地球と宇宙船で年齢のやり取りをした時の結果

1.　まえがき

　次のような特殊相対論の面白い問題があった。

　慣性系Sの原点に静止したAがいる。BはS系で+x方向に速度 v=0.8c で運動するロケットに
　乗っている。Bが x=0 を通過したとき、共に20才であることを確認した。

　つぎに、Aが1年後、21才になった時、この歳 A₁=21 をBに向かって光通信した。Bはこ
　の信号を受けると当時に、自分の歳 A₂ をAに向かって光通信した。Bはこの信号を受け
　ると同時に、自分の歳 A₃ をBに向かって、光通信した。

　以上の手順を繰り返したときの一般項 A_n (n=1,2,…) を求めよ。

2.　計算

　慣性系S'はS系に対して、+x方向に速度 vを持つとし、BはS'系の原点にいるとする。そし
　て
　　　　β=v/c、γ=1/√(1-v²/c²)=1/√(1-β²)
　とする。

　S,S'系の時空をそれぞれ (x, t), (x',t') とする。nを奇数として、S系の時刻 t_n にAからBに向
　けて光を発射して、S系の時刻 t_n+1 にBに到達したとする。

　このとき、BのS系での座標を x_n+1 とする。すると
　　　　x_n+1=vt_n+1 
　　　　t_n+1=t_n+x_n+1/c=t_n+βt_n+1 → t_n+1=t_n/(1-β)
　すると
　　　　x_n+1=(v/(1-β))t_n

　この時、S'系の時刻は(返信してくるBの年齢)
　　　　t'_n+1=γ{ t_n+1-(β/c)x_n+1 }=γ{ t_n/(1-β)-(β/c)(v/(1-β))t_n }
　　　　　　=γ{ t_n/(1-β)}{1-(β/c)v }=γ(1+β)t_n =( √{(1+β)/(1-β)} )t_n 
　　　　　　=kt_n 
　ここで
　　　　k=√{(1+β)/(1-β)}=√(1.8/0.2)=3
　と置いた。

　Bは信号を受けると同時に(S系で時刻 t_n+1)、Aに向けて、返信するので、これが Aに届く、
　S系の時刻 t_n+2 は
　　　　t_n+2=t_n+1+x_n+1/c=t_n/(1-β)+(v/(1-β))t_n/c={(1+β)/(1-β)}t_n=k²t_n 
　まとめると
　　　　n:奇数
　　　　t'_n+1=kt_n 
　　　　t_n+2=k²t_n 
　ここで、t₁=1 (1年後なので、原点合わせから)となる。

　この数列 t_n は簡単に解けて
　　　　n:奇数
　　　　t_n=(k²)^(n-1)/2 t₁=k^(n-1)=3^(n-1) 
　　　　t'_n+1=(k²)^n/2=3ⁿ 
　により、順次時刻が決定される。

　これを A_n にすると、原点合わせの時、共に20歳だったから
　　　　n:奇数
　　　　A_n=t_n+20=3^(n-1)+20
　　　　A_n+1=t'_n+1+20=3ⁿ+20
　となるが、偶奇で分けずとも
　　　　A_n=t_n+20=3^(n-1)+20　(n=1,2,…)
　となる。

　実際の数値は
　　　A₁　A₂　A₃　A₄　 A₅　A₆
　A　21　　    29　      101
　B　　    23  　　 47　　   263

以上

時間遅れの測定方法

地上から見た宇宙船の時間遅れを検出する方法の問題があった。

理論計算では、S'系の同一時点での時間間隔をS系の異なる地点での時間間隔で見てい
ますが、地上の実験なら理論的に問題はありません。教科書の時間遅れの説明のまん
ま計算できます（細かい設定は別として、原理的に）。

しかし宇宙空間とすると離れた２地点という設定は現実性がありません（通過地点に
受信設備があるとは限らない）。そこで、別の方法を考えます。

S系を地上、S'系を宇宙船にとり、定番で原点で時刻合わせをしてあり（つまり、宇宙
船はS系で t=0にx=0を出発する）、簡単のため、各系の時計は原点で考える。S系に対
して、S'系は +x 方向に速度 v をもつ。

