e^x上の任意の２つの点の法線の交点の作る集合

1.　まえがき

　e^x 上の異なる任意の２つの点の法線の交点の作る集合を求める問題があった。はじめは検討の余
　地もないほど面倒だと思った。

2.　計算

　(1) 交点の計算

　　法線の傾きは -e^-x だから、x=a,b での法線は
　　　　y=-e^-a(x-a)+e^a , y=-e^-b(x-b)+e^b ・・・・・①
　　その交点は
　　　　x=(ae^-a-be^-b)/(e^-a-e^-b)+(e^a-e^b)/(e^-a-e^-b)
　　　　　=a+(a-b)e^-b/(e^-a-e^-b)-e^a+b ・・・・・②
　　　　y=-e^-a { (a-b)e^-b/(e^-a-e^-b)-e^a+b }+e^a 
　　　　　=-(a-b)e^-a-b/(e^-a-e^-b)+e^a+e^b ・・・・③

　　この x,yの領域を調べればよい。aを固定して、bを変化させたときを考える。すると
　　　　x → -∞、y → +∞　(b → ±∞)
　　となり、x,y とも極値を持つ。そして、この領域は e^x の上側にあり、法線の傾きは負だから、
　　法線の下側で端点がある。それは、xの極大、yの極小になるから、②③を微分して
　　　　dx/db=(-1)e^-b/(e^-a-e^-b)+(a-b) { (-1)e^-b/(e^-a-e^-b)+e^-b(-1)e^-b/(e^-a-e^-b)² }-e^a+b=0

　　両辺を -e^-b/(e^-a-e^-b) で割って
　　　　1+(a-b){ 1+e^-b/(e^-a-e^-b) }-(e^-a-e^-b)e^a+2b=0・・・・・④

　　　　dy/db=e^-a-b/(e^-a-e^-b)-(a-b){ -e^-a-b/(e^-a-e^-b)+e^-a-b(-1)e^-b/(e^-a-e^-b)² }+e^b=0
　　両辺を e^-a-b/(e^-a-e^-b) で割って
　　　　1+(a-b){ 1+e^-b/(e^-a-e^-b) }+(e^-a-e^-b)e^a+2b=0・・・・・⑤
　　④⑤から
　　　　2(e^-a-e^-b)e^a+2b=0 → a=b
　　を得る。しかし、相異なる法線の交点なので、このとき、交点が存在するわけではない。

　(2) 交点の最下端の軌跡

　　すると②③から、法線の下部端はロピタルによって
　　　　(a-b)/(e^-a-e^-b) → -1/e^-b=-e^a ( b → a)
　　を使うと
　　　　x=a-1-e^2a ( < 0)
　　　　y=e^-a+2e^a ( > 0)・・・・・・⑥
　　となる。この曲線は交点の最下部の aのパラメータ表示で、図1,2 となる（図1,2の交点の詳
　　細が不明なので拡大したものが図3）。





　(3) 法線の包絡線

　　別の観点から、法線①の前者の包絡線を考える。①をaで微分した式は
　　　　0=e^-a(x-a)+e^-a+e^a → x=a-1-e^2a 
　　これを①に入れると
　　　　y=-a^-a(-1-e^2a)+e^a=e^-a+2e^a 
　　つまり、この包絡線は⑥と一致する。

　　これらの曲線は右下の特異点で上下に分かれている。この特異点は 　x=a-1-e^2a の極値
　　となるから
　　　　dx/da=0 → a=-(log2)/2=-0.346
　　　　x=-log2/2-1-1/2=-1.846 , y=√2+2/√2=2.828 (⑥に代入して)
　　となる。

　　すると、この曲線の上側、図１は a < -0.346 、下側が a > -0.346 の範囲となるから、包絡線
　　に接する法線は包絡線の接点で最下部となり、図3のようになる。

　(4) 求める交点の範囲

　　以上のことから、求める領域は上下の曲線に囲まれた部分になるといいたいが、a=b の場合
　　の⑥の交点は極限であり、実際は存在しないから、この領域から淵(境界)を取り除いたものに
　　なる。

以上

数列 a[n+1]=(1+1/n)(a[n]/2+1) , a₁=1 の収束の証明

1.　まえがき

　つぎの数列の収束を示す問題があった。
　　　　a_n+1=(1+1/n)(a_n/2+1) , a₁=1　・・・・・・・①
　(1+1/n) の扱いが面倒だった。

2.　収束の証明

　(1) a_n > 0 は自明。つまり下に有界。

　(2) まず
　　　　a₁=1 , a₂=3, a₃=3.75, a₄≒3.833, a₅≒3.646 , a₆≒3.29　・・・・②

　　つぎに、n≧2 とする。
　　　　a_n+1=(1+1/n)a_n/2+1+1/n
　　　　a_n=(1+1/(n-1))a_n-1/2+1+1/(n-1)
　　　　a_n+1-a_n=(1/2)(a_n-a_n-1)+(1/2){a_n/n-a_n-1/(n-1)}+{1/n - 1/(n-1)}
　　　　　　　=(1/2)(a_n-a_n-1)+{1/2(n-1)}(a_n-a_n-1)+(1/2){1/n - 1/(n-1)}a_n-1/{n(n-1)}
　　　　　　　=(1/2){1+1/(n-1)}(a_n-a_n-1)-{(1/2)/n(n-1)}a_n-1/{n(n-1)}
　　　　　　　< (1/2){1+1/(n-1)}(a_n-a_n-1)
　　このとき、1/(n-1)≦1 なので
　　　　　　　≦(1/2){1+1}(a_n-a_n-1)=a_n-a_n-1 

　　つまり、n≧2 のとき
　　　　a_n+1-a_n < a_n-a_n-1 　・・・・・③
　　となる。

　　ここで、n≧5 とし、②から n=5 のとき
　　　　a₅-a₄ < 0
　　となる。つぎに、n のとき、 a_n-a_n-1 < 0 と仮定すると、③から
　　　　a_n+1-a_n < 0　・・・・・④
　　をえる。したがって、帰納法により、n≧4 のとき、④が成立する。
　　つまり、a_n は単調減少。

　(3) したがって、１、2項から a_n は収束する。

3.　あとがき

　数列が収束すれば①において a_n → a とすれば
　　　　a=(1+0)(a/2+1) → a=2
　となる。

　なお、②から a₂=3 > 2 である。n≧2 のとき、a_n > 2 と仮定すると①から
　　　　a_n+1=(1+1/n)(a_n/2+1) > (1+0)(2/2+1) = 2
　となり、a_n+1 > 2 を得るから、帰納法によって、n≧2 のとき、
　　　　a_n > 2
　となる。

以上