x,y → 1 のとき、{ x(1-y^n)-y(1-x^n)-x^n+y^n }/{ (1-x)(1-y)(x-y) }の極限

x,y → 1 のとき、{ x(1-y^n)-y(1-x^n)-x^n+y^n }/{ (1-x)(1-y)(x-y) }の極限

u=x-1 , v=y-1 とおく。
するとu,v → 0
与式の分子、分母をA,B とすると
A=u-v-u(v+1)ⁿ+v(u+1)ⁿ
B=uv(u-v)

n=0 のとき、A=0 → A/B=0・・・・①
n=1 のとき、A=0 → A/B=0・・・・②
したがって、n≧2 とする。

A=u-v-uΣ[r=0,n] nCrv^r+vΣ[r=0,n] nCru^r
=u-v+Σ[r=0,n] nCr (vu^r-uv^r)
=u-v+Σ[r=0,n] nCr (vu^r-uv^r)
=u-v+(v-u)+n(vu-uv)+Σ[r=2,n] nCr (vu^r-uv^r)

=uvΣ[r=2,n] nCr (u^(r-1)-v^(r-1))
=(vu)Σ[r=1,n-1] nC(r+1) (u^r-v^r)

　ここで、r=1 のとき、u^r-v^r=u-v
r≧2 のとき、
　　u^r-v^r=(u-v){u^(r-1)+u^(r-2)v+u^(r-3)v²+･･･
　　　　　　　　+uv^(r-2)+v^(r-1)}
　だから
=(vu)(u-v){ nC₂・1+Σ[r=2,n-1] nC(r+1) {u^(r-1)+u^(r-2)v
　　　　　　　　+u^(r-3)v²+･･･+uv^(r-2)+v^(r-1)}
となり

A/B=nC₂+Σ[r=2,n-1] nC(r+1) {u^(r-1)+u^(r-2)v
　　　　　　　　+u^(r-3)v²+･･･+uv^(r-2)+v^(r-1)}
ここで u,v=0 とすると、Σ内の { } 内は０となるから

A/B → nC₂=n(n-1)/2
となる。

なお、この式は n=0,1 の結果①②も満たしている。

f(x,y)=(x²+y²)/(x-y) (x≠y) , f(x,y)=0 の (x,y)=(0,0) の連続性

f(x,y)=(x²+y²)/(x-y) (x≠y) , f(x,y)=0 (x=y) の連続性を調べる問題があった。

１．(x,y)=(0,0) のとき

　y=-x+x² とおくと、y=x は x=0 のみであり、x≠0 とする。すると x → 0 のとき
　　　f=(2x²-2x³+x⁴)/x²=2-2x+x² → 2 (≠0)
　なので、不連続。

２．x=y (≠0) のとき

　y=x+h とおき、h → 0 とすると
　　　f=(2x²+2hx+h²)/(-h)=2x²/h+2x+h → ±∞
　となり、不連続。

以上