漸化式、a₁=2 , a[n+1]=2a[n]+2n²の解

漸化式、
　a₁=2 , a[n+1]=2a[n]+2n²
の解を求めよ。

　a[n]=2ⁿb[n]
とおくと与式は
　b[n+1]=b[n]+n²2⁻ⁿ
すると
　b[n]-b[n-1]=(n-1)²2⁻⁽ⁿ⁻¹⁾
・・・・
　b[3]-b[2]=2²2⁻²
　b[2]-b[1]=1²2⁻¹

辺々を加えて
　b[n]-b[1]=(n-1)²2⁻⁽ⁿ⁻¹⁾+(n-2)²2⁻⁽ⁿ⁻²⁾+…+2²2⁻²+1²2⁻¹

b[1]=1 だから元に戻して
　a[n]=(n-1)²2+(n-2)²2²+…+2²2⁽ⁿ⁻²⁾+2⁽ⁿ⁻¹⁾+2ⁿ
　　　=Σ[k=1,n-1] (n-k)²2^k + 2ⁿ
　　　=6(2ⁿ-1)-2n(n+2) + 2ⁿ
　　　=7・2ⁿ-6-2n(n+2)

展開して、各級数
　Σ[k=1,n-1] 2^k , Σ[k=1,n-1] k 2^k , Σ[k=1,n-1] k² 2^k
の和を取ればよいが、面倒すぎるので、Wolframより
　Σ[k=1,n-1] (n-k)² 2^k=6(2ⁿ-1)-2n(n+2)
を使った。

検算
　n　　漸化式　　　7・2ⁿ-6-2n(n+2)
　1　　　2　　　　　　　2
　2　　　6　　　　　　　6
　3　　  20　　　　　　  20
　4　　  58　　　　　　  58
　5　　 148　　　　　   148

以上

地球と宇宙船で年齢のやり取りをした時の結果

1.　まえがき

　次のような特殊相対論の面白い問題があった。

　慣性系Sの原点に静止したAがいる。BはS系で+x方向に速度 v=0.8c で運動するロケットに
　乗っている。Bが x=0 を通過したとき、共に20才であることを確認した。

　つぎに、Aが1年後、21才になった時、この歳 A₁=21 をBに向かって光通信した。Bはこ
　の信号を受けると当時に、自分の歳 A₂ をAに向かって光通信した。Bはこの信号を受け
　ると同時に、自分の歳 A₃ をBに向かって、光通信した。

　以上の手順を繰り返したときの一般項 A_n (n=1,2,…) を求めよ。

2.　計算

　慣性系S'はS系に対して、+x方向に速度 vを持つとし、BはS'系の原点にいるとする。そし
　て
　　　　β=v/c、γ=1/√(1-v²/c²)=1/√(1-β²)
　とする。

　S,S'系の時空をそれぞれ (x, t), (x',t') とする。nを奇数として、S系の時刻 t_n にAからBに向
　けて光を発射して、S系の時刻 t_n+1 にBに到達したとする。

　このとき、BのS系での座標を x_n+1 とする。すると
　　　　x_n+1=vt_n+1 
　　　　t_n+1=t_n+x_n+1/c=t_n+βt_n+1 → t_n+1=t_n/(1-β)
　すると
　　　　x_n+1=(v/(1-β))t_n

　この時、S'系の時刻は(返信してくるBの年齢)
　　　　t'_n+1=γ{ t_n+1-(β/c)x_n+1 }=γ{ t_n/(1-β)-(β/c)(v/(1-β))t_n }
　　　　　　=γ{ t_n/(1-β)}{1-(β/c)v }=γ(1+β)t_n =( √{(1+β)/(1-β)} )t_n 
　　　　　　=kt_n 
　ここで
　　　　k=√{(1+β)/(1-β)}=√(1.8/0.2)=3
　と置いた。

　Bは信号を受けると同時に(S系で時刻 t_n+1)、Aに向けて、返信するので、これが Aに届く、
　S系の時刻 t_n+2 は
　　　　t_n+2=t_n+1+x_n+1/c=t_n/(1-β)+(v/(1-β))t_n/c={(1+β)/(1-β)}t_n=k²t_n 
　まとめると
　　　　n:奇数
　　　　t'_n+1=kt_n 
　　　　t_n+2=k²t_n 
　ここで、t₁=1 (1年後なので、原点合わせから)となる。

　この数列 t_n は簡単に解けて
　　　　n:奇数
　　　　t_n=(k²)^(n-1)/2 t₁=k^(n-1)=3^(n-1) 
　　　　t'_n+1=(k²)^n/2=3ⁿ 
　により、順次時刻が決定される。

　これを A_n にすると、原点合わせの時、共に20歳だったから
　　　　n:奇数
　　　　A_n=t_n+20=3^(n-1)+20
　　　　A_n+1=t'_n+1+20=3ⁿ+20
　となるが、偶奇で分けずとも
　　　　A_n=t_n+20=3^(n-1)+20　(n=1,2,…)
　となる。

　実際の数値は
　　　A₁　A₂　A₃　A₄　 A₅　A₆
　A　21　　    29　      101
　B　　    23  　　 47　　   263

以上