1. まえがき
前に述べたようにパノフスキーに始まる起電力の誤りが広がっている。最近、グリフィ
スの電磁気学を見たが、パノフスキーの説明に似ているが、起電力と電界が区別されて
おり、何となく言わんとすることが理解できた。
また、オームの法則の一般化が述べられており、理解が深まった。
2. オームの法則の一般化
オームの法則は、導体（抵抗体）の電流密度、電気伝導率、電界を j, σ, E として
j=σE ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2.1)
と表されている。以前に述べたように、運動する導体棒では棒の速度をv、周囲の磁界を
B とすると
j=σ(E+v×B) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2.2)
となる。 したがって、この法則は形の変化しない基本法則ではないと思っていた。しか
し、グリフィスによると、導体中の単位電荷当たりに働く力を fとすれば、この法則は
j=σf ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2.3)
となる。つまり、電流は電荷に働く力によって（電荷が移動して）発生する。fはどんな
力でも構わないが、電磁気的な力であれば当然、f=E+v×B となるから、(2.2)が得られ、
オームの法則が一般化された。
なお、この法則は f があると電流が流れるという意味では無い（このように等号で結ば
れた法則の解釈は便利な時もあるので誤解されやすい）。つまり、抵抗に電流が流れて
いるとき、抵抗内部の単位電荷当たりに加わっている力の関係を示している。
また、よく知られたように、完全導体では、
f=j/σ → 0 (σ → ∞) ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2.4)
となる。したがって、完全導体に流れる電流は電荷保存則と回路を形成する素子の特性
によって決まる。
3. 起電力
これについても、パノフスキーと同様に
f=fs+E ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(2.5)
としている。起電力と電界の記号を分けただけ明確になっている（パノフスキーにも
説明は有ったと思うが、訳が悪いのか起電力の力は電界のような誤解を与えている）。
そして、起電力と回路の電界の場所を区別した説明もされているが、分かりにくい。さ
らに、理想電池には抵抗が無いから、完全導体の論理(2.4)を使って、fs=-E として、起
電力εと電圧Vの関係
V=-∫abE・dl=∫abfs・dl=∲fs・dl=ε
を導いている。この結果は正しいが、電池を抵抗とするモデルに違和感がある。本来、
オームの法則は電流が流れている時の法則であるが（理想）電池は電流に依存しない。
最初に電池のモデルがあって、現実的に内部抵抗を含むモデルを考えるという手順だと
思うのだが。
4. あとがき
上のように、電池を抵抗と見て議論すると形式的にはすっきり結論が得られるが、物理
的な意味はどうだろうか？ 以前に説明したように、起電力によって、分離した電荷に
より発生した電界と起電力が釣り合っている（電流の有無によらず）のが電池とした方
が分かり安いと思うのだが。
以上
[参考文献] 電磁気学Ⅰ、グリフィス、丸善出版、2019（原本 2017）
1. まえがき
前回、数列 an+1=2a+(1/an) , a₁=2a （a≠0）の問題について述べたが、もっと一般的な問
題があったのを思いだした。それは
an+1=A+(C/(B+an)) , a₁ > 0 （A, B≧0 ; C > 0, A+B > 0, n≧1） ・・・①
の収束を証明する問題だった。
2. 計算の方針
これも振動する数列であるが、前回のような手順を使うと計算が面倒になる。そこで、
載っていた書籍の方法（これも面倒ではあるが）に沿って行う。
3. 計算
3.1 数列の有界性
A, B≧0 ; a₁, C > 0 だから、帰納的に、
an > 0 ・・・・・・・・・・・・②
