∫(-∞,∞) xsin(e^x)dx の収束の証明

∫_-∞^∞ xsin(e^x)dx　の収束を示す問題があった。

u=e^x と変換すると
　　　I=∫_-∞^∞ xsin(e^x)dx=∫₀^∞ logu sinu du/u
ここで
　　　A=∫₀¹ logx (sinx/x) dx
　　　B=∫₁^π logx sinx dx/x
　　　C=∫_π^∞ {(logx)/x} sinx dx
とすると、I=A+B+Cであり、各部分の収束を示せばよい。Bの収束は閉区間の連続関数
の積分だから積分の存在は自明。したがって、A,Cの収束を証明すればよい。

１．Aの収束

　sinx /x < 1 (x>0) はよく知られている。logx≦0 (0<x≦1) だから
　　　logx(sinx/x)≧logx
　したがって
　　　0≧A≧∫₀¹ logx dx=[xlogx-x]¹₀=-1 (xlogx → 0 はロピタルの定理から周知)
　となり、収束する。

２．Cの収束

　　　C_n=(-1)ⁿ∫_nπ^(n+1)π {(logx)/x} sinx dx
　とおくと
　　　(-1)ⁿ sinx ≧ 0 ( nπ≦x≦(n+1)π) だから、C_n≧0・・・・①
　また
　　　C=Σ_n=1^∞ (-1)ⁿC_n・・・・・②

　　　C_n+1-C_n=(-1)ⁿ⁺¹∫_(n+1)π^(n+2)π {(logx)/x} sinx dx-(-1)ⁿ∫_nπ^(n+1)π {(logx)/x} sinx dx
　右辺第一項を y=x-πと変換すると
　　　C_n+1-C_n=(-1)ⁿ⁺¹∫_nπ^(n+1)π {(log(y+π)/(y+π)} sin(y+π) dy
　　　　　　　　　　　-(-1)ⁿ∫_nπ^(n+1)π {(logx)/x} sinx dx

　　　　　　　=(-1)ⁿ∫_nπ^(n+1)π {(log(y+π)/(y+π)} siny dy-(-1)ⁿ∫_nπ^(n+1)π {(logx)/x} sinx dx
　　　　　　　=∫_nπ^(n+1)π [ {(log(x+π)/(x+π)}-(logx)/x ] (-1)ⁿsinx dx・・・・・③

　ここで、f(x)=logx/x とすると
　　　f'=1/x²-logx/x²=(1-logx)/x²<0 (logx>1, x≧πにおいて )
　となり、fは減少関数だから
　　　[ {(log(x+π)/(x+π)}-(logx)/x ]≦0
　と①から、③の被積分関数は負になり、
　　　C_n+1-C_n≦0
　となる。

　結局②に戻って、C_n は０以上の減少数列であり、Cは交代級数の和なので、アーベル
　の定理により収束する。

以上

微分演算子法の解 e^(ax)/f(D)=xⁿe^(ax)/f⁽ⁿ⁾(a) , f(a)=f'(a)=･･･=f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)=0 , f⁽ⁿ⁾(a)≠0

微分演算子法の解
　　　e^ax/f(D)=xⁿe^ax/f⁽ⁿ⁾(a) ,  f(a)=f'(a)=･･･=f^(n-1)(a)=0 ,  f⁽ⁿ⁾(a)≠0
を求める問題があった。

この問題は公式
　　　(1/f(D))e^ax=e^ax/f(a)   ( f(a)≠0 )
の拡張になっている。これを示すには公式
　　　( 1/{ (D-a)^ag(D) } )e^ax=xⁿe^ax/(n!g(a))   ( g(a)≠0 )・・・・・・①
を使用する。

f(x)をテーラー展開すると
　　　f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+･･･+{(x-a)^n-1/(n-1)!}f^(n-1)(a)+{(x-a)ⁿ/n!}f⁽ⁿ⁾(x+θ(x-a))   (0<θ<1)
　　　　  ={(x-a)ⁿ/n!}f⁽ⁿ⁾(x+θ(x-a))
となる。ここで、g(x)=f⁽ⁿ⁾(x+θ(x-a))/n! とおくと f(x)=(x-a)ⁿg(x) となる。すると
　　　g(a)=f⁽ⁿ⁾(a)/n! (≠0)・・・・・・②
となるから、①に入れて②を使うと
　　　(1/f(D))e^ax=( 1/{ (D-a)^ag(D) } )e^ax=xⁿe^ax/(n!g(a))=xⁿe^ax/(n!f⁽ⁿ⁾(a)/n!)
　　　　　　　  =xⁿe^ax/f⁽ⁿ⁾(a)   ( f⁽ⁿ⁾(a)≠0 )
となり、命題が証明された。

しかし、この関係は、実際にはあまり意味がないかもしれない。というのは f⁽ⁿ⁾(x) を求
めるのは一般に面倒であり、 f(x)=(x-a)ⁿg(x) となることがわかっているから、g(x) がわ
かれば①によりすぐ計算できる。

以上