x,y → 1 のとき、{ x(1-y^n)-y(1-x^n)-x^n+y^n }/{ (1-x)(1-y)(x-y) }の極限
u=x-1 , v=y-1 とおく。
するとu,v → 0
与式の分子、分母をA,B とすると
A=u-v-u(v+1)ⁿ+v(u+1)ⁿ
B=uv(u-v)
n=0 のとき、A=0 → A/B=0・・・・①
n=1 のとき、A=0 → A/B=0・・・・②
したがって、n≧2 とする。
A=u-v-uΣ[r=0,n] nCrv^r+vΣ[r=0,n] nCru^r
=u-v+Σ[r=0,n] nCr (vu^r-uv^r)
=u-v+Σ[r=0,n] nCr (vu^r-uv^r)
=u-v+(v-u)+n(vu-uv)+Σ[r=2,n] nCr (vu^r-uv^r)
=uvΣ[r=2,n] nCr (u^(r-1)-v^(r-1))
=(vu)Σ[r=1,n-1] nC(r+1) (u^r-v^r)
ここで、r=1 のとき、u^r-v^r=u-v
r≧2 のとき、
u^r-v^r=(u-v){u^(r-1)+u^(r-2)v+u^(r-3)v²+・・・
+uv^(r-2)+v^(r-1)}
だから
=(vu)(u-v){ nC₂・1+Σ[r=2,n-1] nC(r+1) {u^(r-1)+u^(r-2)v
+u^(r-3)v²+・・・+uv^(r-2)+v^(r-1)}
となり
A/B=nC₂+Σ[r=2,n-1] nC(r+1) {u^(r-1)+u^(r-2)v
+u^(r-3)v²+・・・+uv^(r-2)+v^(r-1)}
ここで u,v=0 とすると、Σ内の { } 内は0となるから
A/B → nC₂=n(n-1)/2
となる。
なお、この式は n=0,1 の結果①②も満たしている。
u=x-1 , v=y-1 とおく。
するとu,v → 0
与式の分子、分母をA,B とすると
A=u-v-u(v+1)ⁿ+v(u+1)ⁿ
B=uv(u-v)
n=0 のとき、A=0 → A/B=0・・・・①
n=1 のとき、A=0 → A/B=0・・・・②
したがって、n≧2 とする。
A=u-v-uΣ[r=0,n] nCrv^r+vΣ[r=0,n] nCru^r
=u-v+Σ[r=0,n] nCr (vu^r-uv^r)
=u-v+Σ[r=0,n] nCr (vu^r-uv^r)
=u-v+(v-u)+n(vu-uv)+Σ[r=2,n] nCr (vu^r-uv^r)
=uvΣ[r=2,n] nCr (u^(r-1)-v^(r-1))
=(vu)Σ[r=1,n-1] nC(r+1) (u^r-v^r)
ここで、r=1 のとき、u^r-v^r=u-v
r≧2 のとき、
u^r-v^r=(u-v){u^(r-1)+u^(r-2)v+u^(r-3)v²+・・・
+uv^(r-2)+v^(r-1)}
だから
=(vu)(u-v){ nC₂・1+Σ[r=2,n-1] nC(r+1) {u^(r-1)+u^(r-2)v
+u^(r-3)v²+・・・+uv^(r-2)+v^(r-1)}
となり
A/B=nC₂+Σ[r=2,n-1] nC(r+1) {u^(r-1)+u^(r-2)v
+u^(r-3)v²+・・・+uv^(r-2)+v^(r-1)}
ここで u,v=0 とすると、Σ内の { } 内は0となるから
A/B → nC₂=n(n-1)/2
となる。
なお、この式は n=0,1 の結果①②も満たしている。