ＤＮ
１ （ア） 男子ａ→帽子ａ ６９ＣＰ
１ （イ） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） アＵＩ
（〃）
１ （１）∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ） Ａ
１ （２） 男子ａ→ 帽子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） ～女子ａ→男子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） ～帽子ａ Ａ
１６（７） ～男子ａ ２６ＭＴＴ
１６（８） ～～女子ａ ５７ＭＴＴ
１６（９） 女子ａ ８ＤＮ
１ （ア） ～帽子ａ→女子ａ ６９ＣＰ
１ （イ）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） アＵＩ
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
然るに、
（06）
（β）
１ （１）～∃ｘ（スニｘ＆ 男子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（スニｘ＆ 男子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（スニａ＆ 男子ａ） ２ＵＥ
１ （４） ～スニａ∨～男子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） スニａ→～男子ａ ４含意の定義
（６） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（７） 男子ａ⇔～女子ａ ６ＵＥ
（８） ～女子ａ→男子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９ （９） ～男子ａ Ａ
９ （ア） ～～女子ａ ８９ＭＴＴ
９ （イ） 女子ａ アＤＮ
（ウ） ～男子ａ→女子ａ ９イＣＰ
エ（エ） スニａ Ａ
１ エ（オ） ～男子ａ ５エＭＰＰ
１ エ（カ） 女子ａ ウオＭＰＰ
１ （キ） スニａ→ 女子ａ エカＣＰ
１ （ク） ∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） キＵＩ
（〃）
１ （１） ∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） Ａ
１ （２） スニａ→ 女子ａ １ＵＥ
（３） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ３ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６ （６） 女子ａ Ａ
６ （７） ～～女子ａ ６ＤＮ
６ （８） ～男子ａ ５７ＭＴＴ
（９） 女子ａ→～男子ａ ６８ＭＰＰ
ア（ア） スニａ Ａ
１ ア（イ） 女子ａ ２アＭＰＰ
１ ア（ウ） ～男子ａ ９イＭＰＰ
１ （エ） スニａ→～男子ａ アウＣＰ
１ （オ） ～スニａ∨～男子ａ エ含意の定義
１ （カ） ～（スニａ＆ 男子ａ） オ、ド・モルガンの法則
１ （キ）∀ｘ～（スニｘ＆ 男子ｘ） カＵＩ
従って、
（05）（06）により、
（07）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆ スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（ スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
然るに、
（08）
（２）
１ （１）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（帽子ｘ＆ 女子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（帽子ａ＆ 女子ａ） ２ＵＥ
１ （４） ～帽子ａ∨～女子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） 帽子ａ→～女子ａ ４含意の定義
（６） ∀ｘ（女子ｘ⇔～男子ｘ） 公理
（７） 女子ａ⇔～男子ａ ６ＵＥ
（８） ～男子ａ→女子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９ （９） ～女子ａ Ａ
９ （ア） ～～男子ａ ８９ＭＴＴ
９ （イ） 男子ａ アＤＮ
（ウ） ～女子ａ→男子ａ ９イＣＰ
エ（エ） 帽子ａ Ａ
１ エ（オ） ～女子ａ ５エＭＰＰ
１ エ（カ） 男子ａ ウオＭＰＰ
１ （キ） 帽子ａ→ 男子ａ エカＣＰ
１ （ク） ∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） キＵＩ
（〃）
１ （１） ∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） Ａ
１ （２） 帽子ａ→ 男子ａ １ＵＥ
（３） ∀ｘ（女子ｘ⇔～男子ｘ） 公理
（４） 女子ａ⇔～男子ａ ３ＵＥ
（５） 女子ａ→～男子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６ （６） 男子ａ Ａ
６ （７） ～～男子ａ ６ＤＮ
６ （８） ～女子ａ ５７ＭＴＴ
（９） 男子ａ→～女子ａ ６８ＭＰＰ
ア（ア） 帽子ａ Ａ
１ ア（イ） 男子ａ ２アＭＰＰ
１ ア（ウ） ～女子ａ ９イＭＰＰ
１ （エ） 帽子ａ→～女子ａ アウＣＰ
１ （オ） ～帽子ａ∨～女子ａ エ含意の定義
１ （カ） ～（帽子ａ＆ 女子ａ） オ、ド・モルガンの法則
１ （キ）∀ｘ～（帽子ｘ＆ 女子ｘ） カＵＩ
１ （ク）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ） キ量化子の関係
従って、
（07）（08）により、
（09）
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「論理式」は、
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
従って、
（05）～（09）により、
（10）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」に「等しい」。
従って、
（10）により、
（11）
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（２） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
に於いて、
（２）は（α）の「逆」であり、
（２）は（１）の「逆」であるが、「逆は、必ずしも、真ではない」。
従って、
（11）により、
（12）
（α）⇔（１）であるが、
（α）→（２）ではない。
然るに、
（13）
１ （１）∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） Ａ
２ （２）∀ｘ（スニｘ→女子ｘ） Ａ
３ （３）∃ｘ（帽子ｘ＆スニｘ） Ａ
１ （４） 男子ａ→帽子ａ １ＵＥ
２ （５） スニａ→女子ａ ２ＵＥ
６（６） 帽子ａ＆スニａ Ａ
６（７） 帽子ａ ６＆Ｅ
６（８） スニａ ６＆Ｅ
２ ６（９） 女子ａ ５７ＭＰＰ
２ ６（ア） 帽子ａ＆女子ａ ７９＆Ｉ
２ ６（イ）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） アＥＩ
２３ （ウ）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） ３６イＥＥ
従って、
（01）（02）（10）（13）により、
（14）
（α）∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β）∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
（３）∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
といふ「命題」、すなはち、
（α）男の子は、みんな帽子をかぶっています。
（β）スニーカーを履いている子どもは、みんな女の子です。
（γ）帽子をかぶっている女の子もいます。
といふ「命題」は「矛盾」しない。
ｅ．ｇ.
