１．まえがき
半径 Rの円リング上に電荷 q[C/m] が一様に分布している。このとき、円リング中心の電位を
求める問題があった。
２．計算
点電荷 Qによる電位で、電荷から Rだけ離れた位置の電位はよく知られたように
U=Q/4πε₀R
となる。
このとき、円リング状の線素 ds上の電荷 qds による円リング中心の電位は無限遠から円
の中心までの経路を考えると（例えば、図の(B') → (B) に向かう経路）
dU=qds/4πε₀R
となる。これを全周にわたって積分すると円リング上の電荷による中心の電位となるから
U=∲qds/4πε₀R=(q/4πε₀R)∲ds=(q/4πε₀R)2πR=q/2ε₀
となる。
1. まえがき
無限平面導体上に半球の突起部があるときの電界を問う問題があった。調べると下記の
書籍に解報が載っており、巧妙で面白いので紹介する。
2. 問題
図のように無限平面導体面の上に半径aの半球の突起部がある。導体は接地されている。
半球の中心Oを原点とする。Oから平面に対して垂直な距離dの位置に電荷qがあるとき
の電界を求める。このときは単純に鏡像法が使えない。
3. 計算
P点の球の鏡像点をP₁、電荷をq' とする。すると、
OP₁=a²/d , q'=-aq/d
となる。そして、P,P₁の鏡像をP', P₁' とすると
OP₁'=-a²/d , OP'=-d （電荷はそれぞれ、-q₁=+aq/d , -q）
となる。
このとき、P, P', P₁, P₁' の電荷にによ導体平面の電位が０になることはすぐわかる。問
題は半球面の電位がどうなるかである。ここで、PとP₁ の電荷による電位を考えると、
半球面で0になる。つぎに、P'とP₁' の電荷による半球面の電位も0になるから、これ等
を重ね合わせた電位も0になり、境界条件を満たし、これらの鏡像による電界が解とな
ることがわかる。
Qの座標(r,θ)の電界は、図のようにP, P', P₁, P₁' からの距離と角度をそれぞれ、s, s', s₁,s₁',
φ, φ', φ₁, φ₁' とすると
Ex=(q/4πε₀)[cosφ/s²-cosφ'/s'²-(a/d){cosφ₁/s₁²-cosφ₁'/s₁'²}]
Ey=(q/4πε₀)[sinφ/s²-sinφ'/s'²-(a/d){sinφ₁/s₁²-sinφ₁'/s₁'²}]
と書ける。このとき
s²=r²+d²-2drcosθ , rsinθ=s sinφ , s₁²=r²+(a²/d)²-2(a²/d)rcosθ , rsinθ=s₁sinφ₁
s'²=r²+d²+2drcosθ , rsinθ=s'sinφ' , s₁'²=r²+(a²/d)²+2(a²/d)rcosθ , rsinθ=s₁'sinφ₁'
となるが、これ以上は面倒なのでやめる。
4. 平面上の電界
例題にあるように、平面上の電界 Exを求めてみる。θ=±π/2（a≦r）なので
s=√(r²+d²) , cosφ=-d/s , s'=s , cosφ'=d/s
s₁=√(r²+(a²/d)²)=√(r²+(a⁴/d²)) , cosφ₁=-(a²/d)/s₁ , s₁'=s₁ , cosφ₁'=(a²/d)/s₁
なので
Ex=(q/4πε₀)[-d/s³-d/s³-(a/d)(a²/d){-1/s₁³-1/s₁³}]=-(q/2πε₀)[d/s³-(a³/d²)/s₁³]
=-(q/2πε₀)[d/(r²+d²)3/2-(a³/d²)/{r²+(a⁴/d²)}3/2] （a≦r）
となる。
5. 球面上の電界
面倒なので、球面の先端、r=a, θ=0 の場合のみ。すると
s=d-a , cosφ=-1 , s'=d+a , cosφ'=1
s₁=a-(a²/d)=(a/d)(d-a) , cosφ₁=1 , s₁'=a+a²/d=(a/d)(d+a) , cosφ₁'=1
なので
Ex=(q/4πε₀)[-1/s²-1/s'²-(a/d){1/s₁²-1/s₁'²}]
