円の外部にある点Pから、その円への接線との交点の中点をQとする。Pが移動するときのQの軌跡

1.　まえがき

　円 x²+y²=1 の外部にある点 P(a,b) から、その円への接線との交点の中点をQとする。Pが
　　　　y=-x+1
　または
　　　　(x+1)²+(y+1)²=2
　を移動するとき、Qの軌跡を求めよという問題があった。

2.　中点Qの座標の計算

　指定の円上の点(x',y')を通る接線は
　　　　x'x+y' y=1
　これが、P(a,b)を通るから
　　　　ax'+by'=1・・・・・①
　　また 　y'=±√(1-x'²) だから
　　　　ax'±b√(1-x'²)=1 → (ax'-1)²=b²(1-x'²) → (a²+b²)x'²-2ax'+(1-b²)=0 → x'={a±√(a²+b²-1)}/(a²+b²)
　　ここで、x'の点は2つあるとき、その中点を (u,v) とすると
　　　　u=(x'₁+x'₂)/2=a/(a²+b²)・・・・②
　　となる。

　　①において、ax',by'は対称だから、中点 vは②において、a → b としたものになるから
　　　　v=b/(a²+b²)・・・・③
　　となる。

　　②③から
　　　　v/u=b/a , au+bv=1・・・・④
　　をえる。

3.　点Pの軌跡が y=-x+1のとき

　点Pは (a,b)=(x,1-x) だから、④で、a,bを消して
　　　　v/u=(1-x)/x=(1/x)-1 → x=1/((v/u)+1)=u/(u+v)
　　　　xu+(1-x)v=1
　となる。これらから、xを消すと
　　　　{u/(u+v)}u+{1-u/(u+v)}v=1 → u²+(u+v)v-uv=u+v → u²+v²-u-v=0
　　　→ (u-1/2)²+(v-1/2)²=1/2
　という円(の一部、元の円の内部のときは無い)になる。


4.　点Pの軌跡が (x+1)²+(y+1)²=2 のとき

　点Pは (a,b)=(x, -1±√{2-(x+1)²}) だから、同様に④から
　　　　v/u=b/a=[-1±√{2-(x+1)²}]/x・・・・・⑤
　　　　xu+{-1±√{2-(x+1)²}v=1
　これらから　{-1±√{2-(x+1)²}　を消すと
　　　　xu+xv²/u=1 → x=u/(u²+v²)・・・・・⑥

　また、⑤で±√ で整理して、2乗を取ると
　　　　(xv/u+1)²=2-(x+1)² → (v²/u²+1)x²+2(v/u+1)x=0
　　　→ x=0 or x=-2(v/u+1)/(v²/u²+1)=-2u(v+u)/(v²+u²)

　⑥と合わせると
　　　　u=0
　または u≠0 とすると
　　　　u/(u²+v²)=-2u(v+u)/(v²+u²) → v+u=0・・・・⑦

　ここで、②から、u=0 → 常に a=0 となるが、aは円の軌跡なので、aは常に0ではなく、
　u=0 は無い。したがって、解は⑦の直線(の一部)のみとなる。

以上