太郎と次郎は、二人とも、野球帽をかぶっているが、スニーカーではなく、スパイクを履いている。
花子は帽子をかぶって、スニーカーを履いているが、桃子は、帽子をかぶらずに、スニーカーを履いている。
従って、
（13）（14）により、
（15）
（α） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
（β） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
であるからと言って、必ずしも、
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（〃）帽子をかぶっている女の子はいません。
といふことには、ならない。
従って、
（02）（10）（11）（15）により、
（16）
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（β）～∃ｘ（ スニｘ＆男子ｘ）
（１） ∀ｘ（ 男子ｘ→帽子ｘ）
（２）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆女子ｘ）
（３）～∃ｘ（ 帽子ｘ＆スニｘ）
といふ「述語論理式」は、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
といふ「日本語」に「等しく」、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
といふ「命題」が「真（〇）」であるならば、
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
だけが、必ず、「真（〇）」である。
従って、
（16）により、
（17）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
正しいのは（１）のみです。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２・１８３頁）。
といふ、ことになる。
（01）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
正しいのは（１）のみです。
― 中略 ―
この問題の正解率は６４.５％でした。入試で問われるスキルは何一つ問うていないのに、
国立Ｓクラスでは８５％が正当した一方、私大Ｂ、Ｃクラスでは正当率が５割を切りました。
では、多くの高校生が憧れる私大Ｓクラスではどうだったか。国立Ｓクラスに比べて２０ポイントも低い６６.８％に留まりました。
どこの大学に入学できるかは、学習量でも知識でも運でもない、論理的な読解と推論の力ではないのか、６０００枚の答案をみているうちに、私は確信するようになりました。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
然るに、
（02）
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
という「日本語」は、それぞれ、
（α）すべてのｘについて（ｘが帽子をかぶっていないならば、ｘは女子である）。
（β）（スニーカーを履いているｘであって、そのうえ、男子であるｘ）は存在しない。
（１）すべてのｘについて（ｘが男子ならば、ｘは帽子をかぶっている）。
（２）（帽子をかぶっているｘであって、そのうえ、女子であるｘ）は存在しない。
（３）（帽子をかぶっていて、その上、スニーカーを履いているｘ）は存在しない。
という「意味」である。
然るに、
（03）
（α）すべてのｘについて（ｘが帽子をかぶっていないならば、ｘは女子である）。
（β）（スニーカーを履いているｘであって、そのうえ、男子であるｘ）は存在しない。
（１）すべてのｘについて（ｘが男子ならば、ｘは帽子をかぶっている）。
（２）（帽子をかぶっているｘであって、そのうえ、女子であるｘ）は存在しない。
（３）（帽子をかぶっていて、その上、スニーカーを履いているｘ）は存在しない。
という「日本語」は、
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。
（β）～∃ｘ（スニｘ＆ 男子ｘ）。
（１） ∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ）。
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ）。
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆ スニｘ）。
という「述語論理式」に「相当」する。
従って、
（02）（03）により、
（04）
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
という「日本語」は、それぞれ、
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。
（β）～∃ｘ（スニｘ＆ 男子ｘ）。
（１） ∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ）。
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ）。
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆ スニｘ）。
という「述語論理式」に「相当」する。
然るに、
（05）
（Γ） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）
（〃）∀ｘ｛（男子ｘ→～女子ｘ）＆（～女子ｘ→男子ｘ）｝
（〃）男子ならば、そのときに限って、女子ではない。
という「命題」を、「公理」とする。
然るに、
（06）
「結論」を先に言うと、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
に於いて、
（α）と（１）は「対偶」であり、
（１）と（２）は「 逆 」であり、
（１）と（３）も「 逆 」であり、そのため、
（１）〇
（２）✕
（３）✕
然るに、
（07）
（α）
１ （１）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） Ａ
１ （２） ～帽子ａ→女子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） 男子ａ Ａ
６（７） ～女子ａ ５６ＭＰＰ
１６（８） ～～帽子ａ １７ＭＰＰ
１６（９） 帽子ａ ８ＤＮ
１ （ア） 男子ａ→帽子ａ ６９ＣＰ
１ （イ） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） アＵＩ
（１）
１ （１）∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ） Ａ
１ （２） 男子ａ→ 帽子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ＵＥ
（５） ～女子ａ→男子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） ～帽子ａ Ａ
１６（７） ～男子ａ ２６ＭＴＴ
１６（８） ～～女子ａ ５７ＭＴＴ
１６（９） 女子ａ ８ＤＮ
１ （ア） ～帽子ａ→女子ａ ６９ＣＰ
１ （イ）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） アＵＩ
従って、
（04）（07）により、
（08）
（α）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）
（１）∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ）
に於いて、すなわち、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です（男の子ではない）。
（１）男の子（女の子でない子ども）はみんな帽子をかぶっている。
に於いて、
（α）と（１）は「対偶」であり、それ故、
（α）と（１）は「等しい」。
然るに、
（09）
（２）
１ （１）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（帽子ｘ＆女子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（帽子ａ＆女子ａ） １ＵＥ
１ （４） ～帽子ａ∨～女子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） 帽子ａ→～女子ａ ４含意の定義
（６）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（７） 男子ａ⇔～女子ａ ６ＵＥ
（８） ～女子ａ→男子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９（９） 帽子ａ Ａ
１９（ア） ～女子ａ ５９ＭＰＰ
１９（イ） 男子ａ ８アＭＰＰ
１ （ウ） 帽子ａ→ 男子ａ ９イＣＰ
１ （エ）∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） ウＵＩ
（Ⅱ）
１ （１）∀ｘ（帽子ｘ→ 男子ｘ） Ａ
１ （２） 帽子ａ→ 男子ａ １ＵＥ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ３ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６（６） 帽子ａ Ａ
１６（７） 男子ａ ２６ＭＰＰ
１６（８） ～女子ａ ５７ＭＰＰ
１ （９） 帽子ａ→～女子ａ ６８ＣＰ
１ （ア） ～帽子ａ∨～女子ａ ９含意の定義
１ （イ） ～（帽子ａ＆女子ａ） ア、ド・モルガンの法則
１ （ウ）∀ｘ～（帽子ｘ＆女子ｘ） イＵＩ
１ （エ）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ） ウ量化子の関係
従って、
（09）により、
（10）
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（Ⅱ） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
に於いて、
（２）＝（Ⅱ） である。
従って、
（11）
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆女子ｘ）
（Ⅱ） ∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
（１） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）
に於いて、
（２）＝（Ⅱ）であって、
（Ⅱ）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
従って、
（04）（11）により、
（12）
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
に於いて、 （２）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
然るに、
（13）
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
１ （１）～∃ｘ（スニｘ＆男子ｘ） Ａ
１ （２）∀ｘ～（スニｘ＆男子ｘ） １量化子の関係
１ （３） ～（スニａ＆男子ａ） １ＵＥ
１ （４） ～スニａ∨～男子ａ ３ド・モルガンの法則
１ （５） スニａ→～男子ａ ４含意の定義
（６）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（７） 男子ａ⇔～女子ａ ６ＵＥ
（８） ～男子ａ→ 女子ａ ７＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
