正の実数x,y,zが x≦y≦z, 2(x+y+z)=3xyz, xy,yz,zxは自然数のときの解

正の実数 x, y, z が
　　x≦y≦z, 2(x+y+z)=3xyz・・・・・・①
を満たすときの x,y,z を求む。ただし、xy, yz, zx は自然数。

という少し、変わった問題があった。

両辺を xyz で割り、a=xy, c=yz, b=zx とおくと、与式は
　　1/a+1/b+1/c=3/2・・・・②
となる。さらに
　　xy≦zy → a≦c ,  xz≦yz → b≦c → a, b≦c・・・③
となり、②③を満たす整数問題となる。

また、①から
　　6x=3・2x≦2(x+y+z)=3xyz → 2≦yz=c・・・・・④
　　6z=3・2z≧2(x+y+z)=3xyz → 2≧xy=a・・・・・⑤
 となる。

すると、a=1,2 のみ調べればよい。

1.　a=2 のとき
　　1/2+1/b+1/c=3/2 → 1/b+1/2≧1/b+1/c=1 (④から) → b≦2
また
　　1/b<1/b+1/c=1 → b>1
したがって、b=2 のみとなる。
　　b=2 → 1/2+1/c=1 → c=2

2.　a=1 のとき
　　1/1+1/b+1/c=3/2 → 2/b≧1/b+1/c=1/2 (③から) → 2≧b
したがって
　　1/2+1/c≦1/b+1/c=1/2 → 1/c≦0 なので、これを満たす cは無い。

まとめると
　(a,b,c)=(2,2,2)
のみとなる。

すると
　a=b=c=xy=zx=yz=2 → x=y=z → x²=2
　→ x=y=z=√2

以上