x-1/x+1/(x-1/x)=√(x+1/x)+1/√(x+1/x)・・・・・・①
の解を求める問題があった。
(x+1/x) にAM-GM不等式を使うと
右辺=√2+1/√(x+1/x) > 0・・・・・・・・・②
となる。
①で y=1/x と置くと
-{ y-1/y+1/(y-1/y) }=√(y+1/y)+1/√(y+1/y)・・・・・③
となる。ここで、①が解をもつとすれば③は
{ y-1/y+1/(y-1/y) }=√(y+1/y)+1/√(y+1/y)・・・・・③
も満たす。すなわち、これらの右辺は正でもあり負でもある。ところが②から右辺は正であることに
矛盾する。
ゆえに、①は解をもたない。
以上