まず、S'系の座標 x' から時刻 t' にS系の原点に向かって光を発射したとする。この光の
発射イベントのS系での座標と時刻は
　x=γ(x'+vt') , t=γ(t'+vx'/c²)・・・・・①
となる。よく知られたように、時間遅れは①の後者から（x'を一定として）
　Δt=γΔt' → Δt'=Δt/γ・・・・・・・②
であるが、上のように宇宙空間では、Δt の測定は難しい。

つぎに、①から、この光はS系の原点に
　t₀=t+x/c=γ(1+v/c)(t'+x'/c)・・・・・③
に届く。

宇宙船で Δt' 時間間隔で光を発射すると、S系の原点での受信間隔は③から（同様に x'
は一定）
　Δt₀=γ(1+v/c)Δt'=( √{ (1+v/c)/(1-v/c) } )Δt'
となる。これから、v/c を求めると
　v/c={(Δt₀/Δt')²-1}/{1+(Δt₀/Δt')²}
となる。つまり、時間遅れは
　1/γ=2(Δt₀/Δt')/{1+(Δt₀/Δt')²}
となる。

以上

光の波動方程式のローレンツ不変性と光速度不変の関係

１．まえがき

　光の波動方程式の演算子部分のローレンツ不変性をしめす問題があった。つまり
　　　　(∂²/∂t²)-c²(∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂z²) = (∂²/∂t'²)-c²(∂²/∂x'²+∂²/∂y'²+∂²/∂z'²)
　が成り立つ。

２．計算

　ローレンツ変換から、γ=1/√(1-v²/c²) として
　　　　∂x'/∂x=γ ,  ∂y'/∂x=∂z'/∂x=0 ,  ∂t'/∂x=-γv/c²・・・・(1)
　　　　∂x'/∂y=0 , ∂y'/∂y=1 ,  ∂z'/∂y=∂t'/∂y=0・・・・(2)
　　　　∂x'/∂z=0 , ∂y'/∂z=0 ,  ∂z'/∂z=1 , ∂t'/∂z=0・・・・(3)
　　　　∂x'/∂t=-v , ∂y'/∂t=∂z'/∂t=0 ,  ∂t'/∂t=γ・・・・(4)
　となる。以下では連鎖律を使って、(1)から
　　　　∂/∂x=(∂/∂x')∂x'/∂x+(∂/∂y')∂y'/∂x+(∂/∂z')∂z'/∂x+(∂/∂t')∂t'/∂x
　　　　　　=γ{ ∂/∂x'-(v/c²)∂/∂t' }・・・・・(5)
　(2)から
　　　　∂/∂y=(∂/∂x')∂x'/∂y+(∂/∂y')∂y'/∂y+(∂/∂z')∂z'/∂y+(∂/∂t')∂t'/∂y
　　　　　　=∂/∂y'・・・・・(6)
　同様に(3)から
　　　　∂/∂z=∂/∂z'・・・・(7)
　(4)から
　　　　∂/∂t=(∂/∂x')∂x'/∂t+(∂/∂y')∂y'/∂t+(∂/∂z')∂z'/∂t+(∂/∂t')∂t'/∂t
　　　　　　=γ{ -v∂/∂x'+∂/∂t' }・・・・・(8)
　(5)から
　　　　∂²/∂x²=∂/∂x(∂/∂x)=∂/∂x[ γ{ ∂/∂x'-(v/c²)∂/∂t' } ]
　　　　　　=γ[ (∂/∂x)∂/∂x'-(v/c²)(∂/∂x)∂/∂t' ]
　　　　　　=γ[ (∂/∂x')[ γ{ ∂/∂x'-(v/c²)∂/∂t' } ]-(v/c²)(∂/∂t')[ γ{ ∂/∂x'-(v/c²)∂/∂t' } ] ]

