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特殊相対性理論・電磁気学・数学

物理の暗黒面や面白い問題など。

ある関数の積分に関する不等式

2021-04-09 18:00:29 | 解析(積分)

1.問題

 (1) 関数 g(t) (t∈R)を
    g(t)=∫01 |x-t|n dx
  と定義する。このとき、g(t)の最小値とその時の tを求めよ。

 (2) f(x) (x∈[0,1]) を連続関数とする。このとき
    ∫01 xk f(x) dx=0 (k=0,1,・・・,n-1)・・・・・①
  を満たすとき、
    ∫01 (x-t)n f(x)dx=∫01 xn f(x)dx・・・・・・②
  が成立することを示せ。

 (3) ①の条件のもと、f(x) (x∈[0,1]) の最大値をMとすれば
    |∫01 xn f(x)dx| ≦ M/{ (n+1)2n }
  が成立する。  


2.証明

 (1)
  (a) x∈[0,1], t<0 とすると、
    0≦xn<|x-t|n 
   なので、g(t)≧g(0) (t<0) となる。

  (b) t>1 → t-x>1-x、ここで、0≦x≦1 なので t-x>0, 1-x≧0 だから
    → |t-x|>|1-x| → |x-t|>|x-1| → |x-t|n>|x-1|n
   積分して
    ∫01 |x-t|ndx >∫01 |x-1|ndx → g(t)>g(1) (t>1)

  (c) 上の(a)(b)から、g(t)の最小値は 0≦t≦1の間にある。0≦t≦1 とする。
    g(t)=∫01 |x-t|ndx=∫0t |x-t|ndx +∫t1 |x-t|ndx
       =∫0t (t-x)ndx +∫t1 (x-t)ndx  
       (0≦x≦t → |x-t|=t-x , t≦x≦1 → |x-t|=x-t なので)

       =(1/(n+1)){ [-(t-x)n+1]t0  + [(x-t)n+1]1t 
       =(1/(n+1)){ tn+1 + (1-t)n+1 }

     g'(t)=tn - (1-t)n=0 → t=1-t → t=1/2
     g''(t)=n{tn-1 + (1-t)n-1}≧0
   したがって、g(t) は t=1/2で最小となり
     g(1/2)=(1/(n+1)){ (1/2)n+1 + (1/2)n+1 }=1/{(n+1)2n} ・・・・・・③
   となる。

 (2)
  ①が成り立つから (x-t)n を展開すれば②のせいりつは自明。


 (3)
    A=|∫01 xn f(x)dx|=|∫01 (x-t)n f(x)dx|
     ≦∫01 |x-t|n |f(x)|dx ≦ M∫01 |x-t|n dx = Mg(t)

  上の不等式は 任意のtについて成り立つから、①によりg(t)の最小、g(1/2)を取れ
  ばよい。つまり
    A≦Mg(1/2)=M/{(n+1)2n}
  となる。

以上


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微分演算子法の解 e^(ax)/f(D)=xⁿe^(ax)/f⁽ⁿ⁾(a) , f(a)=f'(a)=・・・=f⁽ⁿ⁻¹⁾(a)=0 , f⁽ⁿ⁾(a)≠0

2020-12-06 06:38:49 | 解析(積分)

微分演算子法の解
   eax/f(D)=xneax/f(n)(a) ,  f(a)=f'(a)=・・・=f(n-1)(a)=0 ,  f(n)(a)≠0
を求める問題があった。

この問題は公式
   (1/f(D))eax=eax/f(a)   ( f(a)≠0 )
の拡張になっている。これを示すには公式
   ( 1/{ (D-a)ag(D) } )eax=xneax/(n!g(a))   ( g(a)≠0 )・・・・・・①
を使用する。

f(x)をテーラー展開すると
   f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+・・・+{(x-a)n-1/(n-1)!}f(n-1)(a)+{(x-a)n/n!}f(n)(x+θ(x-a))   (0<θ<1)
      ={(x-a)n/n!}f(n)(x+θ(x-a))
となる。ここで、g(x)=f(n)(x+θ(x-a))/n! とおくと f(x)=(x-a)ng(x) となる。すると
   g(a)=f(n)(a)/n! (≠0)・・・・・・②
となるから、①に入れて②を使うと
   (1/f(D))eax=( 1/{ (D-a)ag(D) } )eax=xneax/(n!g(a))=xneax/(n!f(n)(a)/n!)
         =xneax/f(n)(a)   ( f(n)(a)≠0 )
となり、命題が証明された。