=(q/4πε₀)[-1/(d-a)²-1/(d+a)²-(a/d)(d/a)²{1/(d-a)²-1/(d+a)²}]
=-(q/4πε₀)[ { 2(d²+a²)+(d/a)4ad }/(d²-a²)² ]
=-(q/4πε₀)[ { 2(d²+a²)+4d² }/(d²-a²)² ]
=-(q/2πε₀)[ (3d²+a²)/(d²-a²)² ]
となる。
なお、上式で、a=0 と置くと、設定が特異的になり、平面の結果と合わない。
［参考書籍］
詳解 電磁気学演習 後藤憲一他 共立出版㈱ P117
以上
１.はじめに
下の書籍に静電シールドの計算が載っていた。内部が空洞の場合だったが内部の空洞に導体
がある場合も同様に内部に電界が無く等電位であることが導かれる（当然ともいえるが）。
２.計算
一般に、導体の内部電界と表面沿った電界（接線成分）は無い。電界があると自由電子が即
時に移動して、電界が0に打ち消すから。つまり、一つの導体はどこでも同電位である。
また、導体に与えられた電荷は互いに反発するので、外側の表面にしか存在できない。
導体Bの内面をS、Sを含む内部の領域をVとする。電位をΦとする。Sの面で ΦgradΦ の積分
を考える。ガウスの定理により
∫[S]Φ gradΦ・dS=∫[V]div(ΦgradΦ)dv =∫[V]{(gradΦ)²+Φ∇²Φ}dv・・・①
となる。最後の変形は、fをスカラ、Fをベクトルとして公式 div(fF)=grad f・F+fdivF
および、div(grad f)=∇²f を使った。
つぎに、電界 E=-grad Φおよび となる。ボアッソンの式 ∇²Φ=-ρ/ε₀ から、①は
∫[S]Φ E・dS=∫[V]{E² - Φρ/ε₀}dv・・・・②
となる。
これは、Sの表面は同電位だから左辺のΦは積分の外に出せる。すると∫[S]E・dS は、ガウ
スの法則により、内部の全電荷であるが、0であるから、左辺は0となる。
②の右辺２項の積分のうち導体AとSの間の空間部分では ρ=0だから積分は0である。導体A
での積分は、またΦは一定だから、積分の前に出せる。すると
∫[V]{Φρ/ε₀}dv=Φ∫[V]{ρ/ε₀}dv
となるが、当然導体Aの全電荷は0であり、この積分も0となる。従って②は
∫[V]E²=0
となるが、E²≧0 だから、常に、E=0 → E=0 となる。つまり、Sの内部に電界は無く、等電
位である。
以上の議論は、導体Bの内側に電荷がないこと以外、外部の条件は一切使用していない。
３.外面が球面の導体殻内の電荷による外部電界
導体球殻の内部の空間に電荷が分布している場合は球殻内面にある面電荷が分布して、電界
が決まる。その合計電荷は符号の正負以外、大きさは同じとなる。
例えば電荷が点電荷で、内面が球面の時は、鏡像法で内部の電界、内面の電荷分布が決まる。
問題は球殻外面である。もし、外面が球面で電荷が一様に分布（合計は内部空間の電荷合計
に等しい）しているとする。
すると、よく知られたように、この球面内部には電界は無い。つまり、これを上の内面の電
界に重ねても、電界の変更は全くない。つまり、静電界の解は一意であることがわかってい
るので、この状態が解となる。
すると、外部の電界は、この外面球に一様に分布した電荷によって決まる。内部の電荷は合
計0なので、外面球の中心に電荷が集中したときの電界になる。
４. 文献
物質の電磁気学 中山正敏 岩波書店
以上
１ まえがき
あるサイトにつぎの問題が載っていた。計算がちょっと変わっていたのが面白かった。
問 図のような半径Rの半球面殻に一様な面電荷σが分布しているときの、Z軸上の電界および
無限遠に対するポテンシャルを求めよ。
２ 電界の計算
半球面の点PをX-Y平面からの角度θで表す。Pからzまでの距離をrとする。X-Y平面に平行な微小
長さをdlとすると、P点の微小面Rdθdlの電荷はdq=σRdθdlとなる。この電荷によるZ軸上の電
界とZ軸とのなす角をφとする。すると、この電界のZ成分は(dq/(4πεr²))cosφとなる。この
