微分方程式 (1+x²)y''+xy'=4y の一般解

微分方程式
　(1+x²)y''+xy'=4y
の一般解を求める問題があった。

両辺にy' を掛けてまとめると
　(1+x²)(y'²/2)'+xy'²=4(y²/2)'・・・・①
ここで
　{(1+x²)(y'²/2)}'=2x(y'²/2)+(1+x²)(y'²/2)'=xy'²+(1+x²)(y'²/2)'
だから①は
　{(1+x²)(y'²/2)}'=4(y²/2)'
積分すると
　(1+x²)(y'²/2)=4(y²/2)+A → (1+x²)y'²=4(y²+A)
→ y'=±2√{(y²+A)/(1+x²)}
ここで、A → 4Aとした。

さらに、
　y²+A≠0・・・・・②
とすると
→ dy/√(y²+A)=±2dx/√(x²+1)

積分して
　log|y+√(y²+A)|=±2log|x+√(x²+1)|+B
ここで、±e^B → B とすると

→ {y+√(y²+A)}/(x+√(x²+1))^(±2)=B　(B≠0)
→ y+√(y²+A)=B(x+√(x²+1))^(±2)
→ √(y²+A)=B(x+√(x²+1))^(±2)}-y
両辺を二乗して
→ -2yB(x+√(x²+1))^(±2)+B²(x+√(x²+1))^(±4)=A
→ y=-(A/2B)(x+√(x²+1))^(∓2)+(B/2)(x+√(x²+1))^(±2)

B → 2B , A → -4AB として
　y=A(x+√(x²+1))^(∓2)+B(x+√(x²+1))^(±2) (B≠0)・・・③
が解となる。

また、②から y=Aを元の式に入れると
　y=0
をえるが、これも解となるから③と合わせて、A,Bを任意定数として
１、2項は対称だから
　y=A(x+√(x²+1))²+B/(x+√(x²+1))²
が一般解となる。

以上

lim[n→∞] ∑[k=1,n] { (n+1)/(n+1+2k)-n/(n+2k) } =(log3)/2-1/3 の証明

　　lim _{n→ ∞} ∑_k=1 ⁿ  { (n+1)/(n+1+2k)-n/(n+2k) } = (log3)/2-1/3 
を証明する問題があった。

　　A_k=(n+1)/(n+1+2k)-n/(n+2k)
とすると
　　A_k=2k/{(n+1+2k)(n+2k)}
なので
　　2k/(n+1+2k)² < A_k < 2k/(n+2k)²　→ Σ 2k/(n+1+2k)² < Σ A_k < Σ 2k/(n+2k)²・・・・・①

このとき、右辺は
　　Σ 2k/(n+2k)² = (1/2)Σ (2k/n)/(1+2k/n)²・2/n
すなわち、区間 [0,2] をn等分して区間幅 2/n を加算したもので、その極限は
　　B=(1/2)∫₀² x/(1+x)² dx=(1/2)∫₀² {1/(1+x)-1/(1+x)²} dx
　 　=(1/2)[ log(1+x)+1/(1+x) ]²₀ =(1/2)[log3+1/3-1]
　 　=(1/2)(log3-2/3)・・・・・・②

また、①の左辺は
　　Σ_k=1 ⁿ  2k/(n+1+2k)²
　　= (1/2)Σ_k=1 ⁿ  (2k/(n+1))/(1+2k/(n+1))²・2/(n+1)
　　= (1/2)Σ_k=1 ⁿ⁺¹ (2k/(n+1))/(1+2k/(n+1))²・2/(n+1)
 　　　　　- (1/2)(2(n+1)/(n+1))/(1+2(n+1)/(n+1))²・2/(n+1)

ここで、最後の式の前者は、区間[0,2]を(n+1)等分した和で、この極限は②と同じ。最後の式の後者は
　　　- (1/2)(2(n+1)/(n+1))/(1+2(n+1)/(n+1))²・2/(n+1) = - 1/(1+2)²・2/(n+1)
　　　　→ 0 (n → ∞)
なので、①の左辺の極限は②と同じで
　　B≦Σ A_k≦B
となり、与式の極限は②のBとなる。

以上