2つの平面から等距離の点の集合

1.　まえがき

　2つの平面から等距離にある点の集合を求める問題があった。

2.　計算

　a,b,x,x₀をベクトルとし、c,dを定数とする。(x|y) を内積とすると、平面 (a|x)=c, (b|x)=d
　と点x₀との距離は公式より
　　　|(a|x₀)-c|/|a|, |(b|x₀)-d|/|b|
　となる。したがって、
　　　|(a|x₀)-c|/|a|=|(b|x₀)-d|/|b|
　がなりたつ。これは
　　　{(a|x₀)-c}/|a|=±{(b|x₀)-d}/|b| → (a/|a|∓b/|b||x₀)=c/|a|∓d/|b|
　となるから、x₀ → x として、つぎの平面となる。
　　　(a/|a|∓b/|b||x)=c/|a|∓d/|b| （複合同順）・・・・①



　2.1　a/|a|=b/|b| かつ c/|a|=d/|b| のとき（同一平面のとき）

　　(a|x)=c に平行な平面であればよいから
　　(a|x)=e (∀e) の平面

　2.2　a/|a|=b/|b| かつ c/|a|≠d/|b| のとき（平面が平行のとき）

　　①のマイナスは 0=c/|a|-d/|b| となって、成り立たないのでプラス符号の
　　　　2(a/|a||x)=c/|a|+d/|b| → (a|x)=(c+d|a|/|b|)/2
　　の平面。これは、２つの平面の間の中間にある。

　2.3　a/|a|≠b/|b| かつ c/|a|≠d/|b| のとき（平面が交差するとき）

　　①の2つの平面となる。
　　この２つの平面の法線ベクトルはそれぞれ
　　　　a/|a|+b/|b| , a/|a|-b/|b| 
　　だから、この内積を取ると
　　　　(a/|a|+b/|b| | a/|a|-b/|b|)=(a|a)/|a|²-(b|b)/|b|²=1-1=0
　　となり、この平面は直交している。

以上

正多面体（？）の重心から各頂点への距離が等しいこと

1.　まえがき

　ベクトル空間にN個の点 {r_i} があったとき、
　　　R=(Σ_i=1^N r_i )/N　・・・・・・・・①
　　　r_i^* =r_i-R　・・・・・・・・・・・②
　とおくとき、
　　　|r_i-r_j|=C (>0 の定数、i≠j)　・・・・③
　を満たすとき
　　　r_i^*=r_j^*　（r_i^*=|r_i^*|）・・・・・・・・・・・④
　が成立つことを示す問題があった。
　これは、正多面体（？）の重心 R から各頂点 r_i への距離 r_i^* が等しいことを示すもの
　となる。



2.　計算

　➁から簡単に
　　　r_i^*-r_j^* =r_i-r_j
　とわかるから、➂を使って
　　　C²=|r_i-r_j|²=(r_i-r_j)・(r_i-r_j)=(r_i^*-r_j^*)・(r_i^*-r_j^*) = r_i^*²+r_j^*²-2r_i^*・r_j^*　 (i≠j)
　　　 → r_i^*・r_j^* = (1/2)( r_i^*²+r_j^*²- C² )   (i≠j)  ・・・・・⑤
　また①②から
　　　Σ_i=1^N r_i^* = Σ_i=1^N r_i-Σ_i=1^N R=NR-RN=0
　すると
　　　r_i^*= -Σ_k=1^N[k≠i] r_k^*
　となる。
　　　r_i^*²=r_i^*・r_i^* =(Σ_k=1^N[k≠i] r_k^*)・(Σ_l=1^N[l≠i] r_l^*) = Σ_k=1^N[k≠i] Σ_l=1^N[l≠i] r_k^*・r_l^*
　 　　　  =Σ_k=1^N[k≠i] r_k^*² + ( Σ_k=1^N[k≠i] Σ_l=1^N[l≠i] )[k≠l] r_k^*・r_l^*
　このとき、右辺第２項で　k≠l　だから⑤により

　　　　　=Σ_k=1^N[k≠i] r_k^*² + (1/2){ ( Σ_k=1^N[k≠i]Σ_k=1^N[l≠i] )[k≠l] (r_k^*²+r_l^*²-C²) }
　　　　　=Σ_k=1^N[k≠i] |r_k^*|² + (1/2){ Σ_k=1^N[k≠i](Σ_k=1^N[l≠i,k≠l] r_k^*²)
　　　　　　　　+Σ_k=1^N[l≠i](Σ[k≠i,k≠l] r_l^*²) - Σ_k=1^N[k≠i](Σ[l≠i,k≠l] C² }

　　　　　=Σ_k=1^N[k≠i] r_k^*² + (1/2){ (N-2)Σ_k=1^N[k≠i] r_k^*²)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　+(N-2) Σ_k=1^N[l≠i] r_l^*² - (N-1)(N-2)C² }
　　　　　=Σ_k=1^N[k≠i] r_k^*² + (N-2)Σ_k=1^N[k≠i] r_k^*² - (N-1)(N-2)C²/2
　　　　　=(N-1)Σ_k=1^N[k≠i] r_k^*² - (N-1)(N-2)C²/2
　　　　　= -(N-1)r_i^*² + (N-1)Σ_k=1^N[k] r_k^*² - (N-1)(N-2)C²/2
　となり、r_i^*² をまとめると