９（９） スニａ Ａ
１９（ア） ～男子ａ ５９ＭＰＰ
１９（イ） 女子ａ ８アＭＰＰ
１ （ウ） スニａ→ 女子ａ ９イＣＰ
１ （エ）∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） ウＵＩ
（Ｂ）スニーカーを履いている子は、みんな女子です。
１ （１）∀ｘ（スニｘ→ 女子ｘ） Ａ
１ （２） スニａ→ 女子ａ １ＵＩ
（３）∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ） 公理
（４） 男子ａ⇔～女子ａ ３ＵＥ
（５） 男子ａ→～女子ａ ４＆Ｅ（Ｄｆ.⇔）
６ （６） 女子ａ Ａ
６ （７） ～～女子ａ ６ＤＮ
６ （８） ～男子ａ ５７ＭＴＴ
（９） 女子ａ→～男子ａ ６８ＣＰ
ア（ア） スニａ Ａ
１ ア（イ） 女子ａ ２アＭＰＰ
１ ア（ウ） ～男子ａ ９イＭＰＰ
１ （エ） スニａ→～男子ａ アウＣＰ
１ （オ） ～スニａ∨～男子ａ エ含意の定義
１ （カ） ～（スニａ＆男子ａ） オ、ド・モルガンの法則
１ （キ）∀ｘ～（スニｘ＆男子ｘ） カＵＩ
１ （ク）～∃ｘ（スニｘ＆男子ｘ） キ、量化子の関係
従って、
（13）により、
（14）
（β）～∃ｘ（スニｘ＆男子ｘ）
（Ｂ） ∀ｘ（スニｘ→女子ｘ）
に於いて、すなわち、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（Ｂ）スニーカーを履いている子は、みんな女子です。
に於いて、
（β）＝（Ｂ）である。
然るに、
（15）
（Ｂ）スニーカーを履いている子は、みんな女子です。
というのであれば、
（３）帽子をかぶっていて、しかも「スニーカーを履いている子ども」は一人もいない。
ということは、
（３）帽子をかぶっていて、しかも「女の子である子ども」は一人もいない。
ということに、「他ならない」。
然るに、
（16）
一々、「計算」はしないものの、
（３）帽子をかぶっていて、しかも「女の子である子ども」は一人もいない。
ということは、
（Ⅱ）帽子をかぶっている子はみんな男の子です。
（〃）∀ｘ（帽子ｘ→男子ｘ）
ということに、「他ならない」。
従って、
（12）～（16）により、
（17）
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
に於いて、 （２）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
というだけでなく、
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（３）帽子をかぶっていて、しかも「スニーカーを履いている子ども」は一人もいない。
（３）は（１）の「逆」であるが、「逆は必ずしも、〇（真）ではない」。
従って、
（04）（05）（06）（17）により、
（18）
もう一度、確認すると、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（Γ）男子ならば、そのときに限って、女子ではない。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
という「日本語」は、それぞれ、
（α） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。
（β）～∃ｘ（スニｘ＆ 男子ｘ）。
（Γ） ∀ｘ（男子ｘ⇔～女子ｘ）。
（１） ∀ｘ（男子ｘ→ 帽子ｘ）。
（２）～∃ｘ（帽子ｘ＆ 女子ｘ）。
（３）～∃ｘ（帽子ｘ＆ スニｘ）。
という「述語論理式」に「相当」し、それ故、
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
に於いて、
（α）と（１）は「対偶」であり、
（１）と（２）は「 逆 」であり、
（１）と（３）も「 逆 」であり、そのため、
（１）〇
（２）✕
（３）✕
である。
（01）（18）により、
（19）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
（α）帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
（β）スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
正しいのは（１）のみです。
といふ「問題」は、「述語論理」によって、「解答」可能である。
然るに、
（20）
（述語）論理式にはこれまで述べたように、厳密な（形式的な）意味論が与えられるから、自然言語文も、翻訳を介して意味論に法っとった解釈が与えられ、したがって、間接的であるが、自然言語に意味論が与えられることになる（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、１６７頁）。
（21）
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを覚えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました。けれど、その手法は何度試みても失敗を繰り返しました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
従って、
（19）（20）（21）により、
（22）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
というような「問題」を、「生成ＡＩ」は、「（述語）論理式」を用いて、「解答」することは、出来ない。
（01）
問題 次の報告から確実に正しいと言えることには〇を、そうでないないものには✕を、左側の空欄に記入して下さい。
公園に子どもたちが集まっています。
男の子も女の子もいます。
帽子をかぶっていない子どもは、みんな女の子です。そして、
スニーカーを履いている男の子は一人もいません。
（１）男の子はみんな帽子をかぶっている。
（２）帽子をかぶっている女の子はいない。
（３）帽子をかぶっていて、しかもスニーカーを履いている子どもは一人もいない。
正しいのは（１）のみです。
（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１８２頁）。
従って、
（01）により、
（02）
「教科書が読めない子供たち」によると、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。従って、
（ⅱ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、「妥当」である。
然るに、
（03）
１ （１） ∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ） Ａ
２ （２） ∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） Ａ
３ （３） ～∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） Ａ
１ （４） ～帽子ａ→女子ａ １ＵＥ
２ （５） 女子ａ→～男子ａ ２ＵＥ
３ （６） ∃ｘ～（男子ｘ→帽子ｘ） ３量化子の関係
７（７） ～（男子ａ→帽子ａ） Ａ
７（８） ～（～男子ａ∨帽子ａ） ７含意の定義
７（９） 男子ａ＆～帽子ａ ８ド・モルガンの法則
７（ア） ～帽子ａ ９＆Ｅ
１ ７（イ） 女子ａ ４アＭＰＰ
１２ ７（ウ） ～男子ａ ５イＭＰＰ
１２ ７（エ） 男子ａ ９＆Ｅ
１２ ７（オ） 男子ａ＆～男子ａ イウ＆Ｉ
１ ７（カ）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） ２オＲＡＡ
１ ３ （キ）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） ３７カＥＥ
１２３ （ク）～∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ）＆
∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ） ２キ＆Ｉ
１２ （ケ）～～∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） ３クＲＡＡ
１２ （コ） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ） ケＤＮ
従って、
（03）により、
（04）
（ⅰ）∀ｘ（～帽子ｘ→女子ｘ）。然るに、
（ⅱ）∀ｘ（女子ｘ→～男子ｘ）。従って、
（ⅲ） ∀ｘ（男子ｘ→帽子ｘ）。
という『推論』、すなはち、
（ⅰ）すべてのｘについて（ｘが帽子をかぶっていないならば、ｘは女子である）。然るに、
（ⅱ）すべてのｘについて（ｘが女子であるならば、ｘは男子ではない）。従って、
（ⅲ）すべてのｘについて（ｘが男子であるならば、ｘは帽子をかぶっている）。
という『推論』、すなはち、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。然るに、
（ⅱ）女子であるならば、男子ではない。従って、
（ⅲ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、「妥当」である。
従って、
（04）により、
（05）
「述語論理」からすれば、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。然るに、
（ⅱ）女子であるならば、男子ではない。従って、
（ⅲ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、「妥当」であるが、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。従って、
（ⅲ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、「妥当」ではない。
従って、
（02）（05）により、
（06）
「述語論理」からすれば、
「ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年」による、
（ⅰ）帽子をかぶっていないならば、女子である。従って、
（ⅱ）男子であるならば、帽子をかぶっている。
という『推論』は、
（ⅱ）女子であるならば、男子ではない。
という「前提」が、「省略」されているため、「妥当」ではない。
従って、
（06）により、
（07）
「ＡＩ」に対して、
「述語論理」による『推論』をさせる場合は、
「ＡＩ」に対して、
「人間の５歳児には常識である」所の、
（ⅱ）女子であるならば、男子ではない。
という「常識」を、「予め、教えなければ、ならない」。
従って、
（07）により、
（08）
「生成ＡＩ」が、
「人間の５歳児なみに、賢くなる」ためには、
「生成ＡＩ」は、
「人間の５歳児なみの、常識を、獲得しなければ、ならない」。
然るに、
（09）
「人間の５歳児は、知らないことが多い」としても、
「人間の５歳児には、様々な、実体験が有り」、その一方で、
「人間の５歳児の知識としては、例えば、ウィキペディアから得たものは、ほとんど無い。」
従って、
（09）により、
（10）
「生成ＡＩ」が、
「人間の５歳児と同じように、賢くなること」は、「不可能」である。
（01）
「マイクロソフトのＡＩ」に「質問(兎は象ですか？)」をしたところ、「ＡＩ」は「パニック」を起こしたのか？？
然るに、
（02）
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを憶えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
然るに、
（03）
Ｐｒｏｌｏｇの文は「述語論理」にならって節（Ｃｌａｕｓｅ）と呼ぶことが多いのでここでも節と呼ぶことににします。一つの節は、一つの述語が、どういう場合に真になるかを記述しています。もっとも単純な例として、
ｆａｔｈｅｒ（ｍａｒｙ，ｈｅｎｒｙ）.
