電源や抵抗の電力が 電圧と電流の積 VIとなる理由

1.　まえがき

　以前、抵抗に供給される電力として VI が使われているが明確な説明がない。これについて
　改めて考えた。

2.　概略の説明

　まず、電源でも抵抗でも電流の向きが逆なだけで理屈は同じなので電源について考える。
　電源の電圧をV、流れる電流をIとする。

　Vは単位電荷がこの電位差を移動したときの仕事だから I=dQ/dt と電流連続により、dt時
　間の間に、dQの電荷が電源全体で移動しているので、電位差Vを電荷dQが移動したことに
　なる。つまり、単位時間あたりの仕事（電力）は VdQ/dt=VI になる。そして、抵抗のとき
　は、電流の方向が逆なので、電力の供給になる。

　ところが、内部の電界や電荷・電流分布が一様でないので上の議論は無理があり、精細な
　議論を考える。

3.　精細な議論

　電磁界のエネルギー方程式はポインティングの定理
　　　　dU/dt=-∲_∂τ S・dA-∫_τ E・i dτ　・・・・・・・・・・・・・・・①
　ここで、
　　　　U=∫_τ(εE2/2+μH2/2)dτ , S=E×H
　である。Uは電磁界による内部エネルギー、①の右辺第2項は電磁界が領域τにする単位時
　間当たりの仕事（電力）です。

　図のようにτとして電源を包む領域に取ります。電源の場合、電磁エネルギーの内部変化は
　無いから、①式では dU/dt=0 となる。すると
　　　　P=∫_τ E・i dτ=-∲ _∂τ S・dA
　となり、右辺から、(-があるので)領域内に侵入する電磁エネルギーが領域に成される単位
　時間当たりの仕事（電力）Pになります。また、E=-∇V として、ベクトル解析の部分積分
　の公式から
　　　　P=-∫_τ ∇V・i dτ=-∲ _∂τ Vi・dA+∫_τ V∇・i dτ
　となる（https://www.ims.tsukuba.ac.jp/~shugo_suzuki_lab/intro_vector.pdf の(6.13)）。

　ここで「準定常電流」と仮定すれば、電荷保存則から
　　　　∇・i=-∂ρ/∂t=0
　なので、上式の右辺第二項は消えて
　　　　P=-∲ _∂τ Vi・dA
　となる。電源表面の積分において、電極以外の表面の電流の出入りは無く、i・dA=0 だか
　ら、電流が出入りのあるのは残りの電極のみで、等電位だからVは積分の外に出せて
　　　　P=-∲_∂τ Vi・dA=-(V₁∫_A₁ i・dA+V₂∫_A₂ i・dA)=-(V₁-V₂)I=-VI
　ここで
　　　　I=∫_A₁ i・dA=-∫_A₂ i・dA （A₁面では i・dA>0、A₂面では逆）
　を使った。Pが負なので、これは電源の外部にした単位時間当たりの仕事になる。

　Rの場合も同様の議論ができ、領域について電流の方向が逆だから
　　　　P=VI
　となり、正なのでRに成される仕事率になる。このとき、熱力学の第一法則により、
　　　　dU=δW+δQ　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・②
　の関係がありますが、ジュールの実験結果よりRでは(C,Lと違って)仕事が成されても、す
　べて熱に変換され、内部エネルギーは変化しません。つまり
　　　　dU=0
　となる。

　ちなみに、Lの内部は E=0、Cの内部は i=0なので、①の右辺第二項は0となり、外部から
　供給されたエネルギーは内部エネルギーU(電界や磁界)になります。



4.　あとがき

　準定常電流で、時間変化する電圧・電流の場合も上の議論が成り立つ。ただ、電源やC、L
　の時、VIの正負により、瞬間的に電力の入出力が変わり、入力の場合は、電磁界の内部エ
　ネルギーの変化となる。つまり、電源であっても内部に C、Lを内蔵するモデルとなる。

以上

1のn乗根の作る級数

1.　まえがき

　1のn乗根の1つを
　　　w=cos(2π/n)+isin(2π/n)
　とすると
　　　(1)　A_n=w+w²+・・・+w^n-1
　　　(2)　B_n=1/(1-w)+1/(1-w²)+・・・+1/(1-wⁿ)
　　　(3)　C_n=sin(2π/n)+sin(4π/n)+・・・+sin(2(n-1)/n)
　を求めよ、という問題があった。

2.　計算

　(1)　w=exp(i2π/n)  → wⁿ=1 だから
　　　　1+w+w²+・・・+w^n-1=(1-wⁿ)/(1-w)=(1-1)/(1-w)=0
　　すなわち
　　　　A_n=w+w²+・・・+w^n-1=w(1-w^n-2)/(1-w)=-1
　　でこれは簡単。 
　(2)　　1/(1-w^k)=1/{1-cos(2πk/n)-isin(2πk/n)}
　　　　　　={1-cos(2πk/n)+isin(2πk/n)}/{(1-cos(2πk/n))²+sin²(2πk/n)}
　　　　　　={1-cos(2πk/n)+isin(2πk/n)}/{2-2cos(2πk/n)}　・・・半角・倍角の公式
　　　　　　={2sin²(πk/n)+i2sin(πk/n)cos(πk/n)}/{4sin²(πk/n)}
　　　　　　=(1/2){1+icos(πk/n)/sin(πk/n)}
　　　　　　=(1/2){1+icot(πk/n)}

　　ここで
　　　　cot(π(n-k)/n)=cot(π-πk/n)=-cot(πk/n)
　　したがって
　　　　Σ_k=1 ^n-1 cot(πk/n)=0　　　　　(n:奇数)
　　　　　　　　　　　　=cot(πm/2m)=cot(π/2)=0 (n=2m : 偶数)
　　ゆえに、
　　　　B_n=Σ_k=1 ^n-1 (1/2){1+icot(πk/n)}=(n-1)/2

　(3)　(1)から、両辺の虚部をとれば
　　　　C_n=sin(2π/n)+sin(4π/n)+…+sin(2(n-1)π/n)=0
　　　当然、実部を取れば
　　　　cos(2π/n)+cos(4π/n)+…+cos(2(n-1)π/n)=-1
　　　も自明。

3.　あとがき

　1, w, w²,・・・, w^n-1 が1のn乗根だから、n次式の根と係数の関係から簡単に解を
　求めている別解があった。

以上