ある行列の rank 計算

つぎの行列の階数計算の問題があった。
A=
　(1 a a a)
　(a 1 a a)
　(a a 1 a)
　(a a a 1)

1.　a=0 のとき
　rank A=4 は自明。

２．a=1のとき
　基本変形で、1列を他の列から引くと
A →
　(1 0 0 0)
　(1 0 0 0)
　(1 0 0 0)
　(1 0 0 0)

1行を他の行から引くと
A →
　(1 0 0 0)
　(0 0 0 0)
　(0 0 0 0)
　(0 0 0 0)
となるから、rank A=1

３．a≠0,1 とする。
　1列を他の列から引くと
A →
　(1 a-1 a-1 a-1)
　(a 1-a   0    0 )
　(a   0  1-a   0 )
　(a   0    0  1-a)

　2,3,4行を1行に足すと
A →
　(1+3a   0    0    0  )
　(  a     1-a   0    0  )
　(  a       0  1-a   0  )
　(  a       0    0  1-a )・・・・・・・①

　a≠1 なので、2,3,4列に1/(1-a) を掛けると
A →
　(1+3a 0 0 0 )
　(  a     1 0 0 )
　(  a     0 1 0 )
　(  a     0 0 1 )

　a≠0 なので、2,3,4列にaを掛けて１列から引くと
A →
　(1+3a 0 0 0 )
　(   0    1 0 0 )
　(   0    0 1 0 )
　(   0    0 0 1 )
　となる。

　したがって、1+3a≠0 のときは、１列を 1+3aで割ると
　rank A=4

　1+3a=0、つまり、a=-1/3のとき
　rank A=3

　となる。

４．以上まとめると
　a=1 → rank A=1
　a=-1/3 → rank A=3
　a≠1, -1/3 → rank A=4

　なお、|A|は上の①は任意のaで成り立つから、１行で展開すればすぐ計算でき
　　(1+3a)(1-a)³
　となる。

　なお、この行列は、n次正方行列に拡張もでき、前に述べたものに似ている。

以上

行列式 [[b+c,a,a],[b,c+a,b],[c,c,a+b]] などの計算

１．次の行列式

| b+c     a       a    |
|   b     c+a     b   |
|   c       c     a+b |

の計算をする。

3列×(-1)を１列と２列に足すと、
| b+c-a       0         a    |
|    0        c+a-b      b   |
| c-(a+b) c-(a+b)  a+b |

1行×(-1)と２行×(-1)を3行に足すと、
| b+c-a       0       a   |
|   0        c+a-b    b   |
| -2b        -2a       0   |

3列を１列と２列に足すと
| b+c       a       a   |
|   b        c+a    b   |
| -2b       -2a     0   |・・・・２を出すと

=2×
| b+c       a       a   |
|   b        c+a    b   |
|  -b        -a     0   |

3行を１行と２行に足すと
=2×
|  c    0    a  |
|  0    c    b  |
| -b   -a   0  |・・・・・・展開して
=2(+abc+abc)=4abc

２．次の行列式

| az+by  bz+ax  bx+ay |
| ay+bx  by+az  bz+ax |
| ax+bz  bx+ay  by+az |
の計算をする。

2列×(-a/b)と３列(-b/a)を１列に加えると
|-(a²/b)x-(b²/a)x  bz+ax  bx+ay |
|-(a²/b)z-(b²/a)z  by+az  bz+ax |
|-(a²/b)y-(b²/a)y  bx+ay  by+az |
=(a²/b+b²/a)×
|-x  bz+ax  bx+ay |
|-z  by+az  bz+ax |
|-y  bx+ay  by+az |

１列×aを２列に、１列×bを３列に足すと
=(a²/b+b²/a)×
|-x  bz  ay |
|-z  by  ax |
|-y  bx  az |・・・・２列、３列からそれぞれ、b, aを出して