は自明。 すると C/(B+an) > 0 だから、an+1 > A となり、さらにこれを使うと
an+2=A+(C/(B+an+1)) < A+(C/(B+A))
となり、まとめると
A < an+2 < A+(C/(B+A))
を得る。したがって、極限の判定には n+2 → n と番号を付け替えれば
A < an < A+(C/(B+A)) (n≧1) ・・・・・③
としても一般性は失わない。つまり、an は有界である。
3.2 数列の単調性
この数列が x に収束すると仮定すると、an→x として x=A+C/(B+x)
→ x=( A-B+√{(A-B)²+4(AB+C)} )/2 を得る。勿論、収束すれば、その値は②から0以上
なので
x=( A-B+√{(A-B)²+4(AB+C)} )/2 (>0) ・・・・・・・・④
となる。なお
A < x < A+(C/(B+A)) ・・・・・・・・・・・・⑤
の範囲にあることは簡単に計算できる。
以上のことから、an+1=an となるのは an=x の時のみだから、
an≠x ならば、an+1≠an ・・・・・・・・・・・・⑥
である。
つぎに、この数列の性質を調べる。まず、C/(B+an-1)=an-A だから
an+1-an =C/(B+an)-C/(B+an-1)=C(an-1-an)/{ (B+an)(B+an-1) }
= -{ (an-A)/(B+an) }(an-an-1) ・・・・・・⑦
となる。ここで、➂から、{ }内は正である。同様に
an+2-an =C/(B+an+1)-C/(B+an-1)=C(an-1-an+1)/{ (B+an+1)(B+an-1) }
= -{ (an-A)/(B+an+1) }(an+1-an-1)
となる。この式をもう一段使って次数を下げると
an+2-an ={ (an-1-A)/(B+an) }{ (an-A)/(B+an+1) }(an-an-2) ・・・・⑧
を得る。同様に { }内は正である。さらに➆を使うと
an+2-an =(an+2-an+1)+(an+1-an)= -{ (an+1-A)/(B+an+1) }(an+1-an)+(an+1-an)
={ 1-(an+1-A)/(B+an+1) }(an+1-an) ・・・・・・・・・⑨
となる。A+B > 0、B+an > 0 だから、0 < (an+1-A)/(B+an+1) < 1 なので、{ }内も0より
大きく、1より小さい。
さて、an=x ならば、xに収束することは自明だから、⑥により a₁≠a₂の場合を調べれ
ばよい。そこで a₁ < a₂ と仮定すると⑨により、a₃ > a₁ となる。すると、⑧により、
an-an-2 > 0 と仮定すると、an+2-an > 0 がなりたち、帰納的に 任意の奇数nについて
an+2-an > 0 がなりたつ。つまり、単調増加数列となる。
さらに、a₁ < a₂ と⑦から、a₃-a₂ < 0 となり、⑨から、a₄-a₂ < 0 を得る。⑧により、
an-an-2 < 0 と仮定すると、an+2-an < 0 がなりたち、帰納的に 任意の偶数nについて
an+2-an < 0 がなりたつ。つまり、単調減少数列となる。
初期値が、a₁ > a₂ と仮定しても偶奇列によって、単調性の方向が異なるだけで同じ議
論ができる。いずれにしても、この数列は偶数列か奇数列に限ると単調数列であるこ
とがわかる。
3.3 収束値の唯一性
単調な有界数列は収束するから、奇数列と偶数列の極限値をそれぞれ、x,y とし①で
n → ∞（nは奇数または偶数）とすると
x=A+C/(B+y) , y=A+C/(B+x) ・・・・・・・・⑩
をえる。これから、
x-y=C{1/(B+y)-1/(B+x)}=C(x-y)/{(B+y)(B+x)} → (x-y){ 1-C/(B+y)(B+x) }=0 ・・・⑪
を得る。ここで⑩の前者を使うと
1-C/(B+y)(B+x)=1-(x-A)/(B+x)=(A+B)/(B+x)
となるが、A+B>0 だから、⑪を満たすものは x=y のみとなる。ゆえに、この数列はた
だ１つの値➃に収束する。
4. あとがき