しかし、この関係は、実際にはあまり意味がないかもしれない。というのは f(n)(x) を求
るのは一般に面倒であり、 f(x)=(x-a)ng(x) となることがわかっているから、g(x) がわ
れば①によりすぐ計算できる。

以上


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級数和 Σ [√{(2k+1)/n} ]/n の極限を積分により求める

2020-11-27 20:57:28 | 解析(積分)

級数和
   lim [n→∞] Σk=0n [√{(2k+1)/n} ]/n = (1/2)∫02 f(x) dx
を証明する問題があった。これは次のように、閉区間における連続関数のリーマン和
の極限が積分になることを使う。つまり




   lim [n→∞] Σk=1n f(k/n)(1/n)=∫01 f(x) dx
   (区間 [0,1] をn等分して、区間 [(k-1)/n, k/n] (k=1,・・・,n] のうち、右端 f(k/n)
    と区間幅(1/n)の積の和をとったもの。)
で求められるタイプだが多少工夫を要する。

今回は、区間 [0,2] をn等分して、幅が (2/n) である区間 [2k/n, (2k+2)/n] (k=0,1, … , n-1)
のセンター値、f( (2k+1)/n ) のリーマン和を考えている。



すると

   lim [n→∞] Σk=0n f( (2k+1)/n )/n
     = lim [n→∞] { (1/2) [ Σk=0n-1 f( (2k+1)/n ) (2/n) ] + f( (2n+1)/n )/n }
     = (1/2) lim [n→∞] Σk=0n-1 f( (2k+1)/n ) (2/n)  + 0
     = (1/2)∫02 f(x) dx
となる。

今回、 f(x)=√x に適用すると
   lim [n→∞] Σk=0n [√{(2k+1)/n} ]/n = (1/2)∫02 √x dx = (1/2) [(2/3) x3/2 ]20 =(2/3)√2
となる。

以上


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直円錐を平面で切ったとき、分断される部分の体積と表面積

2020-03-05 08:55:13 | 解析(積分)

1. まえがき

 直円錐を平面で切ったとき、分断される部分の体積と表面積を求める問題があった。
 直円錐の高さが1、底面の半径が1とする。切断する平面 z=x によって、分断された
 下側の部分の体積と表面積を求める。

 直円錐の式は
   (z-1)²=x²+y²・・・・・①
 または
   z=1-√(x²+y²)・・・・・②
 である。



2. 計算1
 2.1 体積

  図1のbcOの体積Vが求めるものである。直円錐の半分acOの体積をV'=π/6、

  abOの体積をV''とするとV=V'-V''=π/6-V'' であり、V''を求めればVがわかる。

  ここで重要なのは、V''は図1の赤色の蒲鉾型を底面積Sとする錐体である。切断
  面と直円錐面は直交するので、この錐体の高さは ab=1/√2 であり V''=S/(3√2) と
  なる。

  直円錐の式は①であり、切断平面は z=x だから、このとき、切断線の yは
  (x-1)²=x²+y² → x=(1-y²)/2 となる。
  yの位置のS面の斜面の長さは直角二等辺3角形だから √(z²+x²)=(√2)x である。

  したがって、
    S=2∫[y=0→1] (√2)x dy=2(√2)∫[y=0→1] (1-y²)/2 dy=(√2)[y-y³/3] [y=1,0]
      =(√2)(1-1/3)=(√2)2/3
  となる。すると公式から
    V''=S/((√2)/3)=2/9
  となり
    V=V'-V''=π/6-2/9
  となる。

