１. はじめに
級数の収束に対して、面白い設問があったので紹介する。級数
S=Σ({a^(1/n)}-1) 、a≧0
は
0≦a＜1 のとき、発散（-∞）
a=1 のとき、0に収束
a＞1 のとき、発散（+∞）
２. 証明
a=0 のとき、Sの発散（-∞）は明らか。
a=1 のとき、Sは 0に収束は明らか。
以後、a＞0 かつ a≠1、x≧0 とする。すると a^x＞0
f(x)=a^x=exp((log a)x) とする。
f'(x)=(log a)a^x, f"(x)=(log a)²a^x だから、ティラー展開して
f(x)=1+(log a)x+(log a)²x²a^(θx) ＞ 1+(log a)x (0＜θ＜1)
ここで、x=1/n として、
a^(1/n) - 1 ＞ (log a)(1/n) ・・・・・①
(1) a＞1 の時
(log a)＞0 だから、①を使って 、S ＞Σ(log a)(1/n)=(log a)Σ(1/n) → ∞
したがって、Sは発散。
(2) 0＜a＜1 の時
b=1/a とおくと、b＞1。 a^(1/n)＜1 だから、S＜0 なので、(-S)＞0 の評価をする。
-S= -Σ({(1/b)^(1/n)} - 1)= Σ({b^(1/n)} - 1)/b^(1/n)
＞ Σ({b^(1/n)} -1)/b = (1/b)Σ({b^(1/n)} -1)
途中で、bⁿ＞b＞1 → b＞b^(1/n) を使った。
ここで、最後の式は、(1) の結果を使用できて (-S)→∞となる。
つまり、S→ -∞ となり、発散する。
以上により、証明ができた。
３．別解
別解が載っていた。0＜a＜1 , a≠1 とする。
Σ[k=0,n-1] (a^(1/n))^k=( (a^{ (1/n) }^n - 1)/(a^(1/n) - 1)=(a-1)/(a^(1/n)-1)
ここで、a＞1 のとき、a^k ＜ a^n (k これは Σ[k=0,n-1] (a^(1/n))^k ＜ Σ[k=0,n-1] a = na
元の式に入れると (a^(1/n)-1) ＞ ((a-1)/a)/n
ここで注意は、(a^(1/n)-1) ＞0 , ((a-1)/a) ＞0 . 上の両辺にΣを取ると
Σ(1/n) → +∞ だから、与式は (+∞)に発散する。
次に、a＜1 のとき、a^(k/n) ＜ 1
これは Σ[k=0,n-1] (a^(1/n))^k < Σ[k=0,n-1] 1 = n
元の式に入れると (a^(1/n)-1) ＜ ((a-1)/n=(1-a)(-1/n)
ここで注意は、(a^(1/n)-1) ＜0 , (a-1)＜0 . 上の両辺にΣを取ると
Σ(-1/n) → -∞ だから、与式はは -∞に発散する。
以上
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