A=100!、B=50¹⁰⁰、C=2⁶⁰⁰ の大小を求めよ、という問題があった。
まず
C=2⁶⁰⁰=(2⁶)¹⁰⁰=64¹⁰⁰
だから
50¹⁰⁰ < 2⁶⁰⁰ → B < C
となる。つぎに
A=100!=(2・98)(3・97)・・・(49・51)(1・99・50・100)
≦{(2+98)/2}²{(3+97)/2}²・・・{(49+51)/2}²(50²・2・99) ・・・・ AM-GM不等式
< 50²50²・・・50²(50³・4) < (50²)⁴⁸50³50=50¹⁰⁰=B
→ A < B
したがって
100! < 50¹⁰⁰ < 2⁶⁰⁰
となる。
以上