　　　　　　=γ²[ ∂²/∂x'²-2(v/c²)(∂/∂x')∂/∂t'+(v/c²)²(∂²/∂t'²) ]・・・・(9)

　(6)(7)から
　　　　∂²/∂y²=∂²/∂y'²・・・・・(10)
　　　　∂²/∂z²=∂²/∂z'²・・・・・(11)
　(8)から
　　　　∂²/∂t²=∂/∂t(∂/∂t)=∂/∂t[ γ{ -v∂/∂x'+∂/∂t' } ]
　　　　　　=γ∂/∂t[ { -v∂/∂x'+∂/∂t' } ]
　　　　　　=γ[ -v(∂/∂x')[ γ{ -v∂/∂x'+∂/∂t' } ]+(∂/∂t')[ γ{ -v∂/∂x'+∂/∂t' } ] ]
　　　　　　=γ²[ v²∂²/∂x'²-2v(∂/∂x')∂/∂t'+(∂²/∂t'²) ]・・・・(12)
　(9)-(12)から
　　　　∂²/∂t²-c²(∂²/∂x²+∂²/∂y²+∂²/∂y²)
　　　　　　= γ²[ v²∂²/∂x'²-2v(∂/∂x')∂/∂t'+(∂²/∂t'²) ]
　　　　　　　　- c²{ γ²[ ∂²/∂x'²-2(v/c²)(∂/∂x')∂/∂t'+(v/c²)²(∂²/∂t'²) ] + ∂²/∂y'²+∂²/∂z'² }
　　　　　　=γ²[ v²∂²/∂x'²-2v(∂/∂x')∂/∂t'+(∂²/∂t'²) ]
　　　　　　　　- γ²[ c²∂²/∂x'²-2v(∂/∂x')∂/∂t'+(v/c)²(∂²/∂t'²) ] - c²(∂²/∂y'²+∂²/∂z'²)

　　　　　　=γ²[ (v²-c²)∂²/∂x'²+(1-(v/c)²)(∂²/∂t'²) ]-c²(∂²/∂y'²+∂²/∂z'²)
　　　　　　=γ²[ c²(v²/c²-1)∂²/∂x'²+(1-(v/c)²)(∂²/∂t'²) ]-c²(∂²/∂y'²+∂²/∂z'²)
　　　　　　=γ²[ c²(-1/γ²)∂²/∂x'²+(1/γ²)(∂²/∂t'²) ]-c²(∂²/∂y'²+∂²/∂z'²)
　　　　　　=-c²∂²/∂x'²+(∂²/∂t'²)-c²(∂²/∂y'²+∂²/∂z'²)
　　　　　　=(∂²/∂t'²)-c²(∂²/∂x'²+∂²/∂y'²+∂²/∂z'²)

　となり結論を得る。

３．あとがき

　よく知られたように、真空中の各慣性系で波動方程式
　　　　(∂²/∂t'²-c²∇'²)E'=0 ,  (∂²/∂t'²-c²∇'²)B'=0・・・・・・(13)
　が成り立つ。これを成分に分けて
　　　　E=E_//' , E_⊥=γ(E'-v×B')_⊥
　を使って、各成分を線形結合すれば
　　　　(∂²/∂t'²-c²∇'²)E=0・・・・・・(14)
　が成り立つ。これは上で求めた関係となる。

　(13)はS'系で測定した電磁界が、S'系で光速度を持つことを示し、(14)はS系で測定
　した電磁界もS'系で光速度を持つことを意味している。

以上

左右に運動するロケットが発した光やロケットなどが他方に到達する時刻

1.　まえがき

　以下の問題があった。面倒だが典型的な問題なので紹介する。

2.　問題

　地球を慣性系として（加速度運動をしないと仮定）、その位置を座標の原点に取る。
　2つのロケットA,Bが地球に対してx軸上を右左に速度v_A=0.3c, v_B=-0.2cで運動してい
　る。さらに、地球の時刻t=0でA,Bは地球の原点にあった。このとき