=(a²/b+b²/a)×ab
|-x  z  y |
|-z  y  x |
|-y  x  z |・・・・２、３列を入れ替えて

=(a³+b³)×(-1)×
|-x  y  z |
|-z  x  y |
|-y  z  x |・・・・・・１列から(-1)を出して

=(a³+b³)×
| x  y  z |
| z  x  y |
| y  z  x |

=(a³+b³)(x³+y³+z³-3xyz)
となる。

ここで

| x  y  z |
| z  x  y |
| y  z  x |
は2列と3列を１列に加えると

| x+y+z  y  z |
| z+x+y  x  y |
| y+z+x  z  x |
=(x+y+z)×
| 1  y  z |
| 1  x  y |
| 1  z  x |
となり、2行×(-1)を３行に加え、１行×(-1)を２行に加えると

=(x+y+z)×
| 1  y  z |
| 0  x-y  y-z |
| 0  z -x x-y |
=(x+y+z){ (x-y)²-(z-x)(y-z) }=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)
を得る。つまり

x³+y³+z³-3xyz=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)
が成り立つ。

以上

行列式 [ [b+c, bc, (bc)²], [c+a, ca, (ca)²], [a+b, ab, (ab)²] ]=0 の計算

行列式
     |b+c, bc, (bc)²|
A=|c+a , ca, (ca)²| = 0
     |a+b, ab, (ab)²|
の計算をする。

2行×(-1) ⇒ 1行 ,  3行×(-1) ⇒ 2行とし、1、2列から (b-a), (c-b) を出して
     |b-a  ,  c(b-a) ,  c²(b²-a²)|                    |   1  ,  c  ,  c²(b+a) |
A=|c-b  ,  a(c-b) ,  a²(c²-b²) | = (b-a)(c-b) |   1  ,  a  ,  a²(c+b) |
     |a+b ,    ab    ,      a²b²   |                    |a+b , ab ,    a²b²    |

となる。つぎに、2行×(-b) ⇒ 3行、さらに、2列×(-ac) ⇒ 3列
                     | 1 ,  c  ,  c²(b+a) |                    | 1 ,  c  ,   c²b  |
A =(b-a)(c-b) | 1 ,  a  ,  a²(c+b) | = (b-a)(c-b) | 1 ,  a  ,   a²b  |
                     | a ,  0  , -a²bc     |                     | a ,  0  , -a²bc |

3列からb、３行からaを出して、2行×(-1) ⇒ 3行
                           | 1 ,  c  ,   c²  |                         | 1 ,  c  ,   c²        |
 A= (b-a)(c-b) ab | 1 ,  a  ,   a²  | = (b-a)(c-b) ab | 1 ,  a  ,   a²        |
                           | 1 ,  0  , -ac  |                         | 0 , -a  , -a(a+c) |

1行×(-1) ⇒ 2行、2行から (a-c)、3行から、(-a)をだして
                          | 1 ,  c   ,   c²       |                                     | 1 , c  ,   c²   |
A= (b-a)(c-b) ab | 0 , a-c ,  a²-c²    | = (b-a)(c-b) (-a²)b(a-c) | 0 , 1 ,  a+c  |
                          | 0 , -a   , -a(a+c) |                                     | 0 , 1 ,  a+c  |
となる。(1,1)で展開して

A= (b-a)(c-b) (-a²)b(a-c) | 1 ,  a+c | = 0
                                      | 1 ,  a+c |

以上

行列式 [ [b²+c², ab, ca], [ab, c²+a², bc], [ca, bc, a²+b²] ] の計算

行列式
     |b²+c², ab, ca|
A=|ab, c²+a², bc| = 4a²b²c²
     |ca, bc, a²+b²|
の計算をする。

2列×(-b/a)+3列×(-c/a) ⇒ 1列
     |   0                        ,  ab    ,   ca   |    |   0       ,  ab    ,   ca   |
A=|ab-(c²+a²)b/a-bc²/a, c²+a²,   bc   | = |-2bc²/a, c²+a²,   bc   |
    |ca-b²c/a-(a²+b²)c/a,    bc  , a²+b²|    |-2b²c/a,   bc  , a²+b² |

となる。１行からa、１列から(-2bc/a)を出して
                     | 0,     b   ,    c  |
A =(-2bc/a)a | c, c²+a²,   bc  |
                    | b,   bc  , a²+b²|

