1. まえがき
次の問題があった。
cosx+cos(x+y)=0・・・・①
siny+cos(x+y)=0・・・・②
を解け。
2. 計算
x,y → x±2nπ, y±2mπ としても与式は変わらないので
0≦ x,y < 2π
の範囲としても一般性は失わない。
両式から
cosx=siny・・・・③
①は和積の公式から
2cos(x+y/2)cos(y/2)=0
したがって、
x+y/2=π/2±nπ → x+y/2=π/2, 3π/2, 5π/2 (0~3πの範囲で) ・・・・・④
または
y/2=π/2±mπ → y=π・・・・⑤
④のときは③に入れて
cosx=siny=sin(<π,3π,5π>-2x)=sin(2x)=2sinxcosx
・・・変な記号だが π,3π,5πのうちどれかと 2xの差
→ cosx(1-2sinx)=0 → cosx=0 or sinx=1/2 → x=π/2, 3π/2, π/6, 5π/6
したがって、
x=π/2 のとき
y=<π,3π,5π>-2x=<π,3π,5π>-π=0 (0≦y < 2πの範囲で)
x=3π/2 のとき
y=<π,3π,5π>-2x=<π,3π,5π>-3π=0 (0≦y < 2πの範囲で)
x=π/6 のとき
y=<π,3π,5π>-π/3=2π/3
x=5π/6 のとき
y=<π,3π,5π>-5π/3=4π/3
結局
x=π/2, 3π/2 と y=0
あるいは
x=π/6, y=2π/3
あるいは
x=5π/6, y=4π/3
の組み合わせ。
つぎに、⑤のときも③にいれて
cosx=siny=0 → x=π/2, 3π/2
結局
x=π/2, 3π/2
y=π
の組み合わせ。
さらに、まとめると
x=π/2, 3π/2 と y=0, π (x,yは任意の組み合わせ)
あるいは
x=π/6, y=2π/3
あるいは
x=5π/6, y=4π/3
の組み合わせ。
以上