１．まえがき
慶応大の問題。放物線 y=x²が、放物線 y=-x²の周囲を滑ることなく転がるとき、もとの放物
線に固定された点 (0,c) の軌跡を求む。解法が面白いので紹介する。
２．２つの図形が接線について対称になること
放物線PAをPB上を転がしてPA₁の位置に移動したとする。放物線PAに固定された点 (0,c) が
点Pに移動したとする。このとき、PAとPBの接点Aでの接線を ℓとすると、PAとPBは ℓに対
して対称になることを使えば、この問題は簡単に解ける。
点Aから各放物線の頂点O,O' までの長さは等しい。するとこの放物線を接線上を逆方向に転
がして、頂点が接する位置 O'', PA₂, PB₂まで戻す。すると、これらの放物線が接線について
対称であることがわかる。
３．計算
点A,Pの座標を (s,-s²)、(u,v)とする。すると 点Aの接線 ℓの式は
y+s²=-2s(x-s) → y=-2sx+s²
となる。２つの放物線が接線 ℓに対して対称だから、Pと(0,-c)を通る直線は ℓと直交し、そ
の傾きは 1/2s となるから、この直線の式は y=x/2s-c となり、(u,v)を通るから
v=u/2s-c → u-2sv=2sc
となる。また、Pと(0,-c)の中点は ℓ上にあるから
(v-c)/2=-2s(u/2)+s² → 2su+v=2s²+c
となる。この２式を u, vについて解くと
u=4s(s²+c)/(4s²+1) , v={2s²(1-2c)+c}/(4s²+1)
となる。
このとき、s → ∞ のとき、u～s , v → 1/2-c となる。つまり、PAの頂点のx座標は点Aより
＋側にはいかず、y座標は負にならない。
以上
不等式
(1/2)(3/4)(5/6)･･･{ (2n-1)/2n } < 1/√(3n)
を証明する問題があった。数学的帰納法を使ったがうまくいかない。
１．解
An=(1/2)(3/4)(5/6)･･･{ (2n-1)/2n }
とする。
0 < a < b → a/b < (a+1)/(b+1)
を使うと
An²=(1/2)(1/2)(3/4)(3/4)(5/6)(5/6)･･･{ (2n-1)/2n }{ (2n-1)/2n}
< (1/2)(2/3)(3/4)(4/5)(5/6)(6/7)･･･{ (2n-1)/2n }{ (2n)/(2n+1)}
=1/(2n+1) < 1/2n
したがって、
An < 1/√(2n)
はすぐわかる。
もう少し、変形して、n≧6 のとき
(An)²=(1/2)(1/2)(3/4)(3/4)(5/6)(5/6)･･･{ (2n-1)/2n }{ (2n-1)/2n}
={ (1/2)(3/4)(5/6)(7/8)(9/10) }² (11/12)(11/12)(13/14)･･･{ (2n-1)/2n }{ (2n)/(2n+1)}
< (1/2)(3/4)(5/6)(7/8)(9/10) }² (11/12)(12/13)(13/14)･･･{ (2n-1)/2n }{ (2n)/(2n+1)}
=(1/2)(3/4)(5/6)(7/8)(9/10) }² 11/(2n+1)
< (1/1.5)/(2n)=1/3n
したがって
An < 1/√(3n)
を得る。さらに
A₁=0.5 , 1/√3 > 0.57 → A₁ < 1/√3
A₂ < 0.38 , 1/√6 > 0.4 → A₂ < 1/√6
A₃ < 0.32 , 1/√9 > 0.34 → A₃ < 1/√9
A₄ < 0.274 , 1/√12 > 0.28 → A₄ < 1/√12
A₅ < 0.247 , 1/√15 > 0.25→ A₅ < 1/√15
よって、命題が証明された。
２．別解
An < 1/√(3n) ・・・・・・・①
の証明は難しいので
An≦1/√(3n+1) ・・・・・・②
を証明する回答ががあった。これを示せば上の成立は自明。
n=1 のとき、②は成立。nのとき、②の成立を仮定すると
A[n+1]=An(2n+1)/(2n+2)≦{ (2n+1)/(2n+2) }/√(3n+1)
となる。そこで
B={ (2n+1)/(2n+2) }/√(3n+1) - 1/√(3n+4)
={ (2n+1)√(3n+4)-(2n+2)√(3n+1) }/{√(3n+1)√(3n+4)}
を考える。この式の正負は分子の各項は正なので、２乗した差でも変わらないから
C=(2n+1)²(3n+4)-(2n+2)²(3n+1)=-n < 0 → B < 0
となり、結局
A[n+1]≦1/√(3n+4)
となり、帰納法により②、すなわち①が証明された。
以上