という節は、ｆａｔｈｅｒという述語がｍａｒｙ，ｈｅｎｒｙという引数に対して成立するということを表しています（淵一博 監修、第五世代コンピューター入門、1987年、１１頁）。
然るに、
（04）
第五世代コンピュータ（だいごせだいコンピュータ）計画とは、1982年から1992年にかけて日本の通商産業省（現経済産業省）所管の新世代コンピュータ技術開発機構（ICOT）が進めた国家プロジェクトで、いわゆる人工知能コンピュータの開発を目的に総額540億円の国家予算が投入された（ウィキペディア）。
従って、
（02）（03）（04）により、
（05）
「（統計的な手法が登場する以前の、）第五世代コンピュータ計画」の「時代」には、
１ （１） ∀ｘ｛象ｘ→∃ｙ（鼻ｙｘ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚｘ→～長ｚ）｝ Ａ
２ （２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
３ （３） ∃ｘ（象ｘ＆兎ｘ） Ａ
１ （４） 象ａ→∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） １ＵＥ
２ （５） 兎ａ→∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ２ＵＥ
６ （６） 象ａ＆兎ａ Ａ
６ （７） 象ａ ６＆Ｅ
６ （８） 兎ａ ６＆Ｅ
１ ６ （９） ∃ｙ（鼻ｙａ＆長ｙ）＆∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ４７ＭＰＰ
１ ６ （ア） ∀ｚ（～鼻ｚａ→～長ｚ） ９＆Ｅ
１ ６ （イ） ～鼻ｂａ→～長ｂ アＵＥ
２ ６ （ウ） ∃ｚ（耳ｚａ＆～鼻ｚａ＆長ｚ） ５８ＭＰＰ
エ （エ） 耳ｂａ＆～鼻ｂａ＆長ｂ Ａ
エ （オ） ～鼻ｂａ エ＆Ｅ
エ （カ） 長ｂ エ＆Ｅ
１ ６エ （キ） ～長ｂ イオＭＰＰ
１ ６エ （ク） 長ｂ＆～長ｂ カキ＆Ｉ
１２ ６ （ケ） 長ｂ＆～長ｂ ウエクＥＥ
１２３ （コ） 長ｂ＆～長ｂ ３６ケＥＥ
１２ （サ）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） ３コＲＡＡ
シ （シ） ～（象ａ→～兎ａ） Ａ
シ （ス） ～（～象ａ∨～兎ａ） シ含意の定義
シ （セ） 象ａ＆ 兎ａ ス、ド・モルガンの法則
シ （ソ） ∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） セＥＩ
１２ シ （タ）～∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ）＆∃ｘ（象ｘ＆ 兎ｘ） サソ＆Ｉ
１２ （チ） ～～（象ａ→～兎ａ） シタＲＡＡ
１２ （ツ） （象ａ→～兎ａ） チＤＮ
テ（テ） 兎ａ Ａ
テ（ト） ～～兎ａ テＤＮ
１２ テ（ナ） ～象ａ ツトＭＴＴ
１２ （ニ） 兎ａ→～象ａ テナＣＰ
１２ （ヌ） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ニＵＩ
といふ「述語計算」を用ひて、「コンピューター」に対して、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎の耳は長いが、耳は鼻ではない。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（演繹）」をさせようとしてゐた。
然るに、
（05）により、
（06）
２（２） ∀ｘ｛兎ｘ→∃ｚ（耳ｚｘ＆～鼻ｚｘ＆長ｚ）｝ Ａ
から、 「～鼻ｚｘ（耳は鼻でない）」を「除いた」場合は、
１２（ヌ） ∀ｘ（兎ｘ→～象ｘ） ニＵＩ
１２（〃） 兎は象ではない。 ニＵＩ
といふ「結論」を得ることは、出来ない。
従って、
（05）（06）により、
（07）
（ⅱ）兎の耳は鼻ではない。
といふ「条件」が示されてはゐない。
といふ「理由」により、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（演繹）」は、「述語論理」としては、「間違ひ」である。
然るに、
（08）
（ⅱ）兎の耳は鼻ではない。
（〃）王様の耳はロバの耳である。
（〃）パンの耳は食べられる。
といふことは、「（一々、断らなくとも）、常識」である。
従って、
（08）～（08）により、
（09）
「人間」にではなく、
「第五世代コンピュータ」に対して、次に、
（ⅰ）ロバは耳が長い。然るに、
（ⅱ）王様は耳が短い。従って、
（ⅲ）王様はロバではない。
といふ「推論（演繹）」を行わせようとするならば、
（ⅱ）（童話の中では）王様の耳は長いこともあるが、
（〃）（童話の中でも）パンの耳は、王様の耳ではない。
といふこと、「その他」を、予め、「記述」をしておく「必要」が有る。
従って、
（02）（07）（08）（09）により、
（10）
「述語論理」を用ひて、
「第五世代コンピュータ」に対して、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（演繹）」を行はせようとすると、
「文法などの言葉のルール」の他に、「大量の常識」を、
「第五世代コンピュータ」に対して、「教へなければ、ならない」。
然るに、
（11）
国語はどう考えても正攻法でなんとかできるとは思えません。そこで国語チームが試みたのは、センター国語試験で最も配点の大きい傍線部分の問題に対し、文字の重複などごく表面的なことから選択肢を選ぶという「荒業」でした。単純に言うと、傍線のついている部分とその前の段落の文を取って来て、「『あ』という文字が何回、『山』という文字が何回」と同じ文字の数を数えて、選択肢のほうも同様に数えて、いちばん重複の多い選択肢を選ぶという方法を採用したのです。文の意味どころか、単語の意味も調べません（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、 新井紀子、2018年、１２４頁）。
然るに、
（12）
「グーグルのＡＩ」に「質問(兎は象ですか？)」をしたところ、
（13）
論理式にはこれまで述べたように、厳密な（形式的な）意味論が与えられるから、自然言語文も、翻訳を介して意味論に法っとった解釈が与えられ、したがって、間接的であるが、自然言語に意味論が与えられることになる（長尾真・淵一博、論理と意味、1983年、１６７頁）。
然るに、
（14）
他方、アメリカの企業は日本の失敗を学びました。論理的な手法で自動翻訳などのＡＩを開発することに見切りをつけ、統計的手法に梶を切り、グーグル翻訳やワトソンなどで成果を上げたのです（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、９０頁）。
然るに、
（15）
さて、統計的な手法が登場する以前、自然言語処理の技術を使う自動翻訳や質疑応答の分野では、研究者たちはＡＩに文法などの言葉のルールを覚えさせ、論理的、演繹的な手法で精度を上げようとしました。けれど、その手法は何度試みても失敗を繰り返しました（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、１２４頁）。
従って、
（02）（12）～（15）により、
（16）
①「論理」と「意味」による「ＡＩ技術」と、
②「統計的な手法」による、「ＡＩ技術」とが有って、
① では、「難しかった」、または、「成功」しなかった所の、
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論」は、
② では、「容易」である。
といふ、ことになる。
然るに、
（17）
言ふ迄も無く、「我々（人間）」は、「論理と意味」だけを用ひて、「推論（演繹）」をする。
従って、
（18）
（ⅰ）象は鼻が長い。然るに、
（ⅱ）兎は耳が長い。従って、
（ⅲ）兎は象ではない。
といふ「推論（演繹）」する際に、「我々（人間）」は、「統計的な手法」など、「用ひない」。
従って、
（19）
「ＡＩ」は、「我々（人間）のやうに、考へはしない」し、と言ふよりも、固より、 「ＡＩ」は、「何も考えてはいない！！」
然るに、
（20）
最近は、その努力を怠っているものの、私は、以前から、曾祖父のやうに、「漢文か書ける」ようになりたかったものの、その一方で、「ＡＩが発達すれば、人間が書かなくとも、ＡＩが漢文を書くようになる」のではと、思ってゐた。
然るに、
（21）
「漢文」には、「ネイティブ・ライター」はゐない上に、「（「東大合格を目指すＡＩ」にとって）さらに過酷な状況にあるのは古文や漢文です（ＡＩ vs. 教科書が読めない子供たち、新井紀子、2018年、８４頁）」といふこともあって、「もう一度、漢文の勉強を、趣味にしよう」と、思ってゐるが、このところ、「私も、いくらか、忙しい」。
（01）
― 次に示す通り、例へば、―
① Ｐ∨ Ｑ
② ￢Ｐ∧￢Ｑ
③ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ
④ ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）
⑤ ￢Ｐ∧ Ｑ∨￢Ｒ
⑥ ￢（ Ｐ∨￢Ｑ∧ Ｒ）
に於いて、
①＝② である。
③＝④ である。
⑤＝⑥ である。
（02）
（ⅰ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ Ａ