A,B,a₁ の値についてはもう少し自由度がありそうだが面倒なのでやめる。
以上
1. まえがき
数列 an+1=2a+(1/an) , a₁=2a （a≠0）の収束を証明する問題があった。一般的な方法が
使えず、以前見知った方法をによった。
つまり、有界な振動数列の場合、この奇数列と偶数列に分けて考え、いずれもが単調数
列となるとき、収束が言える。
2. 準備計算
a < 0 のときは bn=-an と置くと元の数列は bn+1=2(-a)+(1/bn) , b₁=2(-a) （-a >0）とな
って a > 0 と仮定してもかまわない。
3. 計算
3.1 数列の有界性
a > 0 だから、帰納的に、
an > 0 ・・・・・・・・・・・・①
は自明。 また
an+2=2a+(1/an+1)=2a+1/(2a+1/an)=2a+an/(1+2aan) ・・・・②
であるが、２番目の式で 1/an+1>0、最後の式で、(1+2aan) > 2aan だから
2a < an+2 < 2a+(1/2a)
を得る。また、a₁=2a, a₂=2a+(1/2a) なので
2a≦an≦2a+(1/2a)
となる。つまり、an は有界である。
3.2 nの偶奇による数列の範囲
この数列が x に収束すると仮定すると、an→x として x=2a+1/x → x=a±√(a²+1) を
得る。ここで、
x=a+√(a²+1) ( > 0) ・・・・・・・・・・・③
x'=a-√(a²+1) ( < 0) ・・・・・・・・・・・④
とおく。勿論、収束すれば、その値は①から0以上なので x となり
2a < x < 2a+(1/2a) ・・・・・・・・・・・⑤
の範囲にあることは簡単に計算できる。そして、
an < x （nは奇数）・・・・・・・・・・⑥
an > x （nは偶数）・・・・・・・・・・⑦
を証明する。
まず、x=2a+1/x から
an+2 -x=2a-x+1/an+1=-1/x+1/an+1=-(an+1-x)/(xan+1)
となり、(an+1-x) にもう一段この式を使い次数を下げると
an+2 -x=-(an+1-x)/(xan+1)=(an-x)/(x²anan+1)
となる。すると an < x を仮定すると
an+2 -x < 0
をえる。⑤から a₁=2a < x であり、帰納的に、⑥を得る。つぎに、an > x と仮定する
と同様に an+2 -x > 0 が得られ、⑤から a₂=2a+(1/2a) > x なので、帰納的に⑦を得る。
3.3 数列の単調性と収束
まず②➂➃から
an+2 - an =2a+an/(1+2aan)-an =2a(1+2aan-an²)/(1+2aan)
=-2a(an-x)(an-x')/(1+2aan) ・・・・・⑧
となる。右辺で (an-x') > 0 だから、この式の正負は (an-x) によって決まる。nの偶奇に
よって、⑥⑦が成立つから、⑧は
an+2 - an > 0 （nは奇数） ⇒ 単調増加
an+2 - an < 0 （nは偶数） ⇒ 単調減少
を得る。
したがって、この数列の有界性と合わせて、an （nは奇数か偶数の場合）は収束する。
つぎに、nが偶奇の時の収束値をそれぞれ x, y とすると元の式で、nを奇数として
n → ∞ とすると
x=2a+1/y ・・・・・・・・・・・・・・・・⑨
nを偶数として n → ∞ とすると
y=2a+1/x
となるから、
(x-y)(1-1/xy)=0 ・・・・・・・・・・・・・・⑩
を得る。このとき⑨から
1-1/xy=1-(1/x)(x-2a)=2a/(x-2a)
となるかが、a>0 だから⑩の解は x=y しかない。ゆえに、この数列はただ１つの値➂
に収束する。
4. あとがき
振動数列の場合、収束値 xとの差が0になることで収束を調べる方法がある。
|an+1 -x|=|a-√(a²+1)+1/an|=|-1/{a+√(a²+1)}+1/an|=|-1/x+1/an|
=|an-x|/(xan)<(1/4a²)|an-x| <・・・< (1/4a²)ⁿ|a1-x| （x, an > 2a なので）
となるから、a > 1/2 ならば、an → x が言えるが、a≦1/2 の場合は分からない。