　1) Aから見たBの速度を求めよ。 
　2) Aの時計でT_A=2[年]後に、AからBに向かって光信号を送った。この信号がBに到着し
　　たときのBの時計での時刻を求めよ。
　3) Bの時計でT_B =2[年]後に、Bから見た速度u=0.6c(>0)のロケットCをAに向けて発射し
　　た。Aから見たCの速度を求めよ。
　4) ロケットCがAに到着したときのAの時計の時刻を求めよ。

3.　計算

　速度の加法則から、S'系がS系に対して、vの速度を持つとき、S系で速度uの運動は、S'
　系での速度をu'とすると
　　　u'=(u-v)/(1-uv/c²)　・・・・・①
　となる。これから。uを求めると
　　　u=(u'+v)/(1+u'v/c²)　・・・・②
　となる。

　1)　S系を慣性系A、S'系を地球に取るとS系（=慣性系A）からみて地球の速度は v=-v_A 
　　　S'系（=地球）から見て、Bの速度は u'=v_B となる。
　　　したがって、➁により、A(S系)から見たBの速度は
　　　　　u₁=(v_B+(-v_A))/(1+v_B(-v_A)/c²)　・・・・・・③
　　　　　　=(-0.2c-0.3c)/(1+0.2・0.3)=-0.472c



　2)　つぎに、BをS系、AをS'系とすると、S系でAの速度は➂のu₁の逆方向だから
　　　　　v=-u₁ (>0)　・・・・・・・・④
　　　となる。Aが光を発射する時刻はS'系で
　　　　　T'=T_A 　・・・・・・・・・・⑤
　　　だから、T' の時刻はS系で
　　　　　T=γ(v)(T'+v・0/c²)=γ(v)T' 　・・・・・・⑥
　　　となる(ここで、AはS'系で原点 x'=0 にある)。

　　　このとき、Tの間に、AはS系で X=vT=γ(v)vT' の位置に移動している。ここで、A
　　　が光を発射するから、S系の原点B（静止しているから）には
　　　　　X/c=γ(v)vT'/c　・・・・・・・・・⑦
　　　時間後に光が到着する。つまりBへの光の到達時刻は④⑤⑥⑦から
　　　　　T+X/c=γ(v)T'+γ(v)vT'/c=γ(v)T'(1+v/c)=γ(-u₁)T_A (1-u₁/c)
　　　　　　　　=1.13・2・(1+0.472)=3.33[年]
　　　となる。



　3)　AをS系、BをS'系とすると、S系でBの速度は➂のu₁から v=u₁=-0.472c、ロケットの
　　　S'系の速度はu'=0.6cだから、S系でのロケットの速度uは②から
　　　　　u₂=(u'+v)/(1+u'v/c²)
　　　　　　=(0.6c-0.472c)/(1-0.472・0.6)=0.179c　・・・・⑧



　4)　つぎに、ロケットの発射時刻はS'系でT'=T_B=2[年]だから、T' の時刻はS系で
　　　　　T=γ(v)(T'+v・0/c²)=γ(v)T'=γ(u₁)T_B 　・・・・・・⑨
　　　となる(ここで、BはS'系で原点 x'=0 にある)。

　　　Tの間に、BはS系で X=vT=vγ(v)T'=u₁γ(u₁)T_B の位置に移動している。ここで、Bか
　　　らロケットが発射されるので、S系での速度は⑧の速度u₂となるから、S系の原点A
　　　には　(0-X)/u₂=-γ(u₁)u₁T_B/u₂ 時間後に到達する。

　　　つまり、ロケットがAにの到達する時刻は⑧⑨から
　　　　　T+(-X/u₂)=γ(u₁)T_B-γ(u₁)u₁T_B/u₂=γ(u₁)T_B(1-u₁/u₂)
　　　　　　　　　=γ(-0.472c)2(1-(-0.472)/0.179)=1.13・2・3.64=8.23[年]
　　　となる。