 2.2 表面積

  表面積も円錐の展開で求めようとしたが無理だった。正攻法で公式から求める。
  求める表面積Sの積分領域はxy平面の c'bc''の弧(x=(1-y²)/2)と c'cc'' の円弧
  (x=√(1-y²))で囲まれる三日月の領域になる。②から
    zx=-x/√(x²+y²) , zy=-y/√(x²+y²) → √(1+zx²+zy²)=√2
  となり、
    S=∫√(1+zx²+zy²) dxdy=2∫[y=0→1] {∫[x=(1-y²)/2→√(1-y²)] √2 dx} dy
      =2√2∫[y=0→1] {√(1-y²) - (1-y²)/2}dy
      =2√2{ [(1/2){y√(1-y²) +sin⁻¹y} - (y-y³/3)/2] [y=1,0]}
      =√2{ [{y√(1-y²) +sin⁻¹y} - (y-y³/3)] [y=1,0]}
      =√2{ sin⁻¹1 - (1-1/3) }=√2(π/2-2/3)
  となる。

3. 計算2

 計算は面倒だが、y=y の平面で切断した断面を積分して 2.1項の体積を求める。この
 面積は図2のS₁、S₂の和となる。S₁は 一辺の長さ (1-y²)/2 の二等辺直角三角形だから
   S₁=(1-y²)²/8
 となる。つぎに S₂は②から
   S₂=∫[x=(1-y²)/2 → √(1-y²)] {1-√(x²+y²)} dx
    =[x-(1/2){x√(x²+y²)+y²log(x+√(x²+y²)}] [x=√(1-y²), (1-y²)/2]
    =√(1-y²) - (1-y²)/2 - (1/2){ √(1-y²)+y²log(√(1-y²)+1)
          -(1-y²)/2・(1+y²)/2 - y²log( (1 -y²)/2+(1+y²)/2) }

    =√(1-y²) - (1-y²)/2 - (1/2){ √(1-y²)+y²log(√(1-y²)+1) - (1-y²)/2・(1+y²)/2 - 0
    =(√(1-y²))/2 - (1-y²)/2 - (1-y⁴)/8 - (y²/2)log(√(1-y²)+1)
    =(√(1-y²))/2 - y⁴/8 + y²/2 - 3/8 - (y²/2)log(√(1-y²)+1)

   S₁+S₂=(√(1-y²))/2 + y²/4 - 1/4 - (y²/2)log(√(1-y²)+1)

 したがって、求める体積は
   V=2∫[y=0,1] (S₁+S₂)dy=π/6-2/9
 となり、2.1項と一致する(最後の積分は面倒なので maximaを使った)。



以上


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f(x) が単調増加関数の時、∫[a→b] xf(x)dx ≧ {(a+b)/2}∫[a→b] f(x)dx を証明する。

2020-01-01 11:30:48 | 解析(積分)
Rの区間[a,b]で f(x) が単調増加関数の時、
   ∫[a→b] xf(x)dx ≧ {(a+b)/2}∫[a→b] f(x)dx
を証明する。

c=(a+b)/2 と置く。
   ∫[a→b] (x-c)f(x)dx = ∫[a→c] (x-c)f(x)dx+∫[c→b] (x-c)f(x)dx・・・・①
x∈[a,c]で、(x-c)≦0 , f(x)≦f(c)だから (x-c)f(x)≧(x-c)f(c)
x∈[c,b]で、(x-c)≧0 , f(x)≧f(c)だから (x-c)f(x)≧(x-c)f(c)

したがって、①は
   ∫[a→b] (x-c)f(x)dx ≧ ∫[a→c] (x-c)f(c)dx+∫[c→b] (x-c)f(c)dx
     =f(c)∫[a→b] (x-c)dx=f(c) [x²/2-cx] [x=b,a]=f(c) {(b²-a²)/2-c(b-a)}
     =f(c) (b-a) {(b+a)/2-c}=0

ゆえに
   ∫[a→b] (x-c)f(x)dx≧0 → ∫[a→b] xf(x)dx≧c∫[a→b] f(x)dx
となり、命題が証明された。


なお、上の論理から、a≦c≦(a+b)/2 ならば
   ∫[a→b] xf(x)dx ≧ c∫[a→b] f(x)dx
が成り立つ。

以上

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