1. まえがき
「数列 {An} (n≧1) が次を満たすとき、An≠0 を示せ」という問題があった。
An+2An=An+12 - 1 , A1=1 , A2≧2・・・・・①
当たり前のようだったが、とても面倒だった。ある回答を見て補足した。
2. 計算
つぎの命題を証明する。
An > 0 , An+1≧An+1 (n≧1)・・・・・②
n=1 のときの成立は自明。
n以下のとき、②の成立を仮定する。すると n-1 の時の関係
An-1 > 0 , An≧An-1+1
が満たされ、
An+1=(An2-1)/An-1 ≧(An+1)(An-1)/An-1 =(An+1)An-1 /An-1 =An +1 > 0
同様に②から
An+2=(An+12-1)/An =(An+1+1)(An+1-1)/An ≧(An+1 +1)An/An =An+1 +1
となる。したがって、①が n+1の時にも成り立ち、帰納法から、任意のnについて、①が
成立する。すなわち
An > 0 → An ≠ 0
を得る。
3. あとがき
実は、An=0 となる nが存在すれば、An+2 が定義できず、数列は存在しないから、An ≠ 0
とすることもできるが、身もふたもないので上の方法にした。
また、命題の中の一方だけを使っても、うまくいかず、２つまとめなければならなかった。
なお、①から An≧n が言える。
以上