以上

有限長電線に流れる電流のパラドックス➁

１．まえがき

　有限長電線に流れる電流のパラドックスとして、もうひとつ面白い（深刻というか）ものがある。
　慣性系Sで静止した有限長電線に電流が流れている。このとき電界は無いから、その横に置かれ
　た静止電荷Qには力は働かない（どの位置においても）。ここでS系に対して速度vをもつ慣性系
　S’ を考える。

　このときも、電荷Qは速度 -v で運動するので、ローレンツ力は打ち消されて力は加わらない。
　しかし、図のように導線の真横に電荷Qを置くと、電線の分離した電荷によって力が働くはず
　である（-v以外の運動をする）。前の記事と同様に慣性系を変えただけで力の有無が違うのはお
　かしい。



２．計算と考察（1）

　まず、z=0面での電磁界を計算してみる。S系では E=0, B=(0,0,Bz) だから、S’系では
　　　　E’=(0,γvBz,0) , B’=(0,0,γBz) , F’=Q(E’-v×B’)=0
　となるので、S’系でも電界と磁界の力が打ち消して、S'系で -vの運動をする電荷Qには力は働か
　ない。大体、発生する電界はy方向のみである（Bzは座標によって変わる）。

　つまり、問題はS'系ではx方向の電界は0となるということになる。しかし、電線に発生した電荷
　によって、図の電荷Qにはx方向の力が働くように見える。これはどう考えればよいのだろうか？

　この疑問は、電荷が発生して、それによって発生する電界という手順を考えることに問題がある。
　実は話は逆なのである。計算のように電界はy方向にしか発生しない（だから電荷Qにはx方向の
　力は働かない）。したがって、その電界に対応する電荷が電線に発生していると考えればよいだ
　けである。

　つまり、無限直線電荷分布のようなy方向の電界が発生していることになる（S'系では、これに
　よって運動電荷Qに働く力は狭義のローレンツ力によって打ち消される）。

３．計算と考察（2）

　上の論理ではある意味、身も蓋も無いことになる（パラドックスの論理に対して正面から向き
　合っていない）ので、y=z=0 として簡単な計算をしてみる。

　γ=1/√(1-u²/c²) として、電流を構成する負電荷は前の計算より、ρ_'=-q/γ であり、この電
　荷はS'系で静止しているから、kを定数として、電荷からx' 離れた位置の電界は
　Ex_'=-k((q/γ)dx')/x'²=-k(qdx')/(γx'²) となる。

　これに対して、正電荷 ρ₊'=γq は -u で運動している。運動電荷の電界はリエナール・ヴィー
　ヒェルト・ポテンシャルなどから求められ、Ex₊'=k(γqdx')/(γx')²=k(qdx')/(γx'²) となる。
　したがって、Ex'=Ex_'+Ex₊'=0 となる。

　しかし、この計算は y=z=0 でしか通用しない。一般的に、電荷から電界を計算することは私
　には難しい（上の計算も正しいか自信がない）。

４．おわりに

　引用したサイトは計算式もあり、もう少し論点を絞り問題を簡明すると良い演習問題になる。
　この種の問題は複雑怪奇にしたり時空図を持ち込んだりして訳がわからなくなるようにして、
　煙に巻くのが常とう手段だ。

　この中で、注意を引くのが L字型（直角）レバーのパラドックスである。これはパノフスキー、
　江沢洋、細野敏夫、石原藤夫の各氏の書籍に載っているが、後者の二人の説明は納得いくのだ
　が、それでも、なんとなくすっきりしない。

　特殊相対性理論と力学はあまり相性が良くない（式が複雑）。ある意味、微妙な問題を含んでい
　るのだろうか。あるいはモーメントという概念の相対性について考えが足りないのかもしれない。

［文献］
　　電磁気学上、パノフスキー、丸善、1967
　　相対性理論、江沢洋、裳華房、2008 / 相対性理論とは?、江沢洋、日本評論社、2005
　　メタ電磁気学、細野敏夫、森北出版、1999
　　SF相対論入門/宇宙旅行と四次元の世界、石原藤夫、講談社〈ブルーバックス〉、1971

以上