２ （２） ￢Ｐ∧￢Ｑ Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
２ （４） ￢Ｐ ２∧Ｅ
２３ （５） Ｐ∧￢Ｐ ３４∧Ｉ
３ （６）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ） ２５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
２ （８） ￢Ｑ ２∧Ｅ
２ ７（９） Ｑ∧￢Ｑ ７８∧Ｉ
７（ア）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ） ２９ＲＡＡ
１ （イ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ） １３６７ア∨Ｅ
（ⅱ）
１ （１）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ） Ａ
２ （２） ￢（Ｐ∨ Ｑ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
２３ （５） ￢（Ｐ∨ Ｑ）∧
（Ｐ∨ Ｑ） ２４∧Ｉ
２ （６） ￢Ｐ ３５ＲＡＡ
７（７） Ｑ Ａ
７（８） Ｐ∨ Ｑ ７∨Ｉ
２ ７（９） ￢（Ｐ∨ Ｑ）∧
（Ｐ∨ Ｑ） ２８∧Ｉ
２ （ア） ￢Ｑ ７９ＲＡＡ
２ （イ） ￢Ｐ∧￢Ｑ ６ア∧Ｉ
１２ （ウ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）∧
（￢Ｐ∧￢Ｑ） １イ∧Ｉ
１ （エ）￢￢（Ｐ∨ Ｑ） ２ウＲＡＡ
１ （オ） Ｐ∨ Ｑ エＤＮ
従って、
（02）により、
（03）
① Ｐ∨ Ｑ
② ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ）
により、
①＝② である（命題変数が２つである場合の、ド・モルガンの法則）。
（04）
（ⅲ）
１ （１） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ Ａ
２ （２） ￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ Ａ
１ （３） （Ｐ∨ Ｑ）∨Ｒ １結合法則
４ （４） （Ｐ∨ Ｑ） Ａ
５ （５） Ｐ Ａ
２ （６） ￢Ｐ ２∧Ｅ
２ ５ （７） Ｐ∧￢Ｐ ５６∧Ｉ
５ （８）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２７ＲＡＡ
９ （９） Ｑ Ａ
２ （ア） ￢Ｑ ２∧Ｅ
２ ９ （イ） Ｑ∧￢Ｑ ９ア∧Ｉ
９ （ウ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２９ＲＡＡ
４ （エ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ４５８９ウ∨Ｅ
オ（オ） Ｒ Ａ
２ （カ） ￢Ｒ ２∧Ｅ
２ オ（キ） Ｒ∧￢Ｒ オカ∧Ｉ
オ（ク）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２キＲＡＡ
１ （ケ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ３４エオク∨Ｅ
１２ （コ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）∧
（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２ケ∧Ｉ
１ （サ）￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） ２コＲＡＡ
（ⅳ）
１ （１） ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） Ａ
２ （２） ￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） Ａ
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨ Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ３４∨Ｉ
２３ （６） ￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）∧
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２５∧Ｉ
２ （７） ￢Ｐ ３６ＲＡＡ
８ （８） Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨ Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
２ ８ （イ） ￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）∧
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２ア∧Ｉ
２ （ウ） ￢Ｑ ８イ∧Ｉ
２ （エ） ￢Ｐ∧￢Ｑ ７ウ∧Ｉ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ ∨Ｉ
２ オ（ク） ￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ）∧
（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２キ∧Ｉ
２ （ケ） ￢Ｒ オクＲＡＡ
２ （コ） ￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ エケ∧Ｉ
１２ （サ） ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）∧
（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ） １コ∧Ｉ
１ （シ）￢￢（ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） ２サＲＡＡ
１ （ス） （ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ） シＤＮ
従って、
（04）により、
（05）
③ Ｐ∨ Ｑ∨ Ｒ
④ ￢（￢Ｐ∧￢Ｑ∧￢Ｒ）
に於いて、
③＝④ である（命題変数が３つである場合の、ド・モルガンの法則）。
然るに、
（06）
（ⅴ）
１ （１） ￢Ｐ∧ Ｑ ∨￢Ｒ Ａ
２ （２） Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ Ａ
１ （３） （￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ １結合法則
２ （４） （ Ｐ∨￢Ｑ）∧ Ｒ ２結合法則
５ （５） （￢Ｐ∧ Ｑ） Ａ
２ （６） （ Ｐ∨￢Ｑ） ４∧Ｅ
５ （７） ￢Ｐ ５∧Ｅ
８ （８） Ｐ Ａ
５８ （９） ￢Ｐ∧Ｐ ７８∧Ｉ
８ （ア）￢（￢Ｐ∧ Ｑ） ５９ＲＡＡ
５ （イ） Ｑ ５∧Ｅ
ウ （ウ） ￢Ｑ Ａ
５ ウ （エ） Ｑ∧￢Ｑ イウ∧Ｉ
ウ （オ）￢（￢Ｐ∧ Ｑ） ５エＲＡＡ
２ （カ）￢（￢Ｐ∧ Ｑ） ２８アウオ∨Ｅ
キ （キ） ￢Ｒ Ａ
２ （ク） Ｒ ４∧Ｅ
２ キ （ケ） ￢Ｒ∧Ｒ キク∧Ｉ
２ （コ） ￢￢Ｒ キケＤＮ
２ （サ） Ｒ コＤＮ
２ （シ）￢（￢Ｐ∧ Ｑ）∧ Ｒ カサ∧Ｉ
ス （ス） （￢Ｐ∧ Ｑ） Ａ（３の選言項左）
２ （セ）￢（￢Ｐ∧ Ｑ） シ∧Ｅ
２ ス （ソ） （￢Ｐ∧ Ｑ）∧
￢（￢Ｐ∧ Ｑ） スセ∧Ｉ
ス （タ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ２ソＲＡＡ
チ（チ） ￢Ｒ Ａ（３の選言項右）
２ （ツ） Ｒ シ∧Ｅ
２ チ（テ） ￢Ｒ∧Ｒ チツ∧Ｉ
チ（ト） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ２テＲＡＡ
１ （ナ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ３スタチト∨Ｅ
１２ （ニ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ）∧
（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ２ナ∧Ｉ
１ （ヌ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） ２ニＲＡＡ
（ⅵ）
１ （１） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） Ａ
１ （２） ￢（（Ｐ∨￢Ｑ）∧ Ｒ） １結合法則
３ （３） ￢（￢Ｐ∧ Ｑ ∨￢Ｒ） Ａ
３ （４）￢（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ） ３結合法則
５ （５） （￢Ｐ∧ Ｑ） Ａ
５ （６） （￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ ５∨Ｉ
３５ （７）￢（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ）∧
