長方形の中心を通り、直交する2直線によって、等分割する問題

長方形の中心を通うる2直線が直交するとき、この直線によって、長方形は4つに分割される。この
とき、各面積が等しくなる条件を求める問題があった。

長方形の辺の長さを、2a,2b (a≧b) とし、その中心が原点にあるとする。また、2aの辺がx軸に平行
とす。a < b のときは、90゜回転すればよい。

分割線を
　y=mx (m > 0) ・・・①
　y=-x/m・・・・・・②
とする。

m=0 のときは同じ面積となるのは自明。・・・・・③

また、m < 0 の場合は、上下を反転すれば、議論は同一視できから、m > 0 としてよい。


1. 　①が x=a と交わるとき
　　m≦b/a・・・・④
　となる。
　①とx=aの交点は y₁=ma、②は必ず y=±b と交わり、その交点は x₁=∓mb
　これらの分割による面積は対称性から、右上のAと右下のBの分割のみを考えればよい。すると
　　A=ab-ay₁/2+b|x₁|/2=ab+(-a²+b²)m/2
　　B=ab+ay₁/2-b|x₁|/2=ab+(a²-b²)m/2
　の2つを考えればよい。

　すると、A=Bとなるのは a=bの時、つまり正方形のみであり、mには無関係。

2. 　①②とも y=b と交わるとき
　　m≧b/a
　　-1/m≦-b/a
　つまり、
　　b/a≦m≦a/b・・・・・⑤
　となる。

　①②が y=b と交わるのは
　　x₂=b/m, x₂'=-mb
　となる。同様に分割面積は
　　A=b|x₂'|/2+bx₂/2=b²(m+1/m)/2
　　B=2ab-A=2ab-b²(m+1/m)/2
　A=Bとなるのは
　　2ab=b²(m+1/m) → 2a/b=(m+1/m) → m=a/b±√{(a/b)²-1}
　のとき。

　まず、m=a/b+√{(a/b)²-1} > a/bなので⑤を満たさない。
　また、
　　　m=a/b-√{(a/b)²-1}=1/[a/b+√{(a/b)²-1}] < 1/(a/b)=b/a
　となり、これも⑤を満たさない。

3.　まとめ
　上の2項の状態で mを増加すると、②は x=-a と交点を持つが左右を反転すれば1項の議論に
　なり、以上ですべての検討が終わり、まとめると

　同じ面積となるのは、分割線が、
　　・長方形(a≠b)のとき、x=0,y=0
　　・正方形のとき、分割線は任意(直交するが)
　となる。

以上