電界はX-Y平面に平行な円周を考えると当然、X,Y方向はキャンセルして、Z成分のみとなる。
この電界のZ成分は、この円周上では一定なので、X-Y平面に平行な微小リングの長さを掛ける、
つまり dl→(2πRcosθ)として
dEz=(σ/(2εr²))R²cosφcosθdθとなる。
ここで、余弦定理より上の図のように
r²=R²+z²-2zRcos(π/2+θ)=R²+z²+2zRsinθ、cosφ=(z+Rsinθ)/r (z≧0)
r²=R²+z²-2(-z)Rcos(π/2-θ)=R²+z²+2zRsinθ、cosφ=(z+Rsinθ)/r(z＜0)
となる（cosφにより、z<0の場合もうまく、Ezの方向を現している）。これらより、
dEz=(σ/2ε) R²((z+Rsinθ)/r³)cosθdθ となり、これをθ=0～π/2で積分すればよい。
つぎに、r=√(R²+z²+2zRsinθ)と変数変換する。θ=0,π/2に対して、r=√(R²+z²)=a,
r=|R+z|=bとおく。rdr=zRcosθdθ、(r²-R²-z²)/(2z)=Rsinθだから
Ez=∫dEz=(σ/2ε)R∫[a,b]{1-(R²-z²)/r²}dr/(2z²)
=(σ/2ε)R/(2z²) [r+(R²-z²)/r][r=a,b]=(σ/2ε)R/(2z²){b-a+(R²-z²)(1/b-1/a)}
=(σ/2ε)R/(2z²){(b²+(R²-z²))/b –(a²+(R²-z²))/a}
=(σ/2ε)(R/z)²{(R+z)/|R+z|-R/√(R²+z²)}
となる。この式は、z=-R以外の実数で成立する。これをまとめると
Ez=(σ/2ε)(R/z)²{1-R/√(R²+z²)} (z＞-R)・・・・(1)
Ez=(σ/2ε)(R/z)²{-1-R/√(R²+z²)} (z＜-R)・・・・(2)
ただし、z=0のときはロピタルの定理で極限を取らねばならないが、z=0として積分しても求められ
Ez=σ/(4ε) (z=0)・・・・(3)
をえる。以下に、R=1としたときの電界と電位を図示した。
３ ポテンシャルの計算
3.1 z＞0のとき
(1)式から u=R/zと変数変換して
V=-∫[+∞,z]Ezdz=-(σ/2ε)∫[+∞,z](R/z)²{1-R/√(R²+z²)}dz・・・・(4)
=-(σ/2ε)∫[+0,R/z] u²{1-|u|/√(1+u²)}(-Rdu/u²)
=(σ/2ε)R∫[+0,R/z] (1-u/√(1+u²))du (z>0からu＞0なので |u|=u)
=(σ/2ε)R [u-√(1+u²)][u=+0,R/z]・・・・・・(5)
=(σ/2ε)R{R/z - √(1+(R/z)²) +1} ({}内は正)
となる。z=0のとき発散するが極限をとると{}内は1となり
V=(σ/2ε)R (z=+0)・・・・・(6)
となる。
3.2 0＞z＞-Rのとき
積分区間をz=+∞～+0とz=-0～zにわける。始めの区間の積分は(6)式であり、次の区間では
|u|=-uだから(5)式を調整して
V=(σ/2ε)R + (σ/2ε)R [u+√(1+u²)][u=-∞,R/z]・・・・(7)
=(σ/2ε)R + (σ/2ε)R{R/z+√(1+(R/z)²)}
=(σ/2ε)R{1 + R/z + √(1+(R/z)²)}
ここで、 lim[u→ -∞](u+√(1+u²))={-u²+(1+u²)}/{-u+√(1+u²)}=0 を使用した。
同様に、z=-0の極限では(6)式と同じ
V=(σ/2ε)R (z=-0)
となる。z=-R+0のときは
V=(σ/2ε)R√2 (z=-R+0)
3.3 z＜-Rのとき
このときは(2)式を(-∞,z)で積分する。(2)式と(7)式の後半を調整して
V=(σ/2ε)R [-u+√(1+u²)][u=-0,R/z]
=(σ/2ε)R{-R/z+√(1+(R/z)²) - 1} ({}内は正)
z=-R-0では
V=(σ/2ε)R√2 (z=-R-0)
となる。
以上