（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ） ４６∧Ｉ
３ （８） ￢（￢Ｐ∧ Ｑ） ５７ＲＡＡ
９ （９） ￢（Ｐ∨￢Ｑ） Ａ
ア （ア） Ｐ Ａ
ア （イ） Ｐ∨￢Ｑ ア∨Ｉ
９ア （ウ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ）∧
（Ｐ∨￢Ｑ） ９イ∧Ｉ
９ （エ） ￢Ｐ アウＲＡＡ
オ （オ） ￢Ｑ Ａ
オ （カ） Ｐ∨￢Ｑ オ∨Ｉ
９ オ （キ） ￢（Ｐ∨￢Ｑ）∧
（Ｐ∨￢Ｑ） ９カ∧Ｉ
９ （ク） ￢￢Ｑ オキＲＡＡ
９ （ケ） Ｑ クＤＮ
９ （コ） ￢Ｐ∧ Ｑ エケ∧Ｉ
３ ９ （サ） ￢（￢Ｐ∧ Ｑ）∧
（￢Ｐ∧ Ｑ） ８コ∧Ｉ
３ （シ） ￢￢（Ｐ∨￢Ｑ） ９サＲＡＡ
３ （ス） （Ｐ∨￢Ｑ） シＤＮ
セ （セ） ￢Ｒ Ａ
セ （ソ） （￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ セ∨Ｉ
３ セ （タ）￢（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ）∧
（（￢Ｐ∧ Ｑ）∨￢Ｒ ３ソ∧Ｉ
３ （チ） ￢￢Ｒ セタＲＡＡ
３ （ツ） Ｒ チＤＮ
３ （テ） （Ｐ∨￢Ｑ）∧ Ｒ スツ∧Ｉ
１３ （ト） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） １テ∧Ｉ
１ （ナ）￢￢（￢Ｐ∧ Ｑ ∨￢Ｒ） ３トＲＡＡ
１ （ニ） （￢Ｐ∧ Ｑ ∨￢Ｒ） ナＤＮ
従って、
（06）により、
（07）
⑤ ￢Ｐ∧ Ｑ∨￢Ｒ
⑥ ￢（ Ｐ∨￢Ｑ∧ Ｒ）
に於いて、
⑤＝⑥ である（命題変数が３つで、∨と∧が混在する場合のド・モルガンの法則）。
然るに、
（07）により、
（08）
特に、（ⅵ）の「計算」は、途中で、自分でも「何をやってゐるのか」分からなくなるくらひ、「メチャクチャ、めんどくさい」。
然るに、
（09）
（ⅵ）の「計算」も、「ド・モルガンの法則」を用ひて良いのであれば、
（ⅵ）
１ （１） ￢（Ｐ∨￢Ｑ ∧ Ｒ） Ａ
１ （２）￢（（Ｐ∨￢Ｑ）∧ Ｒ） １結合法則
１ （３） ￢（Ｐ∨￢Ｑ）∨￢Ｒ ２（２項によるド・モルガンの法則）
４ （４） ￢（Ｐ∨￢Ｑ） Ａ
４ （５） ￢Ｐ∧ Ｑ ４（２項によるド・モルガンの法則）
４ （６） ￢Ｐ∧ Ｑ∨ ￢Ｒ ５∨Ｉ
７ （７） ￢Ｒ Ａ
７ （８） ￢Ｐ∧ Ｑ∨ ￢Ｒ ７∨Ｉ
１ （９） ￢Ｐ∧ Ｑ∨ ￢Ｒ ３４６７８∨Ｅ
といふ具合に、「メチャクチャ、簡単である」。
（10）
― お知らせ ―
しばらく（１週間、あるいは、２週間、あるいは、３週間ほど？）、ブログを、休みます。
（01）
① （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｐである。
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
といふ「命題」に於いて、
① は、明らかに「真（トートロジー）」であるが、
② は、明らかに「偽（矛盾）」である（？？）。
然るに、
（02）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
（ⅰ）
１（１） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
１（５） Ｐ ４＆Ｅ
１（６） Ｑ ４＆Ｅ
１（７） ～Ｐ ３＆Ｅ
１（８） Ｐ＆～Ｐ ５７＆Ｉ
１（９） （Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ ６８＆Ｉ
（〃）
１（１） （Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ＆～Ｐ １＆Ｅ
１（３） Ｐ ２＆Ｅ
１（４） ～Ｐ ２＆Ｅ
１（５） Ｑ １＆Ｅ
１（６） Ｐ＆Ｑ ３５＆I
１（７） （Ｐ＆Ｑ）＆～Ｐ ４６＆I
１（８）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨ Ｐ｝ ７ド・モルガンの法則
１（９） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ｝ ８含意の定義
従って、
（02）により、
（03）
① （Ｐ＆Ｑ）→Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
①（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ
であるものの、
①（Ｐ＆～Ｐ）＆Ｑ
であれば、
①（矛盾）＆Ｑ
であって、
①（矛盾）＆Ｑ
は、「偽」である。
然るに、
（04）
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
（ⅱ）
１（１） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝ Ａ
１（２）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ｝ １含意の定義
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆ Ｐ ２ド・モルガンの法則
１（４） Ｐ＆Ｑ ３＆Ｅ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆Ｑ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３） （Ｐ＆Ｑ）＆ Ｐ １２＆Ｉ
１（４）～｛～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ｝ ３ド・モルガンの法則
１（５） ～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝ ４含意の定義
従って、
（04）により、
（05）
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
に対する「否定」を「計算」すると、
③ Ｐ＆Ｑ
であるものの、
③ Ｐ＆Ｑ
は、それ自体は、「真」でも、「偽」でもない。
然るに、
（04）により、
（06）
いづれにせよ、
② ～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝
③ Ｐ＆Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（06）により、
（07）
② ～～｛（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ｝
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
に於いて、
②＝③ である。
従って、
（07）により、
（08）
「二重否定律（ＤＮ）」により、
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
然るに、
（09）
（ⅲ）
１ （１）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
３（３） Ｑ Ａ
２３（４） Ｐ＆Ｑ ２３＆Ｉ
１２３（５）～（Ｐ＆Ｑ）＆
（Ｐ＆Ｑ） １３＆Ｉ
１２ （６） ～Ｑ ３５ＲＡＡ
１ （７） Ｐ→～Ｑ ２６ＣＰ
（ⅳ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ２６ＲＡＡ
従って、
（09）により、
（10）
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④ Ｐ→～Ｑ
に於いて、
③＝④ である。
従って、
（08）（09）（10）により、
（11）
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ ～（Ｐ＆Ｑ）
④ Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③＝④ である。
然るに、
（12）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ Ａ
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ ４∨Ｉ
６（６） ～Ｐ Ａ
６（７） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｐ ７∨Ｉ
１ （８）～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨～Ｐ∨ ～Ｑ ８交換法則
１ （ア）～Ｐ∨～Ｑ ９冪等律
１ （イ） Ｐ→～Ｑ ア含意の定義
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨～Ｑ １含意の定義
１ （３） ～Ｐ∨～Ｐ∨ ～Ｑ ２冪等律。
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ ３交換法則
１ （５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｐ ４結合法則
６ （６）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
６ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ６ド・モルガンの法則
６ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨ ～Ｐ ７∨Ｉ
９（９） ～Ｐ Ａ
９（ア）～（Ｐ＆Ｑ）∨ ～Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ） （Ｐ＆Ｑ）→ ～Ｐ ア含意の定義
従って、
（12）により、
（13）
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（14）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ Ａ
２ （２） Ｐ Ａ
２ （３） ～～Ｐ ２ＤＮ
１２ （４）～（Ｐ＆Ｑ） １３ＭＴＴ
１２ （５）～Ｐ∨～Ｑ ４ド・モルガンの法則
１２ （６） Ｐ→～Ｑ ５含意の定義
１ （７） Ｐ→（Ｐ→～Ｑ） ２６ＣＰ
８（８） Ｐ Ａ
１ ８（９） Ｐ→～Ｑ ７８ＭＰＰ
１ ８（ア） ～Ｑ ８９ＭＰＰ
１ （イ） Ｐ→～Ｑ ８アＣＰ
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
２ （２） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２ （３） Ｐ ２＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ １３ＭＰＰ
２ （５） Ｑ ２＆Ｅ
１２ （６） ～Ｑ＆Ｑ ４５＆Ｉ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ２６ＲＡＡ
１ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ ７∨Ｉ
１ （９） （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ ８含意の定義
従って、
（14）により、
（15）
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ Ｐ→～Ｑ
に於いて、
②＝③ は「対偶」である。
従って、
（12）（15）により、
（16）
（ⅱ）
１ （１） （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ Ａ
１ （２）～（Ｐ＆Ｑ）∨～Ｐ Ａ
３ （３）～（Ｐ＆Ｑ） Ａ
３ （４）～Ｐ∨～Ｑ ド・モルガンの法則
３ （５）～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ ４∨Ｉ
６（６） ～Ｐ Ａ
６（７） ～Ｐ∨～Ｑ∨～Ｐ ７∨Ｉ
１ （８）～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ １３５６７∨Ｅ
１ （９）～Ｐ∨～Ｐ∨ ～Ｑ ８交換法則
１ （ア）～Ｐ∨～Ｑ ９冪等律
１ （イ） Ｐ→～Ｑ ア含意の定義
（ⅲ）
１ （１） Ｐ→～Ｑ Ａ
１ （２） ～Ｐ∨～Ｑ １含意の定義
１ （３） ～Ｐ∨～Ｐ∨ ～Ｑ ２冪等律。
１ （４） ～Ｐ∨～Ｑ∨ ～Ｐ ３交換法則
１ （５）（～Ｐ∨～Ｑ）∨～Ｐ ４結合法則
６ （６）（～Ｐ∨～Ｑ） Ａ
６ （７）～（Ｐ＆Ｑ） ６ド・モルガンの法則
６ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨ ～Ｐ ７∨Ｉ
９（９） ～Ｐ Ａ
９（ア）～（Ｐ＆Ｑ）∨ ～Ｐ ９∨Ｉ
１ （イ） （Ｐ＆Ｑ）→ ～Ｐ ア含意の定義
といふ「計算」は、結局は、「対偶の計算」であった。
といふことになる。
従って、
（11）～（16）により、
（17）
いづれにせよ、
②（Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
③ Ｐ→～Ｑ
に於いて、すなはち、
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
③ Ｐであるならば、Ｑでない。
に於いて、
②＝③ である。
然るに、
（17）により、
（18）
③ Ｐであるならば、Ｑでない。
といふ「命題」は、言ふまでもなく、「矛盾」ではない。
従って、
（01）（18）により、
（19）
① （Ｐ＆Ｑ）→ Ｐ
② （Ｐ＆Ｑ）→～Ｐ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｐである。
② ＰであってＱであるならば、Ｐでない。
といふ「命題」に於いて、
① は、明らかに「真（トートロジー）」であるが、
② は、決して、「偽（矛盾）」ではない（！！）。
（01）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅲ
１（１） Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅳ
１ （１） Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１ （２） ～Ｑ １＆Ｅ
２（３） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２（４） Ｑ ３＆Ｅ
１２（５） ～Ｑ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆Ｑ） ２５ＲＡＡ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ７∨Ｉ
１ （９） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ８含意の定義
（ⅴ
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅵ
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｑ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅶ
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅷ
１ （１） ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１ （２） ～Ｑ １＆Ｅ
２（３） Ｐ＆ Ｑ Ａ
２（４） Ｑ ３＆Ｅ
１２（５） ～Ｑ＆Ｑ ３４＆Ｉ
１ （６）～（Ｐ＆Ｑ） ２５ＲＡＡ
１ （７）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ ６∨Ｉ
１ （８）～（Ｐ＆Ｑ）∨Ｑ∨Ｒ ７∨Ｉ
１ （９） Ｐ＆Ｑ→ Ｑ∨Ｒ ８含意の定義
従って、
（01）により、
（02）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
従って、
（01）（02）により、
（03）
① Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
といふ「論理式」、すなはち、
① ＰであってＱであるならば、Ｑであるか、または、Ｒである。
といふ「命題」は、
① 命題変数（Ｐ、Ｑ、Ｒ）の「真偽」に関はらず、「恒に真」である。
従って、
（03）により、
（04）
① Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
といふ「論理式」は、「恒真式（トートロジー）」である。
然るに、
（05）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、例へば、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ～（ Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）は、「ド・モルガンの法則」により、
⑥ （～Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）に、「等しい」。
然るに、
（06）
（ⅱ）
１（１）～Ｐ∨ ～Ｑ∨Ｒ Ａ
１（２）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） １結合法則
１（３） Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） ２含意の定義
（〃）
１（１） Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ） Ａ
１（２）～Ｐ∨（～Ｑ∨Ｒ） １含意の定義
１（３）～Ｐ∨ ～Ｑ∨Ｒ ２結合法則
従って、
（05）（06）により、
（07）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、例へば、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）は、「ド・モルガンの法則」により、
⑥ （ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）に、「等しく」、
