級数和 Σ [√{(2k+1)/n} ]/n の極限を積分により求める

級数和
　　　lim [n→∞] Σ_k=0ⁿ [√{(2k+1)/n} ]/n = (1/2)∫₀² f(x) dx
を証明する問題があった。これは次のように、閉区間における連続関数のリーマン和
の極限が積分になることを使う。つまり



　　　lim [n→∞] Σ_k=1ⁿ f(k/n)(1/n)=∫₀¹ f(x) dx
　　　(区間 [0,1] をn等分して、区間 [(k-1)/n, k/n] (k=1,・・・,n] のうち、右端 f(k/n)
　　　　と区間幅(1/n)の積の和をとったもの。)
で求められるタイプだが多少工夫を要する。

今回は、区間 [0,2] をn等分して、幅が (2/n) である区間 [2k/n, (2k+2)/n] (k=0,1, … , n-1)
のセンター値、f( (2k+1)/n ) のリーマン和を考えている。



すると
　　　lim [n→∞] Σ_k=0ⁿ f( (2k+1)/n )/n
　　　　　= lim [n→∞] { (1/2) [ Σ_k=0^n-1 f( (2k+1)/n ) (2/n) ] + f( (2n+1)/n )/n }
　　　　　= (1/2) lim [n→∞] Σ_k=0^n-1 f( (2k+1)/n ) (2/n)  + 0
　　　　　= (1/2)∫₀² f(x) dx
となる。

今回、 f(x)=√x に適用すると
　　　lim [n→∞] Σ_k=0ⁿ [√{(2k+1)/n} ]/n = (1/2)∫₀² √x dx = (1/2) [(2/3) x^3/2 ]²₀ =(2/3)√2
となる。

以上

フレネル積分など三角関数を含む広義積分の収束判定

下記の三角関数を含む広義積分の収束を判定する問題があった。あるサイトに証明が
載っていたので紹介する。この方法は ∫₀^∞ sin(x)/x dx の収束の証明にも使える。

1.　I=∫₀^∞ sin(x²) dx　(フレネル積分)　は収束
　　　A_n=(-1)ⁿ∫_√(nπ)^√{(n+1)π} sin(x²) dx　(n=0,1,2,・・・)　・・・・・（1.1)
　とおくと、(-1)ⁿ sin(x²)≧0 ( √(nπ)≦x≦√{(n+1)π} ) なので
　　　A_n > 0　　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1.2)
　である。つまり、A_n は正項級数である。
　また、
　　　A_n≦∫_√(nπ)^√{(n+1)π} dx=√{(n+1)π} - √(nπ) =π/[ √{(n+1)π} + √(nπ) ] → 0・・・・(1.3)
　だから、A_n → 0 となる。

　つぎに、(1.1)において x=√y と変換すると、dx=dy/(2√y) であり
　　　A_n =(-1)ⁿ∫_nπ^(n+1)π sin(y)/(2√y)dy = {(-1)ⁿ/2}∫_nπ^(n+1)π sin(x)/(√x)dx
　　　A_n+1 =-{(-1)ⁿ/2}∫_(n+1)π^(n+2)π sin(x)/(√x)dx
　となる。z=x-π と変換すると
　　　A_n+1 =-{(-1)ⁿ/2}∫_nπ^(n+1)π sin(z+π)/√(z+π)dz = {(-1)ⁿ/2}∫_nπ^(n+1)π sin(z)/√(z+π)dz
　　　　　 ={(-1)ⁿ/2}∫_nπ^(n+1)π sin(x)/√(x+π)dx

　　　A_n+1 -A_n ={(-1)ⁿ/2}∫_nπ^(n+1)π sin(x){1/√(x+π)-1/√(x)}dx
　このとき、
　　　{(-1)ⁿ/2}sin(x)≧0 , {1/√(x+π)-1/√(x)}<0
　なので、
　　　A_n+1 -A_n < 0・・・・・(1.4)
　となり、A_n は単調減少数列となる。

　ところで、
　　　I=∫₀^∞ sin(x²)dx = Σ_n=0^∞ ∫_√(nπ)^√{(n+1)π} sin(x²)dx = Σ_n=0^∞ (-1)ⁿA_n
　となる。