　　　N r_i^*²=(N-1)Σ_k=1^N r_k^*² - (N-1)(N-2)C²/2
　となり、結局
　　　r_i^*²={ (N-1)/N }{ Σ_k=1^N r_k^*² - (N-2)C²/2 }　・・・・・・・・⑥
　となる。この右辺は i に無関係なので、左辺を i→j とすると
　　　r_i^*²=r_j^*²={ (N-1)/N }{ Σ_k=1^N r_k^*² - (N-2)C²/2 }
　　　→ r_i^*=r_j^*
　となり、➃を得る。

3.　あとがき

　なお、1、２、3次元のときは N=2,3,4 となり、⑥を用いると重心からの頂点への半径
　r_i^* を求めることができる。r_i^* は等しいから、r^* とすると
　　　r^*²={ (N-1)/N }{ Nr^*² - (N-2)C²/2 } = (N-1)r^*² - {(N-1)(N-2)/N}C²/2
　　　 → r^*=( √{(N-1)/2N} )C

　したがって、N=2,3,4 のとき、r^*=C/2, C/√3, (√(3/8))C となり、N → ∞ のとき、C/√2
　となる。

以上

２体運動(惑星運動)における速度の関係 Vx²+(Vy-eh/ℓ)²=(h/ℓ)²

1.　まえがき

　惑星運動が円錐曲線（角運動量 L≠0）のとき、直交座標系における惑星の速度 Vx, Vy に
　はつぎの関係があることを示す問題があった。
　　　　Vx²+(Vy-eh/ℓ)²=(h/ℓ)²
　計算はとても面倒だった。なお、記号の意味は下記の➀②のとおり。また、L≠0 なので、
　h, ℓ≠0 である。

2.　計算

　d/dtを「'」で書くと惑星運動は極座標系で
　　　　r=ℓ/(1+ecosθ)　・・・・・①
　　　　θ'=h/r²　・・・・・・・・②
　の関係がある。また
　　　　x=rcosθ, y=rsinθ　・・・・・・・・・・③
　だから①の右辺の分母を左辺に移して微分すると②➂から
　　　　r'(1+ecosθ)-resinθθ'=0 → r'ℓ/r-eyh/r²=0 → r'=(eh/ℓ)y/r　・・・・④
　➀の前者を微分して
　　　　Vx=r'cosθ-rsinθθ'=r'cosθ-yθ'
　　　　Vy=r'sinθ+rcosθθ'=r'sinθ+xθ'
　だから
　　　　Vx²=r'²cos²θ+y²θ'²-2r'ycosθθ'　・・・・・⑤
　　　　Vy²=r'²sin²θ+x²θ'²+2r'xsinθθ'　・・・・・⑥
　すると
　　　　(Vy-eh/ℓ)²=Vy²-2(eh/ℓ)Vy+(eh/ℓ)²
　　　　　　　　 =r'²sin²θ+x²θ'²+2r'xsinθθ'-2(eh/ℓ)(r'sinθ+xθ')+(eh/ℓ)²

　ここで、sin²θ+cos²θ=1, x²+y²=r², -ycosθ+xsinθ=0 を使うと
　　　　Vx²+{Vy-(eh/ℓ)}²
　　　　　　　=r'²+r²θ'²-2(eh/ℓ)(r'sinθ+xθ')+(eh/ℓ)² （さらに②➃を使って）
　　　　　　　=(eh/ℓ)²(y/r)²+r²(h/r²)²-2(eh/ℓ){ (eh/ℓ)(y/r)sinθ+xh/r² }+(eh/ℓ)²
　　　　　　　=(eh/ℓ)²sin²θ+h²/r²-2(eh/ℓ){ (eh/ℓ)sin²θ+xh/r² }+(eh/ℓ)²

　　　　　　　=-(eh/ℓ)²sin²θ+h²/r²-2(eh/ℓ)xh/r²+(eh/ℓ)²
　　　　　　　=(eh/ℓ)²(1-sin²θ)+h²/r²-2(eh/ℓ)xh/r² （①から）
　　　　　　　=(eh/ℓ)²cos²θ+h²/r²-2(eh²/ℓ)cosθ/r
　　　　　　　=(h/ℓ)²{ e²cos²θ+ℓ²/r²-2(eℓ)cosθ/r }

　　　　　　　=(h/ℓ)²{ ecosθ-ℓ/r }² （②から）
　　　　　　　=(h/ℓ)²{ ecosθ-(1+ecosθ) }² = (h/ℓ)²{-1}²
　　　　　　　=(h/ℓ)²
　となる。

3.　あとがき

　始め①は r+ex=ℓ だから、これを微分した　r'=-ex'=-eVx を⑤⑥の和に使うと
　　　　Vx²+Vy²=r'²+r²θ'² = e²Vx²+(h/r)² → (1-e²)Vx²+Vy²=(h/r)²
　となり、元々、胡散臭い思い込みがあって命題は嘘だと思った。しかし、Vx=0 または
　Vy=0 などの地点では成立するので、地道に計算して驚愕した。

以上