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特殊相対性理論・電磁気学・数学

物理の暗黒面や面白い問題など。

sin/cosを含む連立方程式の解法

2023-02-02 13:59:24 | 算数

1. まえがき

 次の問題があった。
   cosx+cos(x+y)=0・・・・①
   siny+cos(x+y)=0・・・・②
 を解け。

2. 計算

 x,y → x±2nπ, y±2mπ としても与式は変わらないので
   0≦ x,y < 2π
 の範囲としても一般性は失わない。

 両式から
   cosx=siny・・・・③
 ①は和積の公式から
   2cos(x+y/2)cos(y/2)=0
 したがって、
   x+y/2=π/2±nπ → x+y/2=π/2, 3π/2, 5π/2 (0~3πの範囲で) ・・・・・④
 または
   y/2=π/2±mπ → y=π・・・・⑤

 ④のときは③に入れて
   cosx=siny=sin(<π,3π,5π>-2x)=sin(2x)=2sinxcosx
       ・・・変な記号だが π,3π,5πのうちどれかと 2xの差
   → cosx(1-2sinx)=0 → cosx=0 or sinx=1/2 → x=π/2, 3π/2, π/6, 5π/6

 したがって、
 x=π/2 のとき
   y=<π,3π,5π>-2x=<π,3π,5π>-π=0 (0≦y < 2πの範囲で)
 x=3π/2 のとき
   y=<π,3π,5π>-2x=<π,3π,5π>-3π=0 (0≦y < 2πの範囲で)
 x=π/6 のとき
   y=<π,3π,5π>-π/3=2π/3
 x=5π/6 のとき
   y=<π,3π,5π>-5π/3=4π/3

 結局
   x=π/2, 3π/2 と y=0
 あるいは
   x=π/6, y=2π/3
 あるいは
   x=5π/6, y=4π/3
 の組み合わせ。

 つぎに、⑤のときも③にいれて
   cosx=siny=0 → x=π/2, 3π/2
 結局
   x=π/2, 3π/2
   y=π
 の組み合わせ。

 さらに、まとめると
   x=π/2, 3π/2 と y=0, π (x,yは任意の組み合わせ)
 あるいは
   x=π/6, y=2π/3
 あるいは
   x=5π/6, y=4π/3
 の組み合わせ。

以上


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