⑥ （ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）は、「含意の定義」により、
⑥ ～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）に、「等しい」。
従って、
（07）により、
（08）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ
に於ける、
⑥ を「否定」すると、
⑥ ～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
であるため、「否定」をする前の、
⑥ 自体は、 「二重否定」により、
⑥ ～（～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
でなければ、ならない。
従って、
（02）（08）により、
（09）
この場合は、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ＆Ｑ→Ｑ∨Ｒ
のやうに、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ風には、ならずに、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ風に、なるに「違ひない」。
然るに、
（10）
（ⅰ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅱ）
１（１） Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３）～～Ｐ ２ＤＮ
１（４）～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
１（５）～～Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
１（６） ～Ｐ→Ｑ∨Ｒ ５∨Ｉ
（ⅲ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅳ）
１（１） Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） Ｐ １＆Ｅ
１（３）～～Ｐ ２ＤＮ
１（４）～～Ｐ∨Ｑ ３∨Ｉ
１（５）～～Ｐ∨Ｑ∨Ｒ ４∨Ｉ
１（６） ～Ｐ→Ｑ∨Ｒ ５∨Ｉ
（ⅴ）
１（１） ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅵ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ∨ Ｒ ２３ＭＰＰ
５ （５） ～Ｑ Ａ
１ （６） Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） ～Ｑ＆Ｑ ５６＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １７ＲＡＡ
９（９） Ｒ Ａ
１ （ア） ～Ｒ １＆Ｅ
１ ９（イ） Ｒ＆～Ｒ ９ア＆Ｉ
９（ウ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
１２ （エ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｅ
１２ （オ） （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） ２オＲＡＡ
（ⅶ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ Ａ
１（２） Ｒ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
（ⅷ）
１（１） ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ Ａ
１（２） ～Ｑ １＆Ｅ
１（３） ～Ｑ∨Ｒ ２∨Ｉ
１（４）～～Ｐ∨～Ｑ∨Ｒ ３∨Ｉ
１（５） ～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ ４含意の定義
従って、
（09）（10）により、
（11）
果たして、
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
である。
然るに、
（12）
（ⅵ）
１ （１） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ Ａ
２ （２） ～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ Ａ
１ （３） ～Ｐ １＆Ｅ
１２ （４） ～Ｑ∨ Ｒ ２３ＭＰＰ
５ （５） ～Ｑ Ａ
１ （６） Ｑ １＆Ｅ
１ ５ （７） ～Ｑ＆Ｑ ６７＆Ｉ
５ （８）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １７ＲＡＡ
９（９） Ｒ Ａ
１ （ア） ～Ｒ １＆Ｅ
１ ９（イ） Ｒ＆～Ｒ ９ア＆Ｉ
９（ウ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １イＲＡＡ
１２ （エ）～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） ４５８９ウ∨Ｉ
１２ （オ） （～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ）＆
～（～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ） １エ＆Ｉ
１ （カ）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） ２オＲＡＡ
（〃）
１ （１）～（～Ｐ→～Ｑ∨ Ｒ） Ａ
１ （２）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） １含意の定義
３ （３） Ｐ Ａ
３ （４） Ｐ∨～Ｑ ３∨Ｉ
３ （５） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ４∨Ｉ
１３ （６）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２５＆Ｉ
１ （７） ～Ｐ ５６ＲＡＡ
８ （８） ～Ｑ Ａ
８ （９） Ｐ∨～Ｑ ８∨Ｉ
８ （ア） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ９∨Ｉ
１ ８ （イ）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２ア＆Ｉ
１ （ウ） ～～Ｑ ８ＲＡＡ
１ （エ） Ｑ ウＤＮ
オ（オ） Ｒ Ａ
オ（カ） ～Ｑ∨ Ｒ オ∨Ｉ
オ（キ） Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ ∨Ｉ
１ オ（ク）～（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ）＆
（ Ｐ∨～Ｑ∨ Ｒ） ２キ＆Ｉ
１ （ケ） ～Ｒ オクＲＡＡ
１ （コ） ～Ｐ＆ Ｑ ７エ＆Ｉ
１ （サ） ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ ケコ＆Ｉ
従って、
（12）により、
（13）
⑥ ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
であるだけではなく、
⑥ ～Ｐ＆Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（～Ｐ→～Ｑ∨Ｒ）
である。
従って、
（11）（13）により、
（14）
① Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
② Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
③ Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
④ Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑤ ～Ｐ＆ Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑦ ～Ｐ＆～Ｑ＆ Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
⑧ ～Ｐ＆～Ｑ＆～Ｒ├ Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
である一方で、
⑥ ～Ｐ＆ Ｑ＆～Ｒ ┤├ ～（Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ））
であるため、
⑥ ～Ｐ→（～Ｑ∨Ｒ）
といふ「論理式」、
⑥ Ｐでないならば、Ｑでないか、または、Ｒである。
といふ「命題」は、
⑥ 命題変数（Ｐ、Ｑ、Ｒ）の「真偽」に関はらず、「恒に真」である。
といふことには、ならない。
従って、
（03）（14）により、
（15）
① ＰであってＱであるならば、Ｑであるか、または、Ｒである。
⑥ Ｐでないならば、Ｑでないか、または、Ｒである。
に於いて、
① は、「恒真式（トートロジー）」であって、
⑥ は、「恒真式（トートロジー）」ではない。