　つまり、(1.2)(1.3)(1.4)から、A_n 交代級数のアーベルの定理の条件を満たし、I は収束
　する。


2.　I=∫₀^∞ xsin²x/(1+x²) dx　は発散
　　　I=∫₀^π xsin²x/(1+x²) dx + ∫_π^∞ xsin²x/(1+x²) dx >∫_π^∞ xsin²x/(1+x²) dx
　となる。

　x≧π → 1+x²<2x²　だから
　　　I > ∫_π^∞ xsin²x/(1+x²) dx > ∫_π^∞ xsin²x/(2x²) dx = (1/2)∫_π^∞ sin²x/(x) dx・・・・(2.1)
　ここで
　　　A_n =(1/2)∫_nπ^(n+1)π sin²x/(x) dx
　とおくと(2.1)は

　　　I > Σ_n=1^∞ A_n ・・・・・・・・(2.2)
　となる。y=x-nπと変換すると
　　　A_n =(1/2)∫₁^π sin²(y+nπ)/(y+nπ) dy = (1/2)∫₁^π sin²(y)/(y+nπ) dy
　このとき、 y+nπ≦(n+1)π　だから

　　　A_n ≧(1/2)∫₁^π sin²(y)/{(n+1)π} dy =[1/{2(n+1)π}]∫₁^π sin²(y) dy=1/{4(n+1)}
　となる。すると(2.2)から
　　　I > Σ_n=1^∞ A_n ≧ (1/4)Σ_n=1^∞ 1/(n+1) → ∞
　したがって、I は発散する。

3.　I=∫_π^∞ sin(x)/x^a dx (a>0)　は収束

　ここで
　　　A_n =(-1)ⁿ∫_nπ^(n+1)π (sinx)/x^a dx
　とおく。すると
　　　I=Σ_n=1^∞ (-1)ⁿA_n
　である。また
　　　A_n > 0
　は明らか。また
　　　A_n+1 -A_n = (-1)ⁿ⁺¹∫_(n+1)π^(n+2)π (sinx)/x^a dx - (-1)ⁿ∫_nπ^(n+1)π (sinx)/x^a dx
　右辺第一項を y=x-π と変数変換すると、同様に
　　　A_n+1 -A_n = (-1)ⁿ∫_nπ^(n+1)π (siny)/(y+π)^a dy - (-1)ⁿ∫_nπ^(n+1)π (sinx)/x^a dx
　　　　　　　= ∫_nπ^(n+1)π (-1)ⁿ(sinx) {1/(x+π)^a - 1/x^a } dx < 0
　となるから、A_n は減少数列である。

　したがって、以下のように A_n  → 0 なので、アーベルの定理から I の収束が言える。

　(1) a=1 のとき
　　　A_n =∫_nπ^(n+1)π (-1)ⁿ(sinx)/x dx
　　　　≦ ∫_nπ^(n+1)π 1/x dx = log{(n+1)π} - log{nπ} = log{(n+1)/n} → 0

　(2) a < 1 のとき
　　　A_n =∫_nπ^(n+1)π (-1)ⁿ(sinx)/x^a dx
　　　　≦ ∫_nπ^(n+1)π 1/x^a dx=(1/(1-a)) [ {(n+1)π}^(1-a) - {nπ}^(1-a) ]
　　　　　= (π^(1-a)/(1-a)) { (n+1)^(1-a) - n^(1-a) } → 0・・・・・・(3.1)
　　となる。というのは
　　　x → ∞ のとき、0 < b=1-a < 1 として、ロピタルの定理から
　　　　(x+1)^b - x^b ={(1+1/x)^b - 1}/(x^-b)
　　　　　　→ b(1+1/x)^b-1(-1/x²)/(-bx^-b-1) = (1+1/x)^b-1/(x^1-b) → 0
　　となるからである。

　(3) a > 1 のとき
　　(3.1)から a-1 > 0 となり
　　　A_n ≦ (π^(1-a)/(1-a)) { 1/(n+1)^(a-1) - 1/n^(a-1) } → 0
　　となる。 

　なお、
　　　J=∫₀^∞ sin(x)/x^a dx = ∫₀^π sin(x)/x^a dx + ∫_π^∞ sin(x)/x^a dx
　と分解できるが、
　　　0< a≦1 のとき、sin(x)/x^a は 0 < x≦π において有界なので、J は収束。
　　　(a>1 のときは検討中)　　　

