ある線分とパラメータa,bで表される円があるとき、円が線分を含まないa,bの範囲

1.　まえがき

　点A(0,1)とB(1,1)を結ぶ線分をABとする。この線分が、円 x²+y²-2ax-2by-1=0 外部にある a,b
　の範囲を a-b平面に図示せよ、という問題があった。

2.　計算

　この円は
　　　　(x-a)²+(y-b)²=a²+b²+1
　であり、この中心は (a,b)、半径は √(a²+b²+1) となる。

　線分ABを (x,1) (0≦x≦1) とする。

　2.1　(a,b)が第1,2象限のとき (b≧0)

　　円の中心からA点(0,1)までの距離の２乗は、b≧0 から
　　　　(0-a)²+(1-b)²=a²+1-2b+b²≦a²+1+b²
　　なので、A点は円に含まれる (等号成立は b=0 のとき)。

　2.2　(a,b)が第3象限の時 (a≦0, b<0)

　　円の中心からABの1点(x,1) (0≦x≦1) までの距離の２乗は、a≦0, b<0 から
　　　　(x-a)²+(1-b)²=x²+2|a|x+a²+1+2|b|+b²≧a²+1+2|b|+b² > a²+1+b²
　　なので、ABの全体が円の半径外にある。

　2.3　(a,b)が第4象限の時 (a>0, b<0)

　　円の中心からABの1点(x,1) (0≦x≦1) までの距離の２乗は、から
　　　　(x-a)²+(1-b)²=x²-2ax+a²+1-2b+b²
　　なので、
　　　　x²-2ax-2b≦0・・・・・・①
　　となるxが存在すれば
　　　　(x-a)²+(1-b)²=x²-2ax+a²+1-2b+b²≦a²+1+b²
　　となって、ABの１部は円の半径内にある。

　　①を満たすには
　　　　x=a±√(a²+2b)
　　が存在することであり、まず、判別式
　　　　a²+2b≧0 → b≧-a²/2・・・・②
　　の必要がある。また、0≦x≦1 だから、上の x の小さい方が1以下で a > 0 , b < 0 だから
　　　　a-√(a²+2b)≦1 → a-1≦√(a²+2b)・・・・・③
　　となる。ただ、
　　　　a≦1・・・・・④
　　ならば、この関係は満たされている。つまり、条件は②のみとなる。a > 1 のとき③を2乗して
　　　　b≧-a+1/2・・・・・⑤
　　となるが、a > 1 のとき
　　　　-a+1/2>-a²/2
　　だから、⑤のみとなる。

　　まとめると、
　　　　(0< a≦1 かつ b≧-a²/2)　または　(a > 1 かつ b≧-a+1/2)
　　のとき、円はABの１部でも含む。

　　したがって、
　　　　(0 < a≦1 かつ b < -a²/2)  または  (a > 1 かつ b < -a+1/2)
　　のとき、ABは円の外にある。

　2.4　まとめ

　　ABが円の外にあるのは、a軸を除いた第3象限と第4象限の
　　　　0 < a≦1 かつ b < -a²/2
　　または
　　　　a > 1 かつ b < -a+1/2
　　の範囲となる。

　2.5　追記

　　4象限以外は簡単に検討できる方法が提示されていた。

　　円と直線 y=1 の交点 ABの範囲 0≦x≦1 となることを確かめればよい。交点は円で
　　y=1 とすれば
　　　　x²-2ax-2b=0
　　となる。この解は
　　　　x=a±√(a²+2b)・・・・・・⑥
　　である。

　　第1、2象限、b≧0 のとき、根号内は0以上で、①の解は存在し、√(a²+2b)≧|a| なので、
　　2根は正負となり、その間に必ず０となる点が存在する。これは点Aなので、これらの象
　　限は範囲外となる。

　　b=0 の時も、x=a±|a| となり、点A x=0 を必ず含む。

　　第３象限、a,b<0 のときは　√(a²+2b) < |a| なので、⑥は２つとも負なので、ABの範囲には
　　ない。また、a²+2b < 0 のときは、解自体が無く交点は無い。

以上

円の外部にある点Pから、その円への接線との交点の中点をQとする。Pが移動するときのQの軌跡

1.　まえがき

　円 x²+y²=1 の外部にある点 P(a,b) から、その円への接線との交点の中点をQとする。Pが
　　　　y=-x+1
　または
　　　　(x+1)²+(y+1)²=2
　を移動するとき、Qの軌跡を求めよという問題があった。

2.　中点Qの座標の計算

　指定の円上の点(x',y')を通る接線は
　　　　x'x+y' y=1
　これが、P(a,b)を通るから
　　　　ax'+by'=1・・・・・①
　　また 　y'=±√(1-x'²) だから
　　　　ax'±b√(1-x'²)=1 → (ax'-1)²=b²(1-x'²) → (a²+b²)x'²-2ax'+(1-b²)=0 → x'={a±√(a²+b²-1)}/(a²+b²)
　　ここで、x'の点は2つあるとき、その中点を (u,v) とすると
　　　　u=(x'₁+x'₂)/2=a/(a²+b²)・・・・②
　　となる。

　　①において、ax',by'は対称だから、中点 vは②において、a → b としたものになるから
　　　　v=b/(a²+b²)・・・・③
　　となる。

　　②③から
　　　　v/u=b/a , au+bv=1・・・・④
　　をえる。

3.　点Pの軌跡が y=-x+1のとき

　点Pは (a,b)=(x,1-x) だから、④で、a,bを消して
　　　　v/u=(1-x)/x=(1/x)-1 → x=1/((v/u)+1)=u/(u+v)
　　　　xu+(1-x)v=1
　となる。これらから、xを消すと
　　　　{u/(u+v)}u+{1-u/(u+v)}v=1 → u²+(u+v)v-uv=u+v → u²+v²-u-v=0
　　　→ (u-1/2)²+(v-1/2)²=1/2
　という円(の一部、元の円の内部のときは無い)になる。


4.　点Pの軌跡が (x+1)²+(y+1)²=2 のとき

　点Pは (a,b)=(x, -1±√{2-(x+1)²}) だから、同様に④から
　　　　v/u=b/a=[-1±√{2-(x+1)²}]/x・・・・・⑤
　　　　xu+{-1±√{2-(x+1)²}v=1
　これらから　{-1±√{2-(x+1)²}　を消すと
　　　　xu+xv²/u=1 → x=u/(u²+v²)・・・・・⑥

　また、⑤で±√ で整理して、2乗を取ると
　　　　(xv/u+1)²=2-(x+1)² → (v²/u²+1)x²+2(v/u+1)x=0
　　　→ x=0 or x=-2(v/u+1)/(v²/u²+1)=-2u(v+u)/(v²+u²)

　⑥と合わせると
　　　　u=0
　または u≠0 とすると
　　　　u/(u²+v²)=-2u(v+u)/(v²+u²) → v+u=0・・・・⑦

　ここで、②から、u=0 → 常に a=0 となるが、aは円の軌跡なので、aは常に0ではなく、
　u=0 は無い。したがって、解は⑦の直線(の一部)のみとなる。

以上