1列×(-c) ⇒ 2列、1列×(-b) ⇒ 3列　としてから展開すると
             | 0,   b ,   c |
 A=-2bc | c,   a² ,  0  |=(-2bc)(-a²bc-a²bc)=4a²b²c²
             | b,   0  ,  a² |
となる。


maximaによって、計算結果を見るとどうしても、繋がらない。直接展開すると計算
結果が出そうだったが、クールでない。そこで、+の項を消さねば結論の式にはなら
無いと思い、これを無理やり消すことにした。

以上

行列式 [ [b²+c², ab, ca], [ab, c²+a², bc], [ca, bc, a²+b²] ] の計算

1.　まえがき

　行列式
　A=|b²+c²  ab    ca   |
        |  ab   c²+a²  bc   |
        |  ca     bc   a²+b²|
　を計算する問題があった。ユニークな方法なので紹介する。

2.　計算

　方法として、A=BC となる行列式 B,Cを求める。まず、BCの(1,1)要素=b²+c² となる
　最も簡単なものを選び
　　| b  c  _ | | b  _  _ |
　　| _  _  _ | | c  _  _ |
　　| _  _  _ | | _  _  _ |
　と当たりを付ける。するとBCの(1,2), (1,3)要素が ab, ca となる簡単なものは
　　| b  c  _ | | b  a  0 |
　　| _  _  _ | | c  0  a |
　　| _  _  _ | | _  _  _ |
　と分かる。つぎに、BCの(2,2)要素が c²+a² だから、同様に
　　| b  c  _ | | b  a  0 |
　　| a  _  c | | c  0  a |
　　| _  _  _ | | _  c  _ |
　と分かる。つぎに、BCの(2,1),(2,3)要素=ab, bc から
　　| b  c  _ | | b  a  0 |
　　| a  0  c | | c  0  a |
　　| _  _  _ | | 0  c  b |
　とわかる。つぎに、BCの(3,3)要素=a²+b² から
　　| b  c  _ | | b  a  0 |
　　| a  0  c | | c  0  a |
　　| _  a  b | | 0  c  b |
　と分かる。つぎに、BCの(3,1)要素=ca から
　　| b  c  _ | | b  a  0 |
　　| a  0  c | | c  0  a |
　　| 0  a  b | | 0 c  b |
　と分かる。さいごに、BCの(1,2)要素=ab から
　　| b  c  0 | | b  a  0 |
　　| a  0  c | | c  0  a |
　　| 0  a  b | | 0 c  b |
　となる。

　すると、B,Cの行列を計算は簡単で、BC=(-2abc)(-2abc)=4(abc)² となる。

3.　計算2

　この計算を普通の方法で求めてみる。始め無理かと思ったが、まず、b²+c² を
　消さないことには進まないと思い考えた。
　　A=|b²+c²  ab    ca   |
    　    |  ab   c²+a²  bc   |
        　|  ca     bc   a²+b²|
　１,２,３列をそれぞれ a,b,c倍すると
　       |a(b²+c²)    ab²        c²a    |×1/(abc)
　       |   a²b      b(c²+a²)    bc²   |
　       |   ca²         b²c     c(a²+b²)|
　となる。(１列)-(2列)-(3列)を計算すると
　       |    0          ab²       c²a    |×1/(abc)
　       | -2bc²   b(c²+a²)   bc²    |
　       | -2cb²       b²c    c(a²+b²)|
　となる。1列から -2bc、1行から a、2列から b、3列から c を抽出すると
　　　|  0        b       c      |×(-2bc)
　　　|  c   (c²+a²)   bc    |
　　　|  b      bc   (a²+b²)|
　となる。(2列)-(c/b)(3列)を計算すると
　　　|  0   b               c           |×(-2bc) = |  0   b         c      |×(-2bc)
　　　|  0   a²   bc-(c/b)(a²+b²)|                |  0   a²   -(c/b)a²)|
　　　|  b  bc          (a²+b²)      |                |  b  bc    (a²+b²) |
　となる。さらに
　　　|  0   b         c   |×(-2bc)ba² = (-c-c)×(-2a²b²c)
　　　|  0   1    -(c/b) |
　　　|  1  bc  (a²+b²)|
　    =4(abc)²
　となる。

以上