以上
1. まえがき
数学的帰納法にはいくつかのバリエーションがあるが、特に説明も無く自明と思ってい
た。ある所で疑問が投げられていたので改めて考えてみた。
2. 説明
2.1 基本形
数学的帰納法はよく知られたように、自然数nについての命題をP(n)とすると、「P(1)
の真を証明し、P(n)の真を仮定して、P(n+1)が真となることを証明すると、n≧1 につ
いてP(n)が真となる。」ことである。
2.2 バリエーション1
1以外から始める。
ほぼ自明だが、命題P(n)を使って、整数mを使って、新たな命題をQ(n)=P(n+m-1)とす
る。Q(n)に基本形を使えば、P(n)について、n≧mでP(n)の真を証明できる。
2.3 バリエーション2
P(1), P(2)の真を証明し、P(n),P(n+1)の真を仮定してP(n+2)の真を証明できれば、n≧1
についてP(n)は真となる。
Q(n)=P(n)かつP(n+1) とする。するとQ(1)つまり、P(1)かつP(2)を証明し、Q(n)つまり、
P(n),P(n+1)を仮定して、Q(n+1)つまり、P(n+1),P(n+2)を証明すれば、n≧1 でQ(n)つま
り、P(n),P(n+1)の真が言える。ここで、最後のP(n+1),P(n+2)の証明について、P(n+1)
は仮定に含まれているから、P(n+2)だけを証明すればよい。
2.4 バリエーション3
P(1)の真を証明し、m≦nのすべての自然数mについて、P(m)の真を仮定したとき、
P(n+1)の真を証明できれば、n≧1 についてP(n)は真となる。
この場合も、Q(n)=P(1)かつP(2)かつ・・・かつP(n)とすればよい。Q(n+1)の証明は
Q(n)の仮定がなされているので、P(n+1)の真のみ証明すればよい。
2.5 特殊な例
AM-GM不等式の証明に用いられていた方法で
(1) P(1) を証明
(2) P(n) → P(2n)を証明
(3) P(n) → P(n-1) を証明
するものである。P(n)の仮定により、P(2n)が証明されるが、(3)により、P(2n-1),
P(2n-2),・・・,P(n+1)が順次証明される。つまり、(2)(3)を合わせると P(n) → P(n+1)
が証明されたことになり、普通の帰納法と同じになる。
3. 例
3.1 チェビシェフの多項式（基本形）
命題：sin(nθ)はcosθの(n-1)次多項式とsinθの積で現せる。
証明：n=1は明らか。nのときの成立を仮定すると、公式
sin(n+1)θ=sin(nθ)cosθ+cos(nθ)sinθ とつぎの、3.2項の命題を使うと n+1 で
も成立つ。
3.2 チェビシェフの多項式（バリエーション2）
命題：cos(nθ)はcosθのn次多項式で現せる。
証明：n=1は明らか。n=2のとき、cos2θ=2cos²θ-1 から成立。公式
cosx+cosy=2cos{(x+y)/2}cos{(x-y)/2} においで、x=(n+2)θ、y=nθとする
と cos(n+2)θ=2cos{(n+1)θ}cosθ−cos(nθ) が成立する。したがって、n、n+1
で命題の成立を仮定すると n+2のときも成立する。
このパターンは、フィボナッチ数列の一般項の証明のように、３項間漸化式が与え
られている場合に使われる。
3.3 チェビシェフの多項式2（基本形の応用）
以下のように、3.1、と3.2項を同時に証明する方法もある。
n=1 のときは、cosθとsinθで自明。nのとき、命題の成立を仮定し、3.1、3.2項の結
果を使うと、n+1 で
cos((n+1)θ)=cos(nθ)cosθ - sin(nθ)sinθ
={cosθのn次式}cosθ-{cosθの(n-1)次式}sin²θ
={cosθの(n+1)次式}-{cosθの(n+1)次式}={cosθの(n+1)次式}
だから、n+1 のとき、3.2項が成立。
つぎに、
sin((n+1)θ)=sin(nθ)cosθ + cos(nθ)sinθ
={cosθ の(n-1)次式}sinθcosθ-{cosθ の n次式 }sinθ
={cosθ の n 次式 }sinθ.
だから、n+1 のときに、3.1項が成立。
以上
1. まえがき
z軸に+方向に流れる無限長直線電流 I の作る磁界において、Hφ=I/(2πr) は周知のように簡
単に求められるが、Hz=Hr=0 の理由は、当然のこととしてあまり述べられていない。
2. アンペールの法則による計算
この場合、円柱座標において、回転対称性から、Hφ は変数φによらないので、アンペール
の法則から簡単に
Hφ=I/(2πr)・・・・・・・・・・・・・・・①
が求まる。つぎに、z軸方向の並進対称性から、Hは変数 zによらないことを使って、z軸を
中心軸とする半径 r、長さ1の円柱面にガウスの法則を適用すると、S₁を円柱の側面、S₂、
S₃を端面として
0=∲H・dS=Hr(r)S₁+∫H・dS₂+∫H・dS₃=H(r)S₁+∫H・dS₂ -∫H・dS₂=Hr(r)S₁+0
となる。端面の積分では、Hは変数 zによらず、面ベクトルの方向は反対なのでS₂、S₃の積
分は相殺することを使った。したがって
Hr=0・・・・・・・・・・・・・・・・・・②
を得る。
つぎに、図のようにz軸に沿って、四角形を取り、②を使うと、アンペールの法則から
0=∲H・dl=Hz(r₁)-Hz(r₂) ・・・・・・・・・・③
となる。つまり、Hzは変数、r（勿論、z,φにも） に無関係となる。
このとき、r=∞で H=0だから、➂より、変数rに関係なく Hz=0 という議論を見かけるが
この前提の根拠が示されず無理がある。
ただ、Hz≠0 とするとz軸を中心とする長さ⊿Lの円柱を考えたとき、この空間に含まれる
磁気エネルギーは μ₀Hz² より大きくなるが、この円柱の体積は ∞になるからエネルギー
も ∞となる（Hφの分は有限となる）。しかし、このエネルギーの源は I⊿Lの有限だから
矛盾するので、Hz=0 しかない。
3. ビオ・サバールの法則による計算
ビオ・サバールの法則を使うと、①は計算から得られ、Hz=Hr=0 は自明である。
以上
[追加・訂正] 2021/3/8
４．無限直線電流の磁界では電流方向の成分が０の理由
無限直線電流や無限ソレノイドのの作る磁界について軸方向の磁界が０となることは当
たり前のこととしてほぼ議論されていない。ビオ・サバールの法則を使えば簡単自明だ
がマクスウェルの式(アンペルの法則)からは求めることが出ない。
上では、有限電流部分のエネルギーの発散を使ったが、この論理は誤りだった。という
のは半径 aの無限直線電流の外部磁界は H=I/2πr であり、単位長あたりの外部空間のエ
ネルギーは
W=(μ₀/2)∫a∞ H²(2πr)dr = (μ₀I²/4π)∫a∞ (1/r)dr =(μ₀I²/4π)[logr]∞a → ∞
となり、本筋の磁界部分でも発散していた。
この点につき長年疑問だったが、あるサイトで座標系の対称性を使って求められること
が示されていた。
つまり、座標系のとり方は人為的なものだから、空間反転 (x,y,z → -x',-y,-z')、すなわち、
右手系、左手系によらず物理法則の表現は変わらないという原理から、電磁気学では
E'=-E , B'=B・・・・・・①
の関係がある(理論電磁気学、砂川)。これを使うと、無限直線電流の場合、電流に平行
な磁界があるとすれば、座標を電流・磁界共に反転したことになり
B'//=-B//
となる。①から、B'//=B//でもあるから、B'//=B//=0 となる。
以上