半球面殻に一様な面電荷σが分布しているときの、Z軸上の電界と電位

１　まえがき

　あるサイトにつぎの問題が載っていた。計算がちょっと変わっていたのが面白かった。

　問　図のような半径Rの半球面殻に一様な面電荷σが分布しているときの、Z軸上の電界および
　　　無限遠に対するポテンシャルを求めよ。



２　電界の計算

　半球面の点PをX-Y平面からの角度θで表す。Pからzまでの距離をrとする。X-Y平面に平行な微小
　長さをdlとすると、P点の微小面Rdθdlの電荷はdq=σRdθdlとなる。この電荷によるZ軸上の電

　界とZ軸とのなす角をφとする。すると、この電界のZ成分は(dq/(4πεr²))cosφとなる。この
　電界はX-Y平面に平行な円周を考えると当然、X,Y方向はキャンセルして、Z成分のみとなる。

　この電界のZ成分は、この円周上では一定なので、X-Y平面に平行な微小リングの長さを掛ける、
　つまり dl→(2πRcosθ)として
　　　　dEz=(σ/(2εr²))R²cosφcosθdθとなる。

　ここで、余弦定理より上の図のように
　　　　r²=R²+z²-2zRcos(π/2+θ)=R²+z²+2zRsinθ、cosφ=(z+Rsinθ)/r (z≧0)
　　　　r²=R²+z²-2(-z)Rcos(π/2-θ)=R²+z²+2zRsinθ、cosφ=(z+Rsinθ)/r(z＜0)

　となる（cosφにより、z<0の場合もうまく、Ezの方向を現している）。これらより、
　dEz=(σ/2ε) R²((z+Rsinθ)/r³)cosθdθ となり、これをθ=0～π/2で積分すればよい。

　つぎに、r=√(R²+z²+2zRsinθ)と変数変換する。θ=0,π/2に対して、r=√(R²+z²)=a,
　r=|R+z|=bとおく。rdr=zRcosθdθ、(r²-R²-z²)/(2z)=Rsinθだから

　　　　Ez=∫dEz=(σ/2ε)R∫[a,b]{1-(R²-z²)/r²}dr/(2z²)
　　　　　=(σ/2ε)R/(2z²) [r+(R²-z²)/r][r=a,b]=(σ/2ε)R/(2z²){b-a+(R²-z²)(1/b-1/a)}

　　　　　=(σ/2ε)R/(2z²){(b²+(R²-z²))/b –(a²+(R²-z²))/a}
　　　　　=(σ/2ε)(R/z)²{(R+z)/|R+z|-R/√(R²+z²)}

　となる。この式は、z=-R以外の実数で成立する。これをまとめると
　　　　Ez=(σ/2ε)(R/z)²{1-R/√(R²+z²)}　 (z＞-R)・・・・(1)
　　　　Ez=(σ/2ε)(R/z)²{-1-R/√(R²+z²)}　(z＜-R)・・・・(2)

　ただし、z=0のときはロピタルの定理で極限を取らねばならないが、z=0として積分しても求められ
　　　　Ez=σ/(4ε) (z=0)・・・・(3)

　をえる。以下に、R=1としたときの電界と電位を図示した。



３　ポテンシャルの計算

　3.1 z＞0のとき

　　(1)式から u=R/zと変数変換して
　　　　　　V=-∫[+∞,z]Ezdz=-(σ/2ε)∫[+∞,z](R/z)²{1-R/√(R²+z²)}dz・・・・(4)
　　　　　　　=-(σ/2ε)∫[+0,R/z] u²{1-|u|/√(1+u²)}(-Rdu/u²)

　　　　　　　=(σ/2ε)R∫[+0,R/z] (1-u/√(1+u²))du (z>0からu＞0なので |u|=u)
　　　　　　　=(σ/2ε)R [u-√(1+u²)][u=+0,R/z]・・・・・・(5)

　　　　　　　=(σ/2ε)R{R/z - √(1+(R/z)²) +1} ({}内は正)

　　　となる。z=0のとき発散するが極限をとると{}内は1となり
　　　　　　V=(σ/2ε)R (z=+0)・・・・・(6)

　　　となる。

　3.2 0＞z＞-Rのとき

　　　積分区間をz=+∞～+0とz=-0～zにわける。始めの区間の積分は(6)式であり、次の区間では
　　　|u|=-uだから(5)式を調整して

　　　　　　V=(σ/2ε)R + (σ/2ε)R [u+√(1+u²)][u=-∞,R/z]・・・・(7)
　　　　　　　=(σ/2ε)R + (σ/2ε)R{R/z+√(1+(R/z)²)}
　　　　　　　=(σ/2ε)R{1 + R/z + √(1+(R/z)²)}

　　　ここで、 lim[u→ -∞](u+√(1+u²))={-u²+(1+u²)}/{-u+√(1+u²)}=0 を使用した。
　　　同様に、z=-0の極限では(6)式と同じ

　　　　　　V=(σ/2ε)R 　(z=-0)

　　　となる。z=-R+0のときは
　　　　　　V=(σ/2ε)R√2 (z=-R+0)

　3.3 z＜-Rのとき

　　　このときは(2)式を(-∞,z)で積分する。(2)式と(7)式の後半を調整して
　　　　　　V=(σ/2ε)R [-u+√(1+u²)][u=-0,R/z]
　　　　　　　=(σ/2ε)R{-R/z+√(1+(R/z)²) - 1} ({}内は正)
　　
　　　z=-R-0では
　　　　　　V=(σ/2ε)R√2 (z=-R-0)
　　　となる。



以上