以上

[2020/11/29] An → 0 の条件を追加し、書き直した。

各質点間の距離がわかっている時、重心と各点の距離の関係

1.　まえがき

　N個の各質点の位置ベクトルと質量をr_i, m_i とすると重心R は
　　　　R=Σ_i=1^N m_i r_i/M  (M=Σ_i=1^N m_i )
　となる。この重心から見たと各点の距離ベクトルは
　　　　r_i -R={ Σ_j=1^N m_j (r_i -r_j) }/M
　となる。各点間の距離
　　　　|r_i -r_j|=ℓ_ij 、（当然、ℓ_ij =ℓ_ji 、ℓ_ii =0 ）・・・・・・・①
　とすると、重心からの各点までの距離 |r_i -R| が、m_i と ℓ_ij によって表されることを示す。

2.　計算
　(1) 一般の場合
　　　　 |r_i -R|²=(r_i -R)・(r_i -R)=(1/M²) { Σ_j=1^N m_j (r_i -r_j) }・{ Σ_k=1^N m_k (r_i -r_k) }
　　　　　　　=(1/M²) Σ_j=1^N Σ_k=1^N m_j m_k (r_i -r_j)・(r_i -r_k)
　　　　　　　=(1/M²) Σ_j=1^N Σ_k=1^N m_j m_k ( r_i²- r_i ・r_k -r_j・r_i+r_j・r_k )・・・・②
　　ここで、
　　　　ℓ_ij²=(r_i -r_j)・(r_i -r_j)=r_i²+r_j²-2r_i・r_j → r_i・r_j=( r_i²+r_j²-ℓ_ij² )/2
　　これを②に入れると
　　　　|r_i -R|²=(1/M²) Σ_j=1^N Σ_k=1^N m_j m_k
　　　　　　　　　{r_i²- ( r_i²+r_k²-ℓ_ik² )/2 - ( r_i²+r_j²-ℓ_ij² )/2+ ( r_j²+r_k²-ℓ_jk² )/2 }
　　　　　　   =(1/M²) Σ_j=1^N Σ_k=1^N m_j m_k (ℓ_ik² + ℓ_ij² - ℓ_jk²)/2
　　となる。つまり
　　　　|r_i -R|=(1/M) √ { Σ_j=1^N Σ_k=1^N m_j m_k (ℓ_ik² + ℓ_ij² - ℓ_jk²)/2 }・・・・・③

　(2) m_i =m のときは
　　　　|r_i -R|=(1/N) √ { Σ_j=1^N Σ_k=1^N (ℓ_ik² + ℓ_ij² - ℓ_jk²)/2 }
　　　　　　 =(1/N) √ { (NΣ_j=1^N 2ℓ_ik² - Σ_j=1^N Σ_k=1^N ℓ_jk²)/2 }
　　　　　　 =(1/N) √ { NΣ_j=1^N ℓ_ik² - (Σ_j=1^N Σ_k=1^N ℓ_jk²)/2 }・・・・・④
　　となる。ここで、
　　　　Σ_j=1^N Σ_k=1^N ℓ_ik² =Σ_j=1^N Σ_k=1^N ℓ_ij² =NΣ_j=1 ℓ_ij²
　　となることを使った。

3.　検証

　(1) N=2 のときは

　　③から
　　　　|r_i -R|=(1/M)√{m₁²ℓ_i1²+m₁m₂(ℓ_i1²+ℓ_i2²)+m₂²ℓ_i2²-m₁m₂ℓ₁₂²}
　　ここで、①から、
　　　　m₁m₂(ℓ_i1²+ℓ_i2²)-m₁m₂ℓ₁₂²=0、m₁²ℓ_i1²+m₂²ℓ_i2²=m_(3-i)²ℓ₁₂²
　　となるから、
　　　　|r_i -R|=(1/M)m_(3-i)ℓ₁₂　（i=1,2 のとき、(3-i)=2,1 となる）

　(2) N=6、m_i =m かつ 各質点が正６角形の配置の時
　　反時計回りに、質点の番号を順にとる。ℓ₁₂ =ℓ_i(i±1) =ℓ とする。

　　　　ℓ₁₃ =ℓ₁₄ =√3ℓ 、ℓ₁₅ =2ℓ など
　　④から
　　　　|r_i -R|=(1/6)√{ 6(2ℓ²+2(√3ℓ)²+(2ℓ)²) - 6(2ℓ²+3(2√3ℓ)²+(2ℓ)²)/2 }
　　　　　　  =(1/6)√{ 3(12ℓ